数学奥林匹克初中训练题

数 初中训练题 a3+b3+c3-3

直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分客车,问再过分钟,货车追上了客车.如果多项式P=2a2-8ab+17b2-16a-42070,那么P3.如图1,∠AOB=.ab)△c,d)=(ac+bd,ad+bc.∠AOB内有一定点P且ab(a,b)△(x,y)=(a,b)(x,y)10,OAQOB )有一定点R.PQR(A)(0 (B)(1 (C)(-1 (D)(0,-小,则最小周长 在△ABC中,2=1+1.则∠A )

已知二次函数y=ax2(a≥1)AB的横坐标分别为-12,O是坐标原点. 下列五个命题②(a)2=PabP′-a-b1在第一象限其中正确命题的个数是 )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5设P为等腰Rt△ABC斜边AB上或其延长线上一点,S=AP2+BP2.那么,( ).(A)S<2 (B)S>2(C)S2 满足方程x2+y2=2(x+y)+xy的所有正整数解有( ).

|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|a+b+c的值二、(25分)如图2,点D△ABCBC,且与B、C不重合,DACDE

EAB的平行线DF交AC于 FBCABCSAEDF2S求BD长5AC=2ABDFABC求EF两点的距离bc2a+5b=c则a+b+cn的倍数.”试问上述定理中整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.

336- ≤y6+ 33.

第一试

≤y,1≤y≤4y1,2,3y=1,x2-3x-1=0,无正整数解∵a3+b3+c3-3=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)a2+b2+c2-ab-bc-ca

y2x2-4x0,4y3,x2-5x3=0,无正整数解y4,x2-6x80,2a2+b2+c2-ab-bc-ca=(B)

x=4或y=

x=2或y=

y=(a,b)=(a,b)△(x,y)=(ax+by,ay+bx)ax+by=aay+bx=a+b)x+(a+b)y=a+b.ab的任意性知x+y=1.,得(a-b)x-(a-b)y=a-x-yx1,y(A)>

如图4,设货的距离均为S,轿车货车客 abcx分钟追上客车.10(a-b)=S 15(a-c)=2S x(b-c)=S <a>c<a

1<1.,+,+

a-b=1S,a-c=2Sa< 1+1,与条 .故∠A一定是 两式相减得b-c=1S,即S=30(b-c) , 角(C)(1(234)(5,4个(C)3CD⊥AB,垂足是D.设CD=AD=BD=1,PD=x,CP2=12+PD2=12+

,xb-c)30b-c)由b-c≠0,得x= 30-10-5=15(分钟)2.2P=2a2-8(b+2)a+17b2-4b+2=2[a2-4(b+2)a+4(b+2)2]-8(b+2)+17b2-4b+2=2(a-2b-4)2+9b2-36b+36+2=2(a-2b-4)2+9(b-2)2+2=12+

AP-1)

图 当a-2b-4=0且b-2=0时,P达到最小=2+AP2-2·ACP212+x212+(1-BP=2+BP2-2·B2CP2=4+AP2+BP2-2(AP+B=4+AP2+BP2-2×2=AP2+BP2PAB,同法可证故选(C)(C)x2-(y2)x+y2-2y)

23.5PAOBOAOBP1P2P1P2,分别交OAOBΔ=(y+2)2-4(y2-2y)≥0QR.连结PQPR.PQ=P1QPR=P2R即lPQR=P1Q+QR+P2

=P1P2 而OP=OP1=OP2=10,∠POQ=∠P1OQ S1=BD S2=CD

∠POR=∠P2OR ∠P1OP2=2∠POQ+2

BD+=2(∠POQ+∠POR)=2∠AOB= 于是 S

=BC=1

,P1P2=P1O22

S=

+

+ 24.

+25

=S四边形AEDF

5SS1如图6,A(S1

从而,S1S2=1S2 a),B(2,4a),则OA= a2+1,

3±

S,

=3±5 OB 4+16a2AB 9+9a2

S1S

BD

即3±5= 2 255± BD2=15±55=5± ,则BD 最小,即OA不可能 斜边(i)若OB为斜边,则OB2=OA2+AB2,16a2=a2199a2]6a26]a21]a=1(a≥1.△AOB2 20 18=42+25

GABC,DFGDFAB,可得CD=2.则DF=2AB. DE∥AC,CD=2,DE=1 ∵AC=2AB∴AC=2,DF=2AB 若AB为斜边,则AB2=OA2+OB2,即 +9a2=a2+1+4+16a2]8a2=4.不合题意(因a 得DF=AC,即DF= 1)

△AOB4225第二试一、由|a|≥|bc|a2≥b22bc+c2.b2≥c22ca+a2c2≥a22ab+b2.三式相加得a2+b2+c2≥2a2+2b2+2c2+2ab+2bc+2ca

EDF∠ADEF得EF=DE.所以EF=52. a+b+c3整除a+b+c=a+b2a5b3(a2ba+b+c3ab3rarbra≠0即a2+b2+c22ab2bc2ca≤0.,(a+b+c2≤0.

ra≠rb,ra=1,rb=2ra=2,rb=1.时,2a+5b必为3的倍数,即c为合数 显然,(a+b+c)2 故ra=rb,则ra=rb=1,或ra=rb=2.此时,故(a+b+