圆锥曲线之双曲线学案-北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《圆锥曲线-双曲线》知识点总结一、双曲线的定义1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.注意：集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a}，|F1F2|=2c，其中a，c为常数且a>0，c>0，当2a<|F1F2|时，点M的轨迹是双曲线；当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2；当2a>|F1F2|时，点M的轨迹不存在.3.双曲线的第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线l(定点F不在定直线l上)

的距离之比为常数e(e>1)的点的集合，其中定点F为双曲线的焦点，定直线l称为双曲线的准线.4.与两定点A1(-a，0)，A2(a，0)(a>0)连线的斜率之积为b2a2或e2-1(e>1)的点的轨迹为双曲线(不含A1二、双曲线的标准方程与简单几何性质1.双曲线的标准方程与简单几何性质焦点位置在x轴上在y轴上图形 标准方程x2a2y2a2性质焦点F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c2=a2+b2)范围x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点顶点A1(-a，0)，A2(a，0)A1(0，-a)，A2(0，a)轴实轴(线段A1A2)的长：2a；虚轴(线段B1B2)的长：2b；实半轴长：a；虚半轴长：b渐近线y=±bay=±ab离心率e=ca=1+3.利用双曲线的性质确定双曲线的标准方程(1)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率相等的双曲线方程为x2【注】已知离心率不能确定焦点位置.(2)与渐近线有关的双曲线标准方程的设法：①与双曲线x2a2-y2b②渐近线为y=kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(k≠0，λ≠0).③渐近线为ax±by=0(a>0，b>0)的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(a>0，b>0，λ≠0).(3)与双曲线x2a2-y2b(λ≠0，-b2<λ<a2).五、双曲线焦点三角形的相关问题1.双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其两个焦点F1，F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1，|PF2|=r2，∠F1PF2=θ，|F1F2|=2c，则①定义：|r1-r2|=2a.②余弦定理的应用：4c2=r12+r22-2r③面积公式：SΔPF1F2=12r1r④焦点△PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a.推导：设焦点三角形△F1PF2内切圆的圆心为I，P在右支上，设I的横坐标为xI，△F1PF2的内切圆与三边的切点分别为M，N，R，如图所示，则|F1R|-|F2R|=|F1M|-|F2N|=|F1M|+|PM|-(|F2N|+|PN|)=|PF1|-|PF2|=2a，即c+xI-(c-xI)=2a，解得xI=a.同理可得点P在左支上时，xI=-a. 2.由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面积、周长及有关角、变量的范围等问题.六、双曲线离心率的求解1.求双曲线的离心率(1)易求a，c时，直接利用e=ca求解，有时要结合c2=a2+b2(2)构建关于a，c的齐次方程，利用e=ca2.求双曲线离心率的取值范围利用题设中的条件，结合c2=a2+b2，构造关于a，c的齐次不等式，结合e>1确定离心率的范围.解题时注意利用图形中的位置关系(如三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点的距离的范围等).七、直线与双曲线的中点弦问题1.将直线方程与双曲线方程联立，消元后，用判别式、根与系数的关系和中点坐标公式求解.2.用“点差法”和中点坐标公式求解，注意检验.八、双曲线的综合应用 1.双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围，与向量、三角函数、不等式、直线等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系.(2)当与直线结合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.典型例题训练1．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．2．（2023秋·北京东城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（

）A． B． C． D．3．（2023·北京西城·统考一模）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023秋·北京西城·高三统考期末）已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（

）A． B． C．2 D．35．（2023·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（

）A． B． C． D．36．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．27．（2023·北京丰台·统考二模）已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（

）A． B． C． D．88．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．9．（2023·北京石景山·统考一模）已知双曲线的离心率是2，则（

）A．12 B． C． D．10．（2023·北京门头沟·统考一模）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．11．（2023·北京房山·统考二模）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（

）A．B．C． D．12．（2023·北京通州·统考三模）已知，分别为双曲线：的上，下焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．13．（2023·北京顺义·高三统考期末）若双曲线的离心率为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2023·北京昌平·统考二模）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．415．（2023·北京东城·统考一模）已知双曲线的一个焦点是，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为.16．（2023·北京海淀·统考二模）已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为．17．（2023·北京海淀·统考一模）已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为．18．（2023·北京房山·统考一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为.19．（2023秋·北京房山·高三统考期末）若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为.20．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为.21．（2023·北京平谷·统考一模）已知双曲线的离心率为2，则实数．22．（2023·北京延庆·统考一模）若双曲线的焦距是，则实数．23．（2023·北京西城·统考二模）已知两点．点满足，则的面积是；的一个取值为．24．（2023·北京丰台·统考一模）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．①双曲线H的离心率为；②若，，CE交AB于点P，则．25．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知双曲线的一个顶点为，且渐近线方程为，则实数，．26．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的渐近线方程是；的取值范围是.27．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为；若，则.28．（2023·北京密云·统考三模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为.29．（2023·北京延庆·统考一模）曲线的一条对称轴是；的取值范围是.参考答案1．【解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：2．【解】由题意，双曲线的渐近线方程为，所以，因为，的面积为4，所以，解得，，所以，即的焦距为.故选：C.3．【解】若双曲线的离心率为，则，所以，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的充分条件；反之，双曲线的一条渐近线为，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的必要条件；综上：“的离心率为”是“的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件，故选：D.4．【解】解:由题知双曲线,即,故焦点坐标为,渐近线方程为:,即,由双曲线的对称性,不妨取焦点到渐近线的距离,故焦点到其渐近线的距离为.故选:B5．【解】因为双曲线为，所以它的一条渐近线方程为；因为渐近线方程为，所以.故选：C.6．【解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，所以双曲线离心率.故选：D【解】由题意可得，解得，故选：B.8．【解】由题知：，平行的一条渐近线为，则直线，，即.因为为线段的中点，所以.把代入得：，化简得，即，则.故选：C9．【解】变形为，故圆心为，半径为1，的渐近线方程为，不妨取，由点到直线距离公式可得，解得，负值舍去.故选：C10．【解】由已知可得，则，故，所以，双曲线的渐近线方程为.故选：C.11．【解】双曲线的渐近线方程为，斜率为，依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上，所以直线的斜率的取值范围是.故选：A12．【解】因为，为的中点，所以，，所以，又，，所以，所以.故选：B.13．【解】，由于，所以，所以，故选：C14．【解】双曲线化为：，依题意，，解得，因此双曲线的实半轴长为1，所以双曲线的离心率为2.故选：C15．【解】取直线为双曲线的渐近线，则，双曲线的一个焦点是，故，故，故双曲线方程为.故答案为：16．【解】由已知可得，双曲线的焦点位于轴上，设C的标准方程为.因为双曲线C经过点，所以，则双曲线的渐近线方程为，所以，所以，C的标准方程为.故答案为：.17．【解】由题意，得e＝＝＝＝2.18．【解】双曲线的渐近线方程为,所以，所以双曲线C的离心率为.故答案为：2.19．【解】依题意，，，则双曲线的渐近线方程为.故答案为：20．【解】由题意可知，，离心率.故答案为：.21.【解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，则，所以，解得：.故答案为：.22．【解】由双曲线，即，且焦距为，即，解得，故答案为：.23.【解】由点可知，，所以点在圆，且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，联立，解得：或，则的面积；当时，，，，当时，，，，则其中的一个取值是.故答案为：；（答案不唯一）24．【解】①由题可得所以，所以双曲线H的离心率为；②，因为，且，所以,又因为，所以所以，所以,因为,解得，所以,故答案为:2;.25.【解】解：因为