筑波校内考真题附详解2012数学解答

答〔1〕 2㲋3（BA），q2A3 〔2〕⑴ 1 ⑵ 2n ⑶limSn〔3〕⑴V（n）7rn2enen ⑵limS（n） n→∞V（n）〔5〕⑴i31 㲋〔5〕⑴i31 㲋3 㲋 ⑵

4+ 〔4〕 ⑶OH㲋11 㲋 ⑶3 〔6〕 ⑵（s t）⑶解説参

⑴|log10x|px+q（p，qは実数）…①

3p23（B3log10x＜0すなわち0＜x＜1|log10x log10log10x≧0すなわちx≧1|log10x|log10log10xpx+qlog10xpx+q①の3つの相異なる正の解のうち最小のものをaとす2a，2a，a2

⑥②よりBA+log10a q…⑧qABlog10aAB（A+B22 32まず絶対値の記号をはずす必要がある。このとき |log10xが0となるxの値，x1が場0＜x＜1のと log10xpx+qx≧1のと log10x a＜1＜2a＜3alog10apa+qlog102a2pa+qlog103a3pa+q log10alog102+log10a2pa+qlog103+log10alog102A，log103Blog10apa+q…②log10a+A2pa+q…③log10a+B3pa+q…④③2log10④BA⑤⑥より2log10a+2AB2したがっ A+ 2 1log102+ log10㲋 log10

となる。また，3つの正の解のうち最小のものをaとすると，条件Ⅰより，3つの解はa，a，aと表され，さ2らに条件Ⅱより1＜a＜1＜2a＜3aとなるので，xa2ⓐに，x2aとx3aをⓑに代入する。得られた3つの式から，まずaの値を求めて，pとqをAとBを用いて〈参考〉|log10x|px+qが3つの相異なる正の解をもつということは，y|log10x|のグラフとypx+qのたすことから，y|log10x|とypx+qのグラフの関係は22ゆえ a㲋22

log10

33これを⑥に代入するとB

32

〔2〕⑴

か

n1ゆえに，C上の点10，12における接線l1の傾き 2n1 1 12 （ よっ ∞Sni2よって，l1の方程式 1x+

⑴yの導関数y，P1における接線l1の傾きを計算し，l1の方程式を求める。+1

1の導関数は，ux+2とおくと 1となり 1 du ⑵lnの方程式を求めて，lnがxnxn+1，0）で交わることからxnとxn+1の関係式xn+12xn+2を導く。この漸化式をxn+1+22xn+2）と変形して数列｛x+2x+2n

の型の漸化式の一般項を求めるときはCPx1

anap（ana（aapa+qの解と変⑶lnとyRnn1

1OQ· ·ゆえに，l1n1

，次に②を用いて2n

（xx +

〔3〕⑴直線PQとx軸との交点をRRAABよりRB2AB2（e2nであるから

V（n）3r･BQ 3r･AP x+2（xn+1）…① n

･21

3r･n2･（e2n

（8n2 2 33整理すると

enこれを変形する 111ゆえに，数列｛xn+2は初項x1+2，公比2の等比数列である。xPのx座標で，x+20+22111したがっ 2･2nnよっ n⑶lnのy切片は，x0yしたがっ

·n+1

⑵曲線Cとx軸と2xen，xe2nで囲まれる部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をU

n n

n）

e（ e（ （logx）U ②を代入し

2+n

）

2n

e x′(logx2e2n2+1 2n1

rx（logx）2 2⑵⑴と同様にし 2nn > > >OB･CAOC･AB2

x′log

となる また点Oを通る平面aと直交する直線と，a r（4n2e2nn2en）2xlogx

Hであるか （2 2 2nlog

enlog 4n ne） e OH⊥ > r e ゆえにOH･ABOH･BCOH･CAr > 4n+2）e このときAH･BC（OHO > > > OH･BCOA >lim

lim

OH･BC0，OA･BC0··

V

> AHBC>

1n分母と分子をr22nn

同様にしてBH･CA0CH･AB > >> >> よっ すなわち，点HはABC> > > ⑶|AB |OBOA

2

+2

O> lim

>en>en

2

71

|

㲋 >㲋357 れx軸のまわりに1

同様にして|BC|｜CA|よって，ABBCCA 1 > > > >>> 曲線

f（x）とx軸と2直線xa，xbで囲まれ ゆえに|OH 部分をx軸の周りに1回転してできる回転体の体積V > Vr

2 2

1（

+2OC・OA+2OB・これより，曲線C：ylogxとx軸と2直線xen， e2nで囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてで

2+2+22 2 |OH|＞0より|OH|㲋

よってOH >⑴OAとBCが垂直であることを示すには， と変形して，極限値を求める > > >＊a—0，b—0のとき ⑵点Hが△ABCの垂心であることを示すには， ，x′

+′ ･B0

>aを2度用いる > > > >>

>

直である条件から，OH･AB0，OH･BC〔4〕⑴OA･

OA

> > > > > >OC･OAOA･ ⑶OHの長さは，> > > OA･OBOC･OAよ 形ABCの重心でもあることを利用すると容易に求め OA･BC > OA—0，BC—0であるか >

>3

13において，D1･1+3･34—0 OAOBOCOH△OAHと△OBHと△OAOBOCOH

るから（ -㲋3 㲋 ∠OHA 㲋 ゆえゆえ

したがって

4

-㲋3）

㲋3pしたがってAHBH㲋 㲋㲋 㲋 正弦定理によ 㲋 （ 㲋3）

22㲋 であるから，点H△ABC

qsinsin3ゆえに 㲋 㲋2·2OH㲋22（2）2

よってB

㲋 （）（）㲋2㲋3 1 〔5〕 行列Aは座標平面において原点のまわりに角（）（0＜i＜r）（）

直線 kxに関して点P（p，q）と対称な点をcosAsin

sincos

PQykxは直交するから，⑵と同様にして+kq′p+kq…⑥A2（cosi+cosゆえにA22cosiA+E0…①条件よりA2A+EO…②①②より（12cosi）A

2また，PQまた，PQp′，ykxk′+q′kpq⑥，（ p′（pk1 1A—Oより12cosi k k1 1したがってcosi

（

-kk

）0＜i＜rであるから

（p′）1 -3（ 3

k2+1 k- よって 1（1よって 1（1333

1 1 直線 㲋3xに関して点 ¥=3 ⑴，⑵において求めた行列A，Bに対してBCAが P(p, り立つとき

k2 k2k2）と直線PQと直線y3xは直交するか q′q･㲋31

Q(p',

㲋（ （B

p′3（q′q）（p′

㲋3 1 ゆえにp3q′p+3qまた，線分PQの中（p+p′qq′は直線y3

）） 1 32

′ 3･

したがって，B11 （ 2（

q㲋 㲋3）（1 㲋3ゆえ 㲋3p㲋3pq

㲋3 1 㲋3 1 㲋 1㲋

㲋3p））ゆえにCB 㲋 ）ゆえにCB 㲋 㲋 （

㲋3

〈別解〉直線y〈別解〉直線y3xに関る対称移動によって，（1，

bdd 㲋3

⑧，⑨よ

（㲋 㲋1 㲋 （㲋3（-㲋3 2 ⑩よりk2+12

ゆえにB1㲋 1-㲋k 3㲋 㲋k 3⑪より

4k

1㲋3において，D1･（1）㲋3･㲋 㲋 よっ よっ 㲋-㲋3･1（- -㲋3

したがっ B13したがっ B1

㲋 4

-3㲋 㲋 ハミルトン・ケーリーの定理より 2cosAA+EOという関係式が得られるから，

㲋 4-㲋2 2

3て 条件 A+EO

4-2

㲋3 1（1-23 （1-23

abc

⑵で直線 㲋3xに関する対称移動で得られた④の等式を利用し，3をkに書き換えると⑥，⑦の等〈別解〉行列A（）（0＜i＜r）（）

をkの式で表し，条件BC Aから得られたCの成分とcosAsin

sincos

〔6〕⑴P（s，t）H：x2y21上の点であゆえ A3

sin

sin ）cos）

s2t 1l：sxty1P（s，t）条件A2A+EOより，A2AE A3A2･A（AE）AA2 （AE）

s2t21 ①②よ cos

⑵P（s，t）H：x2y2ゆえに，l：sxty1

1上の点であるから0＜i＜rより，0＜3i＜3rr

sx 3irゆえに（

）sinr）（ 㲋）

これを，双曲線 よって

r

rcos

㲋

x2

sxt

2

t2x2s2x2+2sx1t⑵y3xP（p，q）が点Q（p′，q′）に移動するとして直線PQと直線y3xが直交することと線分PQの中点が直線

（t2s2）x2+2sxt21①より，t2s2+1x2+2sxs220）㲋3x上にあることか （p′（a

③の判別式をD c

1･（ 2）2s+2よって，直線lと双曲線Cは異なる2点Q，R

1 21

sb ③の異なる2 sb Q ，Rb ④，⑤より（ab）2

とすると，③において解と係数の関係か （2s）24（s2 2s s22△PQRの重心Gtt t+sa1+sb1tt

したがって△GQRゆえに|ab|22|したがって△GQR

1･|ab 1･2㲋2|t 2㲋ここで，④よ |t |t 3sa

s sb

よって，△GQRの面積は，点P（s，t）⑴P（s，t）の座標を直線lsxty1 3

+s1｛t2+s･（2s）2 1t22s 1｛t22（t21）2

するとs2t2⑵直線lの式sxty1と双曲線C：x2y21からyを消去して得られる2次方程式x2+2sxs220の実112233112233t3よって，Gの座標は（s t

△ABCの重心をG （x1+x2+x3，y1+y2+y

>⑶△GQRにおい ⑶△ABCにおいて，AB（