高考数学（理）一轮复习课时训练第4章三角函数解三角形21

【课时训练】第21节正弦定理、余弦定理一、选择题1．(2018山西晋中一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝eq\f(π,6)，则角C＝()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6)或eq\f(3π,4) D．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，即eq\f(\r(3),2)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc.又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝eq\r(3)bc，即c＝(eq\r(3)－1)b＜b，则a＝eq\r(2－\r(3))b，所以cosC＝eq\f(b2＋a2－c2,2ab)＝eq\f(\r(2),2)，解得C＝eq\f(π,4).故选B.2．(2018湖南娄底二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，且b＝eq\r(3)a，则下列关系一定不成立的是()A．a＝c B．b＝cC．2a＝c D．a2＋b2＝c2【答案】B【解析】由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，则A＝30°.又b＝eq\r(3)a，由正弦定理得sinB＝eq\r(3)sinA＝eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C，D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立．故选B.3．(2018太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，则c＝()A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\r(3)＝eq\f(1,2)×1×c×eq\f(\r(3),2)，∴c＝4.4．(2018武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若eq\f(c,b)＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】根据正弦定理得eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＜cosA，即sinC＜sinBcosA，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)＜sinBcosA，整理得sinAcosB＜sinA＞0，∴cosB＜0，∴eq\f(π,2)＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形．5．(2018广西来宾一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝3，c＝2，则A＝()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)【答案】C【解析】∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(32＋22－\r(7)2,2×3×2)＝eq\f(1,2)，且A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，∴A＝eq\f(π,3).故选C.6．(2018江苏泰州调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tanC＝ab，则角C的大小为()A.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)或eq\f(2π,2)C.eq\f(π,6) D．eq\f(2π,3)【答案】A【解析】由题意知，eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2tanC)⇒cosC＝eq\f(cosC,2sinC)，∴sinC＝eq\f(1,2).又C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).故选A.7．(2018南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝()A．150° B．120°C．60° D．30°【答案】D【解析】由a2－b2＝eq\r(3)bc，得sin2A－sin2B＝eq\r(3)sinB·sinC，∵sinC＝2eq\r(3)sinB，∴sinA＝eq\r(7)sinB，∴c＝2eq\r(3)b，a＝eq\r(7)b，由余弦定理得cosA＝eq\f(12b2＋b2－7b2,2×2\r(3)b×b)＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝30°.故选D.8．(2018安徽池州一模)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.eq\f(3π,4) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)【答案】C【解析】∵b＝c，∴B＝C.又由A＋B＋C＝π得B＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2).由正弦定理及a2＝2b2(1－sinA)得sin2A＝2sin2B·(1－sinA)，即sin2A＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))(1－sinA)，即sin2A＝2cos2eq\f(A,2)(1－sinA)，即4sin2eq\f(A,2)cos2eq\f(A,2)＝2cos2eq\f(A,2)(1－sinA)，整理得cos2eq\f(A,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－sinA－2sin2\f(A,2)))＝0，即cos2eq\f(A,2)(cosA－sinA)＝0.∵0＜A＜π，∴0＜eq\f(A,2)＜eq\f(π,2)，∴coseq\f(A,2)≠0，∴cosA＝sinA．又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,4).二、填空题9．(2018江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝eq\r(3)，则S△ABC＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)，解得sinA＝eq\f(1,2).因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(3),2).10．(2018山西名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b2＋c2＝2a2，则cosA的最小值为________．【答案】eq\f(1,2)【解析】因为b2＋c2＝2a2，则由余弦定理可得a2＝2bccosA，所以cosA＝eq\f(a2,2bc)＝eq\f(1,2)×eq\f(b2＋c2,2bc)≥eq\f(1,2)×eq\f(2bc,2bc)＝eq\f(1,2)(当且仅当b＝c时等号成立)，即cosA的最小值为eq\f(1,2).三、解答题11．(2018河北衡水模拟)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosA＝bcosC＋ccosB.(1)求角A的大小；(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．【解】(1)由题意及正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA．∵sinA≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，即16＝4＋AC2－2AC，解得AC＝1＋eq\r(13)，或AC＝1－eq\r(13)(负值，舍去)．∵BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,2)，∴AD＝eq\f(1,3)AC＝eq\f(1＋\r(13),3).12．(2019武汉武昌区调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．【解】(1)在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.则cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2