《1一元二次方程根的判别式》

17.3一元二次方程根的判别式沪科版八年级下一元二次方程的一般形式：二次项系数

，一次项系数

，常数项

.abc解一元二次方程的方法：直接开平方法因式分解法配方法公式法ax2＋bx＋c=0（a≠0）新课导入用公式法解下列方程：⑴

x2＋x－2=0⑵x2－2x＋1=0⑶x2－2x＋2=0

对于一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）

它的根与什么因素有关呢?

新课导入开平方法配方法方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）

当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）

根的情况由b2-4ac来确定我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”来表示，即例1不解方程，判别下列方程根的情况：（1）5x2-3x-2＝0；（2）25y2+4＝20y；（3）2x2+x+1＝0.分析：步骤：第一步：写出判别式∆；第二步根据∆的正负写结论。新课讲授解：因为∆＝(-3)2-4×5×(-2)＝49＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.解：原方程可变形为：25y2-20y+4＝0因为∆＝(-20)2-4×25×4＝0，所以原方程有两个相等的实数根.（1）5x2-3x-2＝0；（2）25y2+4＝20y；特别指出：当∆≥0时，有实数根.解：因为∆＝()2-4×2×1＝-5＜0，所以原方程没有实数根.（3）2x2+x+1＝0.当时，在实数范围内无意义，即方程没有实数根。例2关于x的一元二次方程x2－(k＋2)x＋2k＝0的根的情况是(

)A．有两个不相等的实根B．总有实根C．有两个相等的实根D．没有实根分析：判别一元二次方程根的情况，主要看根的判别式与零的大小关系．解：∵Δ＝(k＋2)2－4×2k＝k2＋4k＋4－8k＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，∴方程总有实根．B例3k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，∴k≠0.方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.由144－36k＞0，求得k＜4，又k≠0，∴当k＜4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．步骤：1、找准a，b，c，求∆；2、根据题意列不等式（方程）；3、写出参数的范围。对于一元二次方程当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；当方程没有实数根.注：上述应用既可以顺着用也可以逆着用.例4

k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，∴k≠0.方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.由144－36k＞0，求得k＜4，又k≠0，∴当k＜4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．(1)利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反之，已知方程根的情况可以确定方程中待定字母系数的取值范围；(2)计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a，b，c的值后再计算；(3)已知一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即Δ≥0.1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝0的根的情况（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定分析：计算出判别式，可知其值大于零，进而可得方程根的情况.课堂练习1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝3的根的情况（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定A解：因为方程3x2－mx－2的判别式，Δ＝(－m)2－4×3×(-2)＝m2+24k>0.所以该方程有两个不相等的实数根，故选:A2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______.分析：根据一元二次方程的根的判别式的意义，可以得到判别式大于零，然后解不等式即可.2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______.k＜1解：∵关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴Δ>0,即(－2)2－4×k×1>0.解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1，故答案为：k＜1．3.求证：无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有两个不相等的实根.要证明无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0，一定有两个不相等的实根，只需证明判别式大于零即可.分析：证明：∵m＞0，∴此方程为一元二次方程，∴∆＝[－(2m－1)]2－4m(m－2)＝4m+1，∵m＞0，∴4m+1＞0，即∆＞0，故原方程有两个不相等的实根.3.求证：无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有两个不相等的实根.1.（2018上海）下列对一元二次方程x2+x–3=0根的情况的判斯，正确的是（）(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根(C)有且只有一个实数根(D)没有实数根分析：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出判别式大于零，进而可得方程有两个不相等的实根.直击中考1.（2018上海）下列对一元二次方程x2+x–3=0根的情况的判斯，正确的是（）(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根(C)有且只有一个实数根(D)没有实数根A解：因为方程x2+x－3的判别式，Δ＝12－4×1×(-3)＝13>0.所以该方程有两个不相等的实数根，故选:A分析：将原方程变形为一般式，根据根的判别式等于0，可得关于a的一元二次方程，解之即可得出结论.2.（2018安徽）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）(A)-1(B)1(C)-2或2(D)-3或12.（2018安徽）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）(A)-1(B)1(C)-2或2(D)-3