2020-2022年高考数学真题分类汇编专题08 计数原理及概率与统计+平面解析几何（教师版+学生版）

专题08计数原理及概率与统计

1.【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的

概率为（）

A.5B.?C.ID..

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有弓=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：04）.06）.@8）阜.6）.性向.（4均0P8）,共7利L

故所求概率P=±Z=?.故选：D.

213

2.【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,

有至种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位

置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5

名同学共有：31X2X2=24种不同的排列方式，故选：B

3.【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回

的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件”第一次取出的球的数字是1",乙表示事件"第二

次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件"两次取

出的球的数字之和是7”,则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【解析】p（甲）=：,p（乙）=!，p（丙）=2,p（丁）=£=!，，

6636366

P（甲丙）=owP（甲）P（丙），P（甲丁）=—=P（甲）P（丁），

36

P（乙丙）=-i-wP（乙）尸（丙），P（丙丁）=04尸（丁）P（丙）,，故选：B.

36

【点睛】判断事件AB是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（8）=P（AB）是否成立

4.【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布N0O,/）,下列结论中不正确

的是（）

A.。越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【解析】对于A,d为数据的方差，所以b越小，数据在〃=10附近越集中，所以测量结

果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正

确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于

9.99的概率相等，故C正确；

对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（1021（）.3）的概率不同，所

以一次测量结果落在（9910.2）的概率与落在（1（）,10.3）的概率不同，故D错误.

故选：D.

5.【2020年新高考1卷（山东卷）】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只

去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C：；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有点；最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有=6x10=60种.故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

6.【2020年新高考1卷(山东卷)】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜

欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游

泳的学生数占该校学生总数的比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【分析】记"该中学学生喜欢足球"为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则"该中学

学生喜欢足球或游泳"为事件A+8,"该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳"为事件A.3,然后

根据积事件的概率公式P(A.8)=P(A)+P(B)-P(A+B)可得结果.

【解析】记"该中学学生喜欢足球”为事件A,"该中学学生喜欢游泳”为事件8,则"该中学

学生喜欢足球或游泳"为事件A+8,"该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳"为事件A-3,

则P(A)=0.6,产(5)=0.82,尸(A+8)=0.96,

所以尸(A•8)=P(A)+P(B)-P(A+8)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.

【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

7.【2020年新高考2卷(海南卷)】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选

择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()

A.2种B.3种C.6种D.8种

【答案】C

【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有尺=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种，故选：C.

【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

8.【2021年新高考1卷】有一组样本数据与，巧，…，x“，由这组数据得到新样本数据外,

力，…，y“，其中y=&+c(i=l,2,…,〃),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判断正误;

根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【解析】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且。工0,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为七，则第二组的中位数为％=x,+c,显然不相同，错误；

C：O(y)=O(x)+D(c)=O(x),故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为与稣-尤.，则第二组的极差为

为”-%>>=(Xmax+。)一(/in+，)=Xn>ax一/in，故极差相同，正确；

故选：CD

9.【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本4…,4的离散程度的是()

A.样本为,々，…，怎的标准差B.样本%,当，…,土的中位数

C.样本占,々，…，%的极差D.样本内,々,…，毛的平均数

【答案】AC

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定

正确选项.

【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

10.【2020年新高考1卷(山东卷)】信息端是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有

可能的取值为1，2,…,”，且P(X=i)=4>0(i=1,2,…,”),£0,=1,定义X的信息焙

<=1

W(X)=-^p,log2p/.()

r=l

A.若"=1,则H(X)=O

B.若n=2,则H(X)随着h的增大而增大

C.若儿=-(/=1,2,••.,«)，则"(X)随着n的增大而增大

n

D.若n=2m,随机变量丫所有可能的取值为1,2,“，且尸(丫=/)=%+%”,+“/=1,2,…,加)，

则H(X)<H(Y)

【答案】AC

【分析】对于A选项，求得"(X),由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行

排除；对于C选项，计算出“(X),利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，

计算出”(x),”(y),利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.

【解析】对于A选项，若〃=1,则i=lp=l,

所以”(X)=-(lxlog/)=0,所以A选项正确.

对于B选项，若〃=2,则i=l,2,p?=l-p],

所以H(X)=-[p「k>g2P[+(l-pJlog2(l-pj],

当Pi=4时，W(X)=-|^41°824+Z-I°S24j，

当Pi=:时,"(X)=-，/og2；+：/og2()，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若p；=，(i=l,2,...,〃)，则H(X)=-1Llog」]x〃=-log」=log,〃，

则”(X)随着〃的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若〃=2加，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…,，"，且P(Y=j)=pj+PEJ

2m2mj

(j=).//")=-2。，-唾2化=2“唾2一

i=\i=lPi

,1,1।1।1

=P\.10g2—+〃2.1°g2—+…+P2in-i'10g2-------+P2,„-10g2------.

PTPIP2,n-\Pim

"(y)=(PI+).l°g2―--+(P2+%").l°gz---------+•••+(P,„+P,"+J.log?--------

+++

P\Pl,nPlP2,n-\P,„Pn,+X

,1,1,1,1

=Pi•log?-------+。2,log?---------+■­•+-log2---------+p2m-log,-------由于

P|+Pin,Pl+P2,„-lPl+Pln,-\Pl+Pin,

/、11,1,1

Pj>0(Z=1,2,---,2AH),所以一>---------,所以log?—>log：----------,

PiPi+P2m+1PiPi+P2m+IT

^WP,-log2—>P,-log2-——，所以H(X)>H(Y),所以D选项错误.

PiPi+〃2切+17

故选：AC.

【点睛】本小题主要考查对新定义"信息烯"的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能

力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

11.【2020年新高考2卷(海南卷)】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复

产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

【答案】CD

【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复

产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以

判定CD正确.

【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，

第7天到第8天复工指数减少，

第10天到第11复工指数减少，

第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，

所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确；

由图可知，第9天至第"天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确；

故选：CD

【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，

难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.

12.【2022年新高考1卷】(1一3。十尸”的展开式中/好的系数为(用

数字作答).

【答案】-28

【分析】(I-?)任可化为结合二项式展开式的通项公式求解.

【解析】因为(1一J)(r+y)8=(r+y)8-J(x+y)8.

所以(i一3)的展开式中含.y6的项为中/一3c优一承^于，

(1-3(z+y>的展开式中/V的系数为一28.

故答案为：-28

13.[2022年新高考2卷】己知随机变量X服从正态分布M(Za2)，且P(2VXMZ5)=0.35，

则P(X>2.5)=____________.

【答案】0.141.

50

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【解析】因为/~沙(2。专，所以P0V2)=P(X>2)=O.5,

因此P0>2.S)=P(X>2)-P(2<X<25)=0-5-0-36=0.14.

故答案为：0.14.

14.【2022年新高考1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯

(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称

为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

⑴能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件"选到的人卫生习惯不够良好"，B表示事件“选到的

人患有该疾病”.瑞|与磊的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指

标，记该指标为R.

⑴证明:二篇霹

(ii)利用该调查数据，给出P5(B)收耶)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计

值.

Ww的0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】⑴答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)R=6；

【分析】(1)山所给数据结合公式求出X3的值，将其与临界值比较大小，山此确定是否有99%

的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；⑵⑴根据定义结合条件概

率公式即可完成证明；(ii)根据(i)结合已知数据求R

【解析】⑴由已知长1近工a:工父=24,

又P0C2N6.65)=0.01，24>6.635.

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2川)因为R=乌型.理=卫.皿.幽.迪,

।八.与代中)NG皿PM

所加需照需黑

所加黑舞

间由已知P⑷捺=静

_,__6Q___qn

又P0IS=前，PSl»)=奇，

所以人黑霖

15.【2022年新高考2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的

年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图:

⑴估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20.7。的概率；

⑶已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［4Q50)的人口占该地区总人

口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［4QS0),求此人患这种疾病的概

率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确

至I」0.0001).

【答案】(1)4465岁；(2)0.80；(3)0.0014.

【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设4=｛一人患这种疾病的年龄在区间［3).70］｝,根据对立事件的概率公式

P5)=l—即可解出；(3)根据条件概率公式即可求出.

【解析】⑴平均年龄£=(5x0.001+15X0.002+25X0.012+3SX0.017+45X0.023

+55XO.(HD+65X0.012+75x0.006+85X0.0Q2)x10=44石5(岁).

(2)设4=｛一人患这种疾病的年龄在区间［3).70］｝,所以

P(^)=1-=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)X10=1-O.H=O.ffi.

⑶设"=｛任选一人年龄位于区间［4QS0）J,C=｛任选一人患这种疾病］,

则由条件概率公式可得

气叩=o.Bfcxo.(iaxio0.001X0.3

p（qa）==0.0014275«0.0014.

IMfc-016-

16.【2021年新高考1卷】某学校组织"一带一路"知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加

比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比

赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同

学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；8类问题中的每个问题

回答正确得80分，否则得。分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B

类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）B类.

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即

可.（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【解析】（1）由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.

p(X=0)=1-0.8=0.2；

P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32；

=100)=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

X020100

p0.20.320.48

（2）由（1）知，£（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8问题，记y为小明的累计得分，

则y的所有可能取值为o,so,loo.

p（y=0）=1-0.6=0.4；

p（y=80）=0.6（l-0.8）=0.12；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以E(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题.

17.【2021年新高考2卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微

生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代

繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,

P(X=i)=p,"=0,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,Pl=0.3,P2=0.2,03=0.1,求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

Po+AX+PzV+Psx'x的一个最小正实根，求证：当2X)41时，P=\,当E(X)>1时，

P<1;

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

【答案】(1)1;(2)见解析；(3)见解析.

【分析】(1)利用公式计算可得E(X).

(2)利用导数讨论函数的单调性，结合/。)=0及极值点的范围可得的最小正零点.

(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【解析】(1)E(X)=0x0.44-1x0.3+2x0.2+3x0.1=1,

(2)设/(犬)=/?3丁+0*2+(月一1)工+20，

因为P3+P2+P1+%=1，故/(3)=。3/+~(P1+Po+A)x+M)>

若E(X)41,则巧+2凸+3外41,故P?+2p34Po.

2

,(x)=3p3x+2p2x-(p2+p0+p3),

因为f'(0)=-(P2+A)+P3)<0，/(1)=8+2。3一岛40，

故尸(x)有两个不同零点占，三，且王

且工€(-00,%)。(工2，+00)时，r(x)>0；xe(0苍)时，r(x)<。；

故/(x)在(ro,%),(々,+<»)上为增函数，在(%,当)上为减函数，

若々=1，因为/（X）在（w，*8）为增函数且"1）=0，

而当x€（o,电）时,因为“X）在（芯,电）上为减函数，

故/（力>/（9）=/（1）=0,

23

故1为％+PtX+p2x+p3x=X的一个最小正实根，

若%>1,因为/⑴=0且在（O，w）上为减函数，

故1为%+。/+02.+03工3=%的一个最小正实根,

综上，若E（x）41,则p=l.

若E（X）>1,则R+2P2+3凸>1,故P2+2P3>PO.

此时/'（0）=—（2+A）+。3）<0，/（I）=+2。3->。，

故尸（X）有两个不同零点三,匕，且x,<0<%<1,

且xe（-oo，w）U（X4，+oo）时，r（x）>0；xe（w，X4）时，r（x）<0；

故/（x）在（ro，W）,（%+°°）上为增函数，在（电用）上为减函数，

而"1）=0,故/&）<0,

X/（O）=po>O,故在（0,々）存在一个零点P，且"1.

所以。为%+。科+02尤2+03/=*的一个最小正实根，此时P<1,

故当E（X）>1时，p<l.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后

代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.

18.【2020年新高考1卷（山东卷）】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某

市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO,浓度（单位：%/mD,得下

表：

[0,50](50,150](150,475]

PM25

[0,35]32184

(35〃司6812

(75,115]3710

(1)估计事件"该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率:

(2)根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

[0,150](150,475]

电7习

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与S0?

浓度有关？

附：——幽也——,

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K[>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)0.64；(2)答案见解析；(3)有.

【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；(2)根据表格中数据可

得2x2列联表；(3)计算出K?，结合临界值表可得结论.

【解析】(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不

超过150的天数有32+6+18+8=64天,

所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的概率为

^=064；

（2）由所给数据，可得2x2列联表为:

so

2[0,150](150,475]合计

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合计7426100

（3）根据2x2列联表中的数据可得

n[ad-bc~y100x(64x10-16x10)2=毛"»7.4844>6.635,

K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26481

因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO。浓度有关.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列联表，考查了独立性检验，属

于中档题.

专题08计数原理及概率与统计

1.【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的

概率为（）

A-；B.：C.?D.?

2.【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

3.【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回

的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件”第一次取出的球的数字是1",乙表示事件"第二

次取出的球的数字是2",丙表示事件"两次取出的球的数字之和是8",丁表示事件"两次取

出的球的数字之和是7”,则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

4.【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布下列结论中不正确

的是（）

A.b越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中落在（9910.2）与落在（10,10.3）的概率相等

5.【2020年新高考1卷（山东卷）】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只

去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

（）

A.120种B.90利।

C.60种D.30种

6.【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜

欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游

泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

7.【2020年新高考2卷（海南卷）】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选

择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

8.【2021年新高考1卷】有一组样本数据玉，巧，...，4,由这组数据得到新样本数据X，

力，・・.，y,，其中M=%+c(i=l，2,…/),C为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

9.【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本对马,…,x”的离散程度的是()

A.样本％的标准差B.样本玉,々，…,X”的中位数

C.样本%,%，…，%的极差D.样本…,*”的平均数

10.【2020年新高考1卷(山东卷)】信息嫡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有

可能的取值为1,2,…,〃，且尸(X=/)=p；>0«=1,2,丹=1,定义X的信息焙

1=1

"(X)=-fp,log2A.()

f=l

A.若n=l,则H(X)=0

B.若n=2,则H(X)随着Pi的增大而增大

C.若p,」a=l,2,…M,则H(X)随着n的增大而增大

n

D.若n=2m,随机变量丫所有可能的取值为1,2,，且％，=/)=p,+%>*(/=12…,M,

则H(X)<H(Y)

11.【2020年新高考2卷(海南卷)】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复

产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

12.【2022年新高考1卷】（1一尸的展开式中1/的系数为（用

数字作答）.

13.[2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布NQo2），且4Z5）=0.35，

则P[X>2.5）=_______________.

14.【2022年新高考1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯

（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例（称

为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

⑴能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

⑵从该地的人群中任选一人，A表示事件"选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件"选到的

人患有该疾病警与僵的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指

标，记该指标为R.

(i)证明:

（ii）利用该调查数据，给出改那）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计

值.

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

15.【2022年新高考2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的

年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

⑴估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间12),70)的概率；

⑶已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［4Q班的人口占该地区总人

口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［4QS0)，求此人患这种疾病的概

率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确

至Uo.oooi).

16.【2021年新高考1卷】某学校组织“一带一路"知识竞赛，有A,8两类问题，每位参加

比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比

赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同

学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题

回答正确得80分，否则得。分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8

类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

17.【2021年新高考2卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微

生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代该微生物每代

繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

P(X=i)=p,(i=0,l,2,3).

(1)已知Po=°-4,Pi=。-3,02=。-2,心=°」，求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

Po+PiX+PzV+Psx'x的一个最小正实根，求证：当2X)41时，p=l,当E(X)>1时，

P<1;

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

18.【2020年新高考1卷(山东卷)】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某

市空气质量进行调研，随机抽查了1()0天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：ug/n?),得下

表：

[0,50](50,150](150,475]

PM25

[0,3习32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事件"该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率:

(2)根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

[0,150](150,475]

[0,7习

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?

浓度有关？

附：心——幽处——，

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

三年专题08平面解析几何(解答题)

1.【2022年全国甲卷】设抛物线《炉二与工也〉。)的焦点为尸，点过尸的直线交C

于M,N两点.当直线MO垂直于x轴时，|UF|=3.

⑴求C的方程；

(2)设直线1TO.M)与C的另一个交点分别为A,B,记直线师.犯的倾斜角分别为当

取得最大值时，求直线4B的方程.

［答案】(1/=4x：

Q)AB：X=6+4

【解析】

【分析】

(1)由抛物线的定义可得|Mq=p+；,即可得解；

(2)设点的坐标及直线JW：x=mv+l,由韦达定理及斜率公式可得&"=2比11r再由差

角的正切公式及基本不等式可得上.=咚，设直线硬：£=内+11，结合韦达定理可解.

(1)

抛物线的准线为*=-；,当M与x轴垂直时，点M的横坐标为p,

此时|昕|=p+，=3,所以p=2，

所以抛物线C的方程为，=4x：

（2）

设风4班）/营a）次。如）夙今九）直线呷:==mV+1

,x=my+l_,.

由｛J可r得ZFy2-4叫一4=0，A>OpyiVa=^4»

V=4r

由斜率公式可得诉，3=手手=诉,

AAA-A

直线1©：H=胃•y+2,代入抛物线方程可得尸-哼义了一8=0,

4>Ory1ya=-所以也|=2於，同理可得h=2%,

所以左M=£=E

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为",

所以史加=ta叩=容=中,

若要使。一《最大，(ft"),

则tan(a-仍=百=^=百«=r^<痘=彳，

设&„=2瓦1a=2i>0.

当且仅当：=2★即七=?时，等号成立，

所以当《一«最大时，幻w=学，设直线AW；ir=+

代入抛物线方程可得V-4^y-4n=0

&>Ory3y4=^4»=――16>所以n=4，

所以直线4*X=岳+4・

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标问

的关系.

2.【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

期）.一2"（|.-1）两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点P（L—2）的直线交E于M，N两点,过M且平行于x轴的直线与线段交于点7,

点”满足福广=加.证明：直线HN过定点.

【答案】（1"=1

4W

（2）tft-2）

【解析】

【分析】

（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

（1）

解：设椭圆E的方程为mx3+皿/=1，过4（0.-信1）,

f4n—1I1

则上一^.>解得m=-，n=

l1m+n=1a«

所以椭圆E的方程为：t+4=L

（2）

所以/!B：y+2=江，

①若过点PtL—2）的直线斜率不存在，直线x=L代入J号=1，

可得如L孚），N（L-当，代入A8方程y=：H—2,可得

T（语+3,半），由后=用得到田（国居+5.孚）-求得"N方程：

y=（2—孚江一2过点［口一2）

②若过点P［L—2）的直线斜率存在，设上工一了一［无+2）=0.弧！.%），［3,八.

fkr-y-(t+2)=0

联立］/工+45X2-6k(2+k)x+3kCfc+4)=0,

\----I-----=1

，.-a(»k)

力+%=

可得，

了3744

且与%+巧71=正京（.）

y=力

扛_2•可得n季+3・力）题加+6-4加

{y=

可求得此时HMy一力=^一g巧），

将代入整理得我斯+xa)—fify,+y,)+XiYa+rayi—3yiya-12=0，

将［•)代入，ft»k+12k2+96+4»-24k-48-4K+24k2-36k2-48=0.

显然成立,

综上，可得直线HN过定点［0,-2）.

【点睛】

求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

3.【2022年新高考1卷】已知点在双曲线一芸=1（盘＞1）上，直线/交C于尸，

Q两点，直线即4的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

（2）若tanz2驾=26，求△R4。的面积.

【答案】⑴一1;

⑵迫

Q

【解析】

【分析】

（1）由点41Z1）在双曲线上可求出。，易知直线/的斜率存在，设t：y=^H+m,

P&,yJQ1%yJ再根据％+看”=0，即可解出/的斜率；

（2）根据直线械网的斜率之和为0可知直线通皿的倾斜角互补，再根据恒叱叫=2”