苏教版五年级数学下册同步训练 第三章《因数与倍数》3.6 公因数和最大公因数(原卷版+解析版)

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第三章《因数与倍数》

3.6公因数和最大公因数

一、选择题

1.（2022五上·龙华期末）如果甲=3×5×7，乙=11×3×5×2，则甲乙的最大公因数是（）。

A.3B.5C.15D.77

【答案】C

解：甲乙的最大公因数是：3×5=15

故答案为：C。

【分析】求几个数的最大公因数：先把这几个数的质因数写出来，最大公因数是这几个数相同的质因数的乘积。

2.（2022五下·英山期末）m、n都是自然数，n÷m＝8，则n、m的最大公因数是（）。

A.8B.nC.M

【答案】C

m、n都是自然数，n÷m＝8，则n、m的最大公因数是m。

故答案为：C。

【分析】存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，据此解答。

3.（2022五上·龙华期末）甲和乙的最大公因数是34，丙和丁的最大公因数是51，甲乙丙丁这4个数的最大公因数是（）。

A.102B.17C.34D.51

【答案】B

解：34=17×2；51=17×3，即34和51的最大公因数是17，

所以甲乙丙丁这4个数的最大公因数是17。

故答案为：B。

【分析】n个数的最大公因数可以定义为：它们的所有公因数中最大的那一个，而2和3的最大公因数是1，本题据此进行解答。

4.（2022五下·海安期末）已知A=3B（A、B是不为0的自然数），A和B的最大公因数是（）。

A.AB.BC.1D.AB

【答案】B

解：A=3B，说明A是B的3倍，A和B的最大公因数是B。

故答案为：B。

【分析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

5.（2022五下·汉川期末）有两根木条，一根长24厘米，另一根长16厘米，科技小组的同学要将两根木条截成同样长的短木条，不能有剩余，每根短木条最长是（）。

A.1厘米B.2厘米C.4厘米D.8厘米

【答案】D

24=3×8；16=2×8，24和16的最大公因数是8，每根短木条最长是8厘米。

故答案为：D。

【分析】每根短木条最长的长度是这两个数的最大公因数，据此解答。

二、判断题

6.（2022五下·郾城期末）如果a÷b=4（a和b都是非零自然数），那么a、b的最大公因数是4.（）

【答案】错误

如果a÷b=4（a和b都是非零自然数），那么a、b的最大公因数是b，原题说法错误。

故答案为：错误。

【分析】如果两个数存在倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数是这两个数的最小公倍数，据此解答。

7.（2022五下·赤水期末）14和7的最大公因数是14。（）

【答案】正确

解：14和7的最大公因数是7。

故答案为：正确。

【分析】一个数是另一个数的倍数，那么这两个数的最大公因数是较小的数。

8.（2022五下·景县期末）两个数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的倍数。（）

【答案】正确

解：两个数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的倍数。原题说法正确。

故答案为：正确。

【分析】两个数的公因数一定都是这两个数的因数，两个数的公倍数一定都是这两个数的倍数。两个数的公倍数一定是它们公因数的倍数。

9.（2022五下·偃师期中）a-b=1（a、b都是不为0的整数），它们的最大公因数是1。（）

【答案】正确

a-b=1，说明a、b是相邻的自然数，它们的最大公因数是1。原题说法正确。

故答案为：正确。

【分析】相邻的两个自然数也是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。

10.如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。（）

【答案】正确

如果两个数的最大公因数是1，它们是互质数，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积，此题说法正确。

故答案为：正确。

【分析】互质的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此判断。

三、填空题

11.（2022五下·菏泽期末）A=2×2×3，B=2×3×5，这两个数的最大公因数是________，最小公倍数是________。

【答案】6；60

解：最大公因数：2×3=6

最小公倍数：2×3×2×5

=6×2×5

=12×5

=60

故答案为：6；60。

【分析】A和B的最大公因数是把它们公有的质因数相乘，即2和3相乘；A和B的最小公倍数是把它们公有的质因数和各自独有的质因数相乘，即2×3×2×5。

12.（2022五下·常州期末）如果A÷B=10（A和B都是不为0的自然数），那么A和B的最大公因数是________，最小公倍数是________。

【答案】B；A

解：A÷B=10；A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。

故答案为：B；A。

【分析】当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

13.（2022五下·沛县月考）如果a÷b＝3（a、b都是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是________，最小公倍数是________

【答案】b；a

如果a÷b＝3（a、b都是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是b，最小公倍数是a。

故答案为：b；a。

【分析】如果a÷b＝3（a、b都是不为0的自然数），则a是b的倍数，存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，据此解答。

14.（2022五上·宝安期末）18和24的最大公因数是________；8和12的最小公倍数是________。

【答案】6；24

解：18=2×3×3，24=2×2×2×3，

所以18和24的最大公因数是2×3=6；

8=2×2×2，12=2×2×3，

所以8和12的最小公倍数是2×2×2×3=24。

故答案为：6；24。

【分析】最大公因数的求法：将两个数分别分解质因数，找出共同因数，将共同因数相乘即可；

最小公倍数的求法：若两个数互质，则这两个数的乘积就是最小公倍数；若两个数有共同因数，则共同因数的乘积再乘以分解出来的不同质因数即可。

15.（2022五上·长春期末）把分别长12米和30米的两根铁线，截成长度相等的小段，且没有剩余，每段最长为________米。

【答案】6

解：12和30的最大公因数是6，所以每段最长为6米。

故答案为：6。

【分析】因为题中要把两根铁丝截成长度相等的小段，且没有剩余，那么每段最长的长度是这两根铁丝长度的最大公因数。

16.（2022五下·无锡期末）用边长是整厘米数的小正方形纸片去铺长18厘米，宽12厘米的长方形（如下图），正好铺满。小正方形的边长最大是________厘米，需要________张这样的纸片。

【答案】6；6

8和12的最大公因数：18=2×3×3，12=2×2×3，2×3=6（厘米），

需要的张数：（18×12）÷62

=216÷36

=6（张）

故答案为：6；6。

【分析】小正方形的边长必须既是18的因数，又是12的因数。求小正方形的最大边长就是求18和12的最大公因数；需要张数=长方形面积÷小正方形面积。

17.（2022五下·洛龙期中）五（1）班有男生35人，女生28人。现在男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有________人，这时男生站了________排，女生站了________排。

【答案】7；5；4

35=5×7，

28=2×2×7，

35和28的最大公因数是7，每排最多有7人；

男生：35÷7=5（排），

女生：28÷7=4（排）。

故答案为：7；5；4。

【分析】此题主要考查了最大公因数的应用，先将男生、女生人数分解质因数，然后找出他们的最大公因数；

要求男生站几排，男生的总人数÷每排最多站的人数=男生站的排数；要求女生站几排，女生的总人数÷每排最多站的人数=女生站的排数，据此列式解答。

18.（2022五下·黔东南期末）把36个文具盒和45支笔分别平均分给若干名小朋友，且保证分到文具盒和笔的人数相同，最多能分给________人，每人分到________个文具盒和________支笔。

【答案】9；4；5

36=4×9；45=5×9；最多能分给9个小朋友，每人分到4个文具盒和5只笔。

故答案为：9；4；5.

【分析】36和45的最大公因数就是最多分的人数，总数÷分的人数=每人分的个数。

四、计算题

19.（2022五下·五华期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。

（1）10和11

（2）18和24

（3）44和22

【答案】（1）解：10和11是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是10×11=110

（2）解：18=2×3×3，24=2×2×2×3，最大公因数是2×3=6，最小公倍数是：2×2×2×3×3=72。

（3）解：44是22的倍数，最大公因数是22，最小公倍数是44。

【分析】把两个数分解质因数，然后把公有的质因数相乘就是两个数的最大公因数；把两个数公有的质因数和独有的质因数相乘即可求出两个数的最小公倍数。两个数是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；一个数是另一个数的倍数，那么较小的数就是两个数的最大公因数，较大的数就是两个数的最小公倍数。

五、解答题

20.求下列各数的最大公因数。

①5和9；②34和17；③15和12；④15和16；⑤9和3；⑥1和9；⑦11和13.

【答案】解：①因为5和9是互质数，所以5和9的最大公因数是1；

②因为34是17的倍数，所以34和17的最大公因数是17；

③因为15=3×5，12=3×2×2，所以15和12的最大公因数是3；

④因为15和16是互质数，所以15和16的最大公因数是1；

⑤因为9是3的倍数，所以9和3的最大公因数是3；

⑥因为1和9是互质数，所以1和9的最大公因数是1；

⑦因为11和13是互质数，所以11和13的最大公因数是1。

【分析】用分解质因数的方法求几个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公因数，注意：如果两个数存在倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数；如果两个数是互质数，最大公因数是1，据此解答.

21.（2022五上·光明新期末）笑笑家的书房是一个长3.2米、宽2.8米的长方形，如果用边长是整分米数的正方形地砖把书房铺满，需选择边长是几分米的地砖﹐才能铺得既整齐又节约

【答案】解：3.2米=32分米，2.8米=28分米，

32=2×2×2×2×2，28=2×2×7，所以32和28的最大公因数是4，即选用边长是4分米的地砖。

答：需选择边长是4分米的地砖﹐才能铺得既整齐又节约。

【分析】根据1米=10分米将书房的长和宽化成分米数，需要选用边长是几分米的地砖即是求书房长和宽的最大公因数，将32和28进行因式分解即可得出最大公因数。

22.学校操场长100m，宽60m。现计划在操场四周种树，要求每两棵树的间距相等，四个角上各种一棵树。共有几种符合要求的种法每隔多少米种一棵树比较合理

【答案】解：100和60的公因数有1、2、4、5、10、20，

答：共有6种符合要求的种法。每隔5米种一棵树比较合理。

【分析】因为要使每两棵树的间距相等，那么两棵树之间的间距一定是100和60的公因数，由此判断出两个数的所有公因数，这些公因数就是两棵树的间距。根据植树的实际情况选择两棵树之间的间距即可。

23.王大爷的农场里有规格为长12米，宽8米的长方形菜地。王大爷要种多种蔬菜，需要将这块菜地分成正方形的板块，要求正方形是最大的，而且没有剩余。

（1）最多能分成多少块

（2）如果用这样的长方形菜地拼成一个大的正方形菜地，最少需要多少块

（3）拼成的大正方形菜地面积是多少平方米

【答案】（1）解：12和8的最大公因数是4，所以

分成的块数=（12÷4）×（8÷4）

=3×2

=6（块）

答：最多能分成6块。

（2）解：12和8的最小公倍数是24，所以

（24×24）÷（12×8）

=576÷96

=6（块）

答：最少需要6块。

（3）解：24×24=576（平方米）

答：拼成的大正方形菜地面积是576平方米。

【分析】（1）要求分成的正方形是最大的，而且没有剩余，所以正方形的边长是长方形的长和块的最大公因数，再根据最多分成的块数=（长方形的长÷最大公因数）×（长方形的宽÷最大公因数）即可计算出答案；

（2）用这样的长方形菜地拼成一个大的正方形菜地，则正方形的边长=长方形的长和宽的最小公倍数，接下来根据最少需要的块数=拼成的正方形的面积÷长方形的面积，代入数值计算即可；

（3）根据正方形的面积=边长×边长计算即可得出答案。

24.用相同的小正方体木块搭成一个长12cm、宽8cm、高36cm的长方体，至少需要多少个小正方体这个小正方体的棱长最大是多少厘米？

【答案】解：12=2×2×3，

8=2×2×2，

36=2×2×3×3，

12、8、36的最小公倍数是：2×2=4

（12÷4）×（8÷4）×（36÷4）

=3×2×9

=54（个）

答：至少需要54个小正方体。这个小正方体的棱长最大是4厘米。

【分析】要使小正方体的棱长最大，那么棱长最大是12、8和36的最大公因数，因此求出三个数的最大公因数就是最大的棱长。然后用长方体的长、宽、高分别除以小正方体的棱长，再把三个商相乘就是至少需要小正方体的个数。

六、应用题

25.幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？

【答案】解：32颗糖正好分完，说明小朋友的人数是32的一个因数

所以找32的因数有：1、2、4、8、16、32

根据题意，小朋友的个数可能是4、8、16个

答：小朋友的人数可能是4人、8人或16人。

【分析】虽然说1、2、32也是32的因数，按道理也可能是小朋友的人数，但是不符合实际，所以人数可能是4人、8人或16人

26.一个数，既是48的因数，又是6的倍数。这个数可能是几？

【答案】解：首先写出48的因数有：1、2、3、6、12、24、48；

48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、42、48

可以看出符合条件的数有：6、12、24、48

答：这个数可能是6、12、24、48。

【分析】将两个条件的数写出来，然后找相同的数就是符合条件的

27.把下面的三根绳子剪成同样长的小段,且没有剩余,每小段绳子最长是多少厘米可以剪成多少段

24厘米36厘米84厘米

【答案】24、36和84的最大公因数是12,所以每小段最长是12厘米。24÷12=2(段)|36÷12=3(段)|84÷12=7(段)2+3+7=12(段)答:可以剪成12段。

【分析】因为要求每小段绳子最长的长度，所以每小段的长度最长是24厘米、36厘米和84厘米的最大公因数，这样先求出三个数的最大公因数。用每根绳子的总长度除以每段的长度求出剪的段数，相加后求出总段数即可。

28.（2023五上·盐田期末）有两根木棒，长度分别是36cm、44cm，要把它们截成同样长度(整厘米数)的小棒而没有剩余，每根小棒最长能有多少厘米一共可以截成多少根小棒

【答案】解：36=2×2×3×3，44=2×2×11，

36和44的最大公约数是：2×2=4，所以每根小棒最长能有4厘米；

36÷4+44÷4

=9+11

=20(根)

答：每根小棒最长能有4厘米，一共可以截成20根小棒.

【分析】因为要求每根小棒最长能有多少厘米，那么小棒的长度是36个44的最大公约数，因此求出两个数的最大公约数就是小棒的长度，然后用除法计算出一共可以截成多少根小棒即可.

29.阳光小学五(1)班全体同学组织排练团体操，每6人一组或每7人一组都能正好分完。五(1)班至少有多少人？

【答案】解：6×7=42

答：五(1)班至少有42人.

【分析】因为每6人一组或每7人一组都能正好分完，所以总人数至少是6和7的最小公倍数，6和7是相邻的自然数，它们的最小公倍数是两个数的积.

30.某小学五年级四班王老师带领学生参加植树活动，全班学生恰好平均分成3个小组，每组人数在10人至20人之间，王老师与每名学生植树同样多，一共植树364棵，则五年级四班有学生多少人？每人植树多少棵？

【答案】解：364＝2×2×7×13＝7×52，52－1＝51(人)。

答：五年级四班有学生51人，每人植树7棵。

【分析】本题考查的主要内容是因数和倍数的应用问题，根据质数和倍数的定义进行分析.

31.甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次.有一天，他们三人恰好在图书馆相会，那么至少再过多少天他们才可能再在图书馆相会？

【答案】解：3、4、5的最小公倍数是：3×4×5=60.

答：至少再过60天他们才可能在图书馆相会.

【分析】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的公倍数，至少再过几天，你们间隔的天数就是3、4、5的最小公倍数.苏教版五年级数学下册同步训练

第三章《因数与倍数》

3.6公因数和最大公因数

一、选择题

1.（2022五上·龙华期末）如果甲=3×5×7，乙=11×3×5×2，则甲乙的最大公因数是（）。

A.3B.5C.15D.77

2.（2022五下·英山期末）m、n都是自然数，n÷m＝8，则n、m的最大公因数是（）。

A.8B.nC.M

3.（2022五上·龙华期末）甲和乙的最大公因数是34，丙和丁的最大公因数是51，甲乙丙丁这4个数的最大公因数是（）。

A.102B.17C.34D.51

4.（2022五下·海安期末）已知A=3B（A、B是不为0的自然数），A和B的最大公因数是（）。

A.AB.BC.1D.AB

5.（2022五下·汉川期末）有两根木条，一根长24厘米，另一根长16厘米，科技小组的同学要将两根木条截成同样长的短木条，不能有剩余，每根短木条最长是（）。

A.1厘米B.2厘米C.4厘米D.8厘米

二、判断题

6.（2022五下·郾城期末）如果a÷b=4（a和b都是非零自然数），那么a、b的最大公因数是4.（）

7.（2022五下·赤水期末）14和7的最大公因数是14。（）

8.（2022五下·景县期末）两个数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的倍数。（）

9.（2022五下·偃师期中）a-b=1（a、b都是不为0的整数），它们的最大公因数是1。（）

10.如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。（）

三、填空题

11.（2022五下·菏泽期末）A=2×2×3，B=2×3×5，这两个数的最大公因数是________，最小公倍数是________。

12.（2022五下·常州期末）如果A÷B=10（A和B都是不为0的自然数），那么A和B的最大公因数是________，最小公倍数是________。

13.（2022五下·沛县月考）如果a÷b＝3（a、b都是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是________，最小公倍数是________

14.（2022五上·宝安期末）18和24的最大公因数是________；8和12的最小公倍数是________。

15.（2022五上·长春期末）把分别长12米和30米的两根铁线，截成长度相等的小段，且没有剩余，每段最长为________米。

16.（2022五下·无锡期末）用边长是整厘米数的小正方形纸片去铺长18厘米，宽12厘米的长方形（如下图），正好铺满。小正方形的边长最大是________厘米，需要________张这样的纸片。

17.（2022五下·洛龙期中）五（1）班有男生35人，女生28人。现在男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有________人，这时男生站了________排，女生站了________排。

18.（2022五下·黔东南期末）把36个文具盒和45支笔分别平均分给若干名小朋友，且保证分