工程力学之应力应变

应力应变分析本章研究一点处的应力状态应力和应变是变形体力学中非常重要的概念。主要内容如下：应力应变分析§11.1一点处的应力状态§11.2应力张量的表示方法§11.3平面应力状态§11.4应力圆§11.5三向应力状态§11.6应变状态(与平面应力状态对应的)§11.7应力应变关系§11.1一点处的应力状态内力是截面上的分布内力的等效力系载荷集度称为上的平均应力将分解为与法向和切向的力，内力与应力的概念则称为正应力（法向应力）

称为剪应力（切应力）M点在截面上的正应力M点在截面上的剪应力应力的量纲一点处所有各方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态，一点处的应力与其集度以及的法向相关,因此可用两个并在一起的矢量表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量§11.2应力张量的表示方法取一包围该点的微元体（单元体）其各棱边相互垂直，各棱边的长分别为或由于单元体很小其上的应力可看作均匀分布各面上的应力可用3*3的矩阵表示（i,j=1,2,3）应力分量,应力张量。按上述约定假设应力的方向对正应力，则是拉应力为正。考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：（不考虑体力偶）同理上述关系称为剪应力互等定理设表示轴与轴的方向余弦。则可国以证牌明应力张量可用来描述一点的应力状态坐标钉变换准矩阵§1皱1.枪3圣平饮面应薯力状锣态若单贴元体吐上不技为零浮的应怒力分粒量都屿位于色同一缎平面首内称的为平最面应轻力状芹态。例如候当物宜体的尘表面源不受侍力时符在表矮面取肃出单为元体例如旨外力没作用污在板唐平面旦内的酸薄板设不递为0劳的应播力分币量都到位于xy平面光内一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面

上的应力,其与

轴正向的夹角以逆时针方向为正初始叫单元僚体：显然：由将代入

由同理可得(a)(b)(c)式有两个解将(c)式代入(b)式有单元功体上灶剪应帝力为脂0的界截面专称为糕主平查面主平面上的正应力称为主应力主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值、以主平面为单元体的各面称为主单元体同理可求出的极值及例已轧知初脑始单拖元体尽上的充应力线（Mp岗a）求主垮单元炕体上饰的应宾力并伴画出涉主单库元体解：§1与1.禽4狭应黄力圆一点沉处平殃面应脏力状旨态的伤图解劣法，勺直观亭各方缸位的跌应力疗情况肃一目盲了然味。由(a)(b)上两戒式两谢边平掩方后皇相加则上增式在酒应力岗坐标劈燕中为桥一圆刘称为碎应力评圆莫服尔圆圆心坐标：半径：因此，当连续变化至时，坐标绕应力圆的圆心转一周

应力圆的画法：建应力坐标系，取比例尺,定点或由圆心,半径——画圆

应力圆上一点，由绕圆心转过角，对应截面上的应力

应养力侄圆龙画言法证明：同理可以证明：

及的方位极值点的方位与主平面方位相差对应的应力

任意赠两相句互垂盛直截奇面上需的正表应力猫之和昼由(a)式例确定主平面方程画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力单位：

解：主单翼元体邮：例2已知应力圆画出初始单元体及其应力主单元体及应力单位解：凭初始斯单元陕体半径

主单湿元体窗：§1纷1.之5春三向马应力竖状态将三择个主阶应力即按代肚数量连的大液小顺枪序排苹列因此致根据芬每一穗点的著应力享状态议可以艇找到危3个蛮相互稀垂直度的主警应力三向径应力润圆空间任意方程截面上的应力，与三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示。

一点处最大的剪应力

三向喝应力袋圆单向掉、双卷向、具三向肝应力阅状态例：求

解：在，平面内

三向吴应力奥圆如称图注意跃：不尾是同项一平芽面的更应力恢不能到用平野面应脑力状踪蝶态方评法求敲解。§1较1.舍6践应变话状态（与术平面蹲应力霉状态柴对应瞧的）一点的变形有线应变和剪应变，单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的变形

在，坐标下

在，坐标下，方向到方向夹角

令，各个方位应变的情况称为一点的应变状态与平面应力状态的分析类似有

应变旷花：可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变的方位是重合的。虎克定律

比例系数称为材料的弹性模量

比例系数称为泊松比

§1骑1.牢7亿应浴力应叔变关两系1、促单向哀应力洲状态2、修纯剪车应力车状态在线弹性范围内

剪切虎克定律

——剪切弹性模量

可证明

只有作用时3、源广义耀虎克脉定律对主惑单元奖体例：已知一构件表面一点的应变

求竿该点捏的主姥应力晚和最肤大剪雄应力解：设

则

整理身后例2已知，求设

解：取一单元体体积受应力作用变形变形后的体积

4、金体积甚变形