结构力学之结构的位移计算及习题课讲义

第八章结构的位移计算§8-1应用虚功原理求刚体体系的位移§8-2结构位移计算的一般公式§8-3荷载作用下的位移计算§8-4荷载作用下的位移计算举例§8-5图乘法§8-6温度作用时的位移计算§8-7互等定理§8-0简介1本章讨论两个问题：第一，讨论刚体体系虚功原理的另一种应用形式：虚设力系，求刚体体系的位移。第二，利用刚体体系有局部变形时的位移，根据叠加原理求变形体体系整体变形时的位移，得出结构在荷载、温度等因素作用下的位移计算公式。结构位移计算是本章讨论的主题，而虚功原理则为解决这个主题提供理论基础。2本章要求：1、了解结构位移产生的原因、位移的种类、位移计算的目的；2、掌握单位荷载法求解结构位移的基本原理；3、重点掌握应用图乘进行求解结构位移的方法—图乘法；4、了解广义单位荷载和广义单位位移的概念；5、了解互等定理—是超静定结构内力计算的基础。3§8-1应用虚功原理求刚体体系的位移1、结构位移计算概述(1)计算结构位移目的一是验算结构的刚度，即验算结构的位移是否超过允许的位移限值(例如吊车梁允许的挠度限值通常规定为跨度的1/600)；二是为超静定结构的内力分析打下基础(因为在超静定结构的内力分析中，不仅要考虑平衡条件，而且还必须考虑变形方面的条件)。4(2)产生位移的原因(主要有下列三种)：①例如在图8-1中，如果静定多跨梁的支座A有给定的位移，那么杆AC将绕B点转动，杆CD绕D点转动。这时，各杆只发生刚体运动，而应变却等于零。Ac①荷载作用；②温度变化和材料胀缩；③支座沉降和制造误差。结构各点产生位移时，结构内部是否也同时产生应变呢？这里有两种情况：ll/32l/3CDBAcA

C

图8-15图8-2qxwMMR=1

②例如在图8-2中，简支梁在荷载作用下，各点产生线位移(挠度w)；同时梁由于承受弯矩M而产生曲率

和应变

。在上面两个例子中，前一个是刚体体系的位移问题(有位移，但无应变)；后一个是变形体体系的位移问题(有位移，也有应变)。由此可以看出：计算位移的问题本来是一个几何问题，自然可以采用几何方法来求解。6在图8-1所示刚体体系位移问题中，如果支座位移是一个微量，则根据几何关系即可直接求出下列角位移和线位移：AclcA/=

杆AC的角位移：3/3/ACcl==

C点的线位移：lclAC2/)3/2/(=

=

杆CD的角位移：图8-2所示变形体体系位移问题，实际上也是一个几何问题。根据曲率与挠度之间的几何关系22/1dxwdR==

w即可由曲率求出挠度。位移计算虽然是一个几何问题，但是最好的解法并不是几何法，而是虚功法。7本章遵的位司移计拍算有狭两个放方面共：一是音：应用创刚体罢虚功盐原理狮计算扯刚体扯体系伙的位赚移；二是和：应用百刚体链虚功巾原理绣与叠族加原炎理计荡算变和形体卖体系贺的位影移。(3拨)结构胆位移椒的种扔类②绝对匆角位华移

C①绝对员线位剑移

C(

CH，

CV)

C

CH

CV

CP荷载产生(a)图8-3

C

CHt1t2

C

CVt2>t1温变产生(b)支座沉陷产生

CH

CV

CC´

c

AcAA´ABC(c)8

B

ABABP1P2

A

AH

BH图8-4③相对虏线位湖移

AB曲H=

AH+

BH④相对舍角位朗移

AB=

A+

B相对哑线位扭移和初相对笋角位雨移又名称为广义选位移。在梁嫂中，认一般视水平煎位移私，与愉竖向越位移职相比掌较小念，通裕常可弯忽略炉不计渠，故推一般瞒只求拣竖向迎位移闯，就倦是通蓄常所灿说的欧“挠度”。2、利储用虚问功原难理求洒刚体肃体系怒的位装移(1报)虚功起原理设体辽系上笨作用牵有任循意的平衡蒜力系，又脸设体甚系发沙生符合册约束恭条件其的无挖限小帜刚体裤体系炊位移，则拉主动瘦力在词位移茂上所凡做的宰虚功细总和陶恒等滩于零洋。9“虚”——指形市成功娱的力奴和位敲移彼画此独牢立无未关。“实功”——指力肢在其梁本身询产生壳的位勾移上担做功循。(2铅)应用欧形式虚设昨位移越，求里未知钥力→虚位救移原结理(虚位愚移法)；虚设跨力系俘，求爷未知横位移→虚力基原理(虚力舒法)。本章茅主要区介绍释虚力予法求律位移排。(3拿)虚设网力系忽求刚形体位珠移如图8-5a所示先的静穗定梁付，支扣座A向上名移动植一个骂已知控的距各离c1，现在填拟求B点的赌竖向乏位移

。

AA´B´CBc1ab图8-5(a)10①对图8-5a中的香位移塔状态魂应用冬虚功织原理要点：位缘瑞移状狭态是给定的，役力系低则可扛根据隙我们岔的意苗图来虚设。②意图：为了慌便于镜求出

，希郊望在美虚功误方程凯中除腥了拟猫求的弱未知无位移

外，浙不再犯包含絮别的仆未知演位移便。因乏此，汗在选爪择虚仰力系株时应恢当只部在拟求肃位移

的方驾向设洞置单位胸荷载，而反在其观他地懂方不老再设罢置荷倦载。血这个枯单位算荷载济与相晴应的旅支座歉反力纸组成挎一个虚设摆的平互衡力忆系，如叼图8-5b如所业示。图8-5(b)1BCAR1R1=-b/a根据平衡条件，可求出支座A的反力：③列虚功寺方程：令姓图8-5b中的踢虚设培平衡迹力系膊在图8-5a中的敏实际碌刚体谣位移昼上作违虚功钓，即玩得出柱虚功撞方程屈如下葬：

·1+c1R1=011

=-c1R1=b/a·c1④求位移

：方法善特点欲：①虚功雷方程警实质敲上是雀几何性方程折；②关键公是在我拟求抄位移

方向上虚设扛单位吊荷载斗

单位豪荷载章法；③采用晓静力虹平衡匪方法脂解几挥何问仇题。(3汽)支座柿移动迫时静睡定结间构的辟位移衫计算首先句要说研明的晕是：①在静政定结负构中壮，支键座移溜动时献并不妥引起坟内力括，也帽不引岭起应聚变。犹因此帜，支盼座移受动时缴静定唱结构宾的位组移计舍算问粒题都拉是刚逃体体程系的股位移辆计算适问题腾，因愚而可袄用刚搅体体丢系虚炕功原品理来皂求解墓。12②应用洽单位足荷载额法求截不同配的位帖移时巨，应骄当选部择不糟同的测单位矿荷载们。我们都虚设篮单位报荷载事的目的是希顿望在锄虚功阅方程周中正俩好包陕含拟妙求的作未知辰位移芦。因带此，路虚设葱的单颗位荷掠载应影当正枯好是渐与拟患求位男移相铁应的尿单位邻荷载塌。也挑就是腹说，这个裂单位凳荷载啊所作雷的虚饼功在跳数值蛮上应钓当正排好等护于拟票求的包位移。

CH

CV

CC´

c

ACAA´ABC图8-6(a)例8-1图8-6a示刚窃架，斑各杆吗的长纪度为L，支座A产生飘位移匹，下谷移cA，顺时愤针转酿动为

A。求：B点的灯水平标位移

BH、C点的淹竖向碌位移

CV和C点的喘转角

C。解：(1这)求B点的阻水平喘位移

BH(如图贡8-6b)：13ABP=1CHAMAYA(b)①根据衰拟求坚位移

BH在B点虚菜设水土平单他位荷戚载P=1②可求金出支遣座A的支狂座反墨力为YA=0、HA=1、MA=-L③列虚尤功方甚程1·

BH

-YA·cA+MA·

A=0(RKcK=-YA·cA+MA·

A)④求出

BH

BH=YA·cA

-MA·

A=L

·

A

()(2票)同理屋可求C点的匠竖向赵位移

CV(如图愚8-6c)CHA=0ABP=1MA

=-LYA

=1(c)

CV=cA-L·

A14(3勒)同理斗可求C点的贸转角

C(如图8-6d)ABP=1CHA=0MA=-1YA=0图8-6(d)

C

=

A(刚体转动)()可以美看出羽结构牲上任顿一点寇的转推动皆冤为

A，即刚天体是念整体着转动授的。分析可知：虚设单位荷载时，应该是单位集中力在相应的线位移上做虚功，单位集中力偶在相应的角位移上做虚功。这样才能为虚设的单位力系提供方便。支座漏移动碌时静迎定结滔构的盒位移较计算借的步骤妹：(1)沿拟求位移

方向(双向)虚设相应的单位荷载P=1，并求出P=1作用下的支座反力。RK(2注)令虚捎设单译位力硬系P=1在实侍际位乔移状挂态上乱做功厅，列源出虚嫩功方捡程：151·

+RKcK=0

—拟求诞位移会，是羡广义苗位移挖；cK—实际蜘位移费状态爸的支舅座沉披陷量炊；RK—单位荷载下对应cK的支座反力。

是代数和，乘积为两者方向一致时为正，反之为负。

RKcKRKcK(3)解出拟求位移

：

=-

RKcK。注意躁：当

为正荣时，零说明愚实际蜂位移枣方向栗与P=1指向萝相同消，为墨负时浩则相沙反。16§8-2结构方位移帝计算删的一斤般公遭式本节泳讨论桑：变形米体系啊的位基移计紧算，存即：誉结构盟内部匀有应变产生炊的情课况。选择喂一静编定刚枕架说钟明位保移计意算的敲一般谣公式同推导敌过程腔。一、旅公式向推导虚功暮方程滔涉及是两种启状态单，一烈种是实际恳位移身状态(可由卵多种足因素刚造成饲，支袍座沉锄陷引救起的蓬位移赢计算献已经踏讲过)，一烛种是虚设泽力系戒状态，现捡在以必结构泡在荷纸载作厅用下搂引起究的位友移计医算为遍例。讨论舱的问弯题：实醒际位歇移状陪态由懂荷载牌引起浙，拟雕求k点沿n-n方向宏的位衡移

kn。17图8-7(a)实际位移状态d

id

id

idsp1M0p2kk´

knndsn(b)虚设单位力系状态kP=1dsnnNNQQMdsM181、虚滑设一躁个单颗位力禁系状艰态(如图8-7b)；2、取微秤段ds进行退分析(如图8-7a、b)；3、列虚摸功方至程：拣根据禾变形享体虚阳功原项理(证明火见§1饼4-2节)外力伪虚功We=内力停虚功WikneWD·=1在此：M()

++==iiiiidNdQddwWlhq(单杆)M()

++D·iiikndNdQdlhq=1即：对于煎多杆街结构拔，有鸣：M()

++

D·iiikndNdQdlhq=1这里达：di、di、di描述品微段走的总状变形边，由溪材料梦力学债知：194、当外考虑辅到实吹际位姓移同星时有围支座翁沉陷把时，笋则考虑鲁到k点及n-n方向知的任骨意性喉则有此即株为结锯构位洲移计策算的惧一般制公式主。20二、对公式肢的几僻点说兄明1、公悉式是签一个精普遍寻性公画式，基可用第于求辆解结域构(静定布或超柴静定)上任家一截圣面的控沿任咱意方龟向的浊位移(广义尤位移)(弹性狡材料老或非拾弹性号材料)。2、P=1是广市义单辨位荷梨载—祥—其扬性质僚取决能于拟贩求位竭移的贝性质颂，求归得的仇位移链的量诞纲是照正确馆的(考虑康公式眨左边缠是功失的量耳纲、铺或公键式两半边同铅除以P=1熟)。4、公翻式适伍用于谨直杆搏杆系存，也闻适用畏于小役曲率胶杆件剑，当R>5h时可搭用(R—曲率旦半径前，h—杆件宅截面会高度)。215、萄公式军可用者于各锁种因稼素引银起的奥各种赚结构牺的位腊移计尝算，委只是砌此时

、

0、

(d

i、di、di)的计剂算不曲同而辈已。6、扣结果础分析丘：当

>0时，字说明棉拟求避位移

的指拥向与功虚设P=1指向铺一致宁；当

<0时，耻表示稼方向践相反牛。三、督计算闸步骤1、虚潮设单山位力甘系，P=1沿

的方缴向和欧性质研施加阅；2、求出

；M、Q、N、RK3、利用雁公式鱼计算(

、

0、

、cK为已运知)。关键秤：根据剩拟求幻玉位移

虚设址单位讽力系臭，在膛此提瓜出广义盐位移和广义身荷载的概育念。22四、弄广义塘位移男和广书义荷湖载(看例务子)广义肺位移

线位竖移角位歪移相对冲线位劝移相对皂角位姻移广义办单位柜荷载P=1单位喂力单位援力偶扔矩一对赏单位沸力(方向拣相反)一对瓣单位武力偶圆矩(方向捎相反)2324§8-3荷载倡作用料下的握位移般计算前提摸：只考衡虑荷贿载作仿用，旱其他塌情况胡不考霞虑。结构纤位移壤计算旁的一召般公渴式：当不剂考虑漂支座巾沉陷助时有答：利用肉材料立力学锈的结烦果：25这里想：E和G分别雀为材准料的超弹性续模量看和剪念切弹哥性模价量；A和I分别爆是杆拢件截爷面的狼面积因和惯范性矩队；EI、EA、GA分别齐是杆膛件截盆面的扛抗弯它、抗辽拉、励抗剪婆刚度岁；k是一陕个与距截面说形状裤有关永的系底数。一、乘荷载稍作用砍下弹燃性位霉移的被一般战公式欢为：式中：MP，NP，QP——实际荷载引起的内力；M，N，Q——虚设单位荷载引起的内力。关于屑内力短的正膨负号券规定叼如下殿：轴力NP，——以拉力为正；N剪力QP，——以微段顺时针转动者为正；Q26弯矩MP，——只规定乘积的正负号。当与MP使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。MMPMM截面剥形状板系数k：截面形式系数k矩形6/5圆形10/9薄壁圆环形2工字形或箱形A/A1(A1为腹板面积)**此败值为盘近似披值。27二、错各类液结构做的位复移公哈式对于丛各种吴不同知形式缴的结嫩构，热三种惜变形毫影响困比重坑不一探，如脾桁架暑只有佛轴力徐，只恒产生演轴向灯变形涝；梁拍结构遇、刚锯架主退要考着虑弯朗曲变醋形的紧影响榜。为贯简化棒计算丸，略逢去次覆要因保素的牧影响歪，对奖不同绳的结握构可榜以考减虑主捷要影获响项皱。1、梁民、刚兆架M

=DdSEIMP2、桁偶架N

===DEAlNNdsEANNdsEANPPP283、组燥合结沃构——桁梁渔混合槽结构MN

+=DEAlNdsEIMPP公式加中的玩右边弊第一撒项只会考虑山梁式钥杆，法第二粥项只乡丰考虑艘桁架时杆。4、拱M

+=DEANNdsEIMPPds

在拱纷的位主移计鸡算中焦，当执压力桶线与喷拱的次轴线纤相近比时，秤应考察虑弯坟曲变制形和震拉伸盛变形喝对位捧移的咐影响顿；否奸则，造只需帖考虑鱼弯曲姐变形势的影旅响。29§8-4荷载语作用吊下的狼位移梦计算咽举例例8-2求图辉示梁A端的易竖向遥位移

，梁现的抗障弯刚桂度为EI=常数两。设华梁的廊截面登为矩嗽形。图8-8(b)BAxP=1lM

图(a)BAqlxMP图22ql30解：债先求姑实际演荷载掀作用领下的主弯矩MP，再求终虚设趣单位扁荷载专作用期下的林弯矩查，取A点为朵坐标岛原点疾，任寻意截隆面x的弯串矩为险：实际荷载qxMP-=221虚设单位荷载Mx-=弯曲兵变形肆引起俊的位梢移为近：MEIqldxEIqxxdsEIMlP8)21)((402=--==D

关键页：在写踏弯矩读表达森式时吊，注饥意坐限标取秘向必柿须一戴致，杨两种键状态悦下规帜定同书侧受迟拉为森正。31例8-3求图椅示刚愁架C点的响竖向财位移

CV和角怎位移

C，EI=常数循。ABqCxxaa图8-9(a)解：1、求

CV(1援)虚设确单位灰力系比，如棉图8-9(b)。P=1AB(b)CxxM(2)写出各杆的弯矩方程(注意：坐标原点的选取应使、MP

一致，且以内侧受拉为正)BC杆：Mx-=qxMP-=22BA杆：Ma-=qaMP-=22(3局)代入铁公式卷计算M()

=

=D

EIqadxEIMpCV854322、求

C(与前番面的右步骤墙相同)P=1AB(c)CxxBC杆：1-=M22-=qxMP1-=M22-=qaMPAB杆：求得：

EIqadxEIMMpC323=

=

q()33例8-4求图生示桁职架C点的梦竖向训位移

CV，各杆EA相同庸。图8-10(a)NP图ABddddd-P00PPPPCP2-P2-解：(1器)虚设驳单位萌力系BC-1P=1N图(b)A2222212122-22-(2)求NP

、N(并将结果标在相应图中)(3时)计算陈位移34

-N()()()

=

+

--+

-=

=DEAPddPdPdPEAlEANPCV83.6)]2221(2122)22)(2[(1计算能时需注意的是促：不赵要忘基记乘隶以杆戴长。看书扇中例壁8-4，贷桁架进的位驻移计裤算采诊用的鞠是列腰表法璃计算歪，且书梳中的揭例8-3、4、5都讨枯论了触剪力赞、轴滤力对策位移腔的影歌响，参并与化弯矩受对位价移的瓣影响布作了葱对比庆。35例8-5在例8-4中求CD杆的鬼转动统角度豆。Nd21解：关键是虚设单位力系，在C、D两点施加垂直CD杆的一对大小相等方向相反的集中力()形成单位力偶矩P=1。计算，可求得

CD=-P/EA()。Dd14BCd21P=N图(c)Ad14-4d24d24d2-d21P=d12图8-1036例8-6组合举结构纠计算役，如田图8-11所示们，梁握式杆EI=c被on灰st，桁杆EA=c泊on糊st。求C点的毙竖向蓝位移

CV。图8-11d4dP-P-PP/2P/2PCDA(a)P2BEP2解：(1愉)虚设服单位浪力系戴如图8-11b-11P=11/21/2(b)CDABE22-1ACDPP(c)P2P/2P/2ACD1/21/21(d)1237(2)求出：结果直接标在图中。M，NMNpp，，(3叠)根据渗图8-11c、d，写出亚弯矩坚表达蛮式。()()下拉为正下拉为正段xMPxMDCp2121-=-=

()()下拉为正下拉为正段xMPxMDAp2121-=-=

(4算)计算

CVNM()()

++=

+

=D

1433dEAPdEIPdlEANdxEIMppCV238§8-5图乘押法前面乡丰讨论熟过：获计算思弯曲锻变形书引起始的位怖移时福，需职要计炮算积公分式趣：M

dxEIMP当我巧们考连虑到MP不仅俯是荷两载产胁生时必，可作用更互一般倚的符爹号MK表示诉。当勺结构可杆件晒是直尚杆，备且EI为常守数时盾，可勇有下写式：MM

=dxMEIdxEIMKK139针对哥这类太问题千，我欧们讨弹论另倘一种拨求解侦结构御位移匪的方仍法(图乘夸法)。因酸为当工结构西复杂议或结木构受梯力相前对复完杂时局，用印积分此法计出算工示作量突是相价当大也的。一、厉图乘暮公式片的推盟导任意曲线。求：+=ybxayyy2121为直线图，是两个函数，，设：是且21=?

BAdxyyy2*

y0dxdAx0xbxay+=1Bxy0图8-12)2()1()(22221+=+=+=

BABABABAdxbxydxaydxybxadxyy40：02)2(xbdxxybBAw==

2)1(adxyaBAw==

其中图的面积；2(yw是w)形心的横坐标是图的是w020xyx面积矩；21)(

：bx0ax0badxyyBAwww+=+=

所以0010，

bxayyxx+===时当：021：ydxyyBAw=

即M引入我们所讨论的问题：KMyy

21，有：MM011yEIdxMEIdxEIMABKABK

==

w这样饮，我躁们将邀问题河的积淋分运企算转尖化为威图形灰的面缠积

、形心祖和竖谜标问驶题。英对杆隔系结极构每雄根杆渴件求汗和有答：41MEIydxEIMK0w

=

应用伴图乘林法计链算时懒要注意走几点：(1窗)应用蓝条件：杆炼件应旁是等雪截面爽杆件厨，两泼个图哑形中日应有夏一个绪是直花线，反标距y0应取早自直手线图锐中。(2辈)正负属号规邻则：面停积

与标烂距y0在杆土的同踏一边县时，息乘积

y0取正葵号；

与y0在杆岭的不关同边斤时，

y0取负泄号。图8-13给出循了位芦移计住算中厘几种我常见吊图形赖的面黄积和裂形心巷的位纪置。陡在应士用抛枝物线暮图形妇的公低式时响，必装须注帝意在唱顶点早处的尚切线震应与票基线风平行述。42(a)abC(l+a)/3(l+b)/3lh2lh三角形

=图8-1332lh二次抛物线

=(b)顶点l/2l/2hC(c)C顶点hl5l/83l/832lh二次抛物线

=3lh二次抛物线

=l3l/4l/4(d)顶点hC另外架：书袖中还勿给出抱了三鼓次抛配物线璃及n次抛匪物线虾的计虫算公止式，释课后炭自己戴看一窑下，子一般惩用不康到，遮不用遮特别帜记忆禽。43二、怨图乘共技巧罗与特严殊问现题的耻处理1、若鸽两个险互乘饰的图泼形都言是直随线图量，则牛标距y0可取裙自任悉一图壳，见摸图8-14a。(a)y0

M图wy0MK图图8-142、若垮一个抖图形疤是曲先线图毫，另但一个抗图形艇是折辱线图扮，则决应分亦段计萝算(以转填折点匪为分浇段点)，见办图8-14b。M图w1w2w3MK图y1y2y3(b)M3312211yyydsMKwww++=

443、若较两个妨图形秧都是爽梯形(图8-15只)，可以栽不求筝梯形姻面积爬的形散心，陵而把旗一个妻梯形织分为头两个脊三角待形或览一个诵矩形饰和一赞个三令角形作，分予别应邪用图海乘法否。图8-15cadbM图MK图w1w2y1y2M2211yydsMKww+=

其中梨标距y1和y2可用孕下式沸计算丽：dcydcy3231313221+=+=4、若让直线患图中六具有惨正负加号部言分时(图8-16炭)，图语乘时盘可将迹其中膀一个所图形献看作船底相霉同、浴高分拥别为a和b的两个酿三角蛾形。45y2w1w2y1cabdDBACM图MK图图8-16M2211yydsMKww-=

其中浑标距y1和y2可用池下式勒计算厕：dcydcy3231313221+=+=--注意荷：正负昏号部裹分是盛指弯晓矩图漆沿杆愤出现兄不同野侧受移拉现徐象。滩可以悼证明律：三洗角形丝式补齐摸的面积，上到下两抖部分相等，且多其形心位于同一欧竖线上，脑不影分响计践算结日果。5、当MK图为从叠加五图时(如图8-17影)，图前乘时坛可以踏分解嫁分别但图乘汽，但拔需注吩意

、y0的异壁同侧(注意叠加影时的报新基定线)。46图8-17(c)KM

82qlAB82qlKM(a)AMBMABCDKM

(b)AMBMABCD将MK

图分解为和图分别与图进行图乘，然后相加，即得原结果。MK

MMK

左图受荷简支梁即有如上弯矩图。AMBMql476、若顶图乘恳计算朵时，汽积分清杆件册具有侮突变着截面互，则愁应分撤段图挤乘计耀算。北此时巷，注口意各很段抗平弯刚馋度EI的值良。7、若灿杆件普为小次曲率险曲杆记时，御也可忧以使兵用图虾乘法炸。三、静举例例8-7求图蜡示(如图8-18a)梁中侵点的阔挠度

CV，EI=5104kN

m2。kNP12=2m2mABCmkNq/3=(a)图8-18解：(1吧)虚设剑单位艘力系(如图8-18b)；P1=(b)M图1y1y21/22/3M(2)作

、MP图(如图8-18b、c)；**

1

2181.5(c)MP

图(3仔)图乘尊计算泥。48因直根线图拖是折跌线图攻，应浮分段坑图乘张，MP图是坚叠加令图分论为两黄部分

1和

2。==

=3/2181822111yw==

=2/125.123222yw()

=

==+=D-mmmEIyyEICV52.01052.026)(232211ww该题侮容易导出的榆错误惠是：MP图作后出后柜，将C点作录为全埋抛物洞线的瞒顶点菌进行溉计算轨。值得所提出丧的是难：分块谈后

2是一阔具有皱顶点总的全旷抛物予线，蔽顶点丢是在债其中已点处雪。需指钻出的是：顶点诉的切渔线平岭行于卸基线(此时逆新的平基线雹是MP图的印叠加延线)；不衫具有逃顶点能的抛柜物线伟，其胃面积享和形幅心的上公式搅不能掠应用钩。49(4舌)讨论荡：①当梁市上只羞有均徐布荷忍载q，而没掠有集西中力钱作用愚时，MP图是桶在C点具正有顶左点的串全抛弓物线领，图面乘时恰可分债为一体个三夕角形老和一幅个抛保物线浆相乘愚。其某结果融为

CV=1哲0/EI。P1=M图1y15/8*

16MP

图mkNq/3===

=858623211yw)(10)(211

==DEIyEICVw②当C点的集中力向上作用时，计算

CV，此时图不变。M50mkNq/3=P=12kN2m2m6MP图**

2

11.5P1=M图1y1y21/22/3==

=326622111yw==

=2125.123222yw)(12.06)(22211

-=-=+=DmmEIyyEICVww注意衡：图乘站符号班。51另外傍，如守果考油虑到MP图的拴抛物该线，吧因支吉反力录为零无，则桃在支欺座处岩是抛渔物线求的顶殊点，静可直斗接图撤乘。6MP图*

1P1=M图1y13/4==

=434623111ywEIyEICV6)(211-==Dw结果雷与前休相同布，但捕计算阿要简萄单一蔽些。③对于甘原题敢，可外将原鸡荷载脸进行洞分解戒，分誓别考锦虑简屯支梁都在荷婶载P=1序2kN及q=3kN/m作用牛下C点的距挠度很，然艇后叠狮加也琴可以苦，但葛是，替一般铲不这握样做节。52例8-8用图论乘法角求解疑图8-19a所示删简支溉梁在恢均布弓荷载q作用船下的B端的袜转角

。图8-19MP图

l/2l/2ql2/8(a)ABq(b)AB111/21/l1/lM

图解：作出MP和图，图乘计算有：M(

)2421)832(11320EIqllqlEIyEIdxEIMMP-=

-===D

w例8-9图8-20a所示拘为悬星臂梁煌，在A点作牲用荷羡载P，求中角点C的挠脊度

C。53图8-20(a)CABPlPl/6l/2l/2MP图y0(b)l/21l/2l/2l/6CABM

图

解：作出MP和图，图乘计算有：M822212lll=

=w形心与右端的距离为l/6。在MP图中，相应竖距为。650Ply=)(485658111320

=

===D

EIPlPllEIyEIdxMMEIPCw讨论倚：现在驱用另漫一种妇方式标进行框图乘(图8-21闹)。54l/21CABM

图图8-21CABPlPl/3MP图

在图中。MP2212=

=PllPlwM图中，60=ly所以在)(1262132

=

=DEIPllPlEIC这种筛算法缝错在日哪里曲？在进行图乘运算时，y0必须取自直线图，但这里的图是折线图，而不是直线图，这是一种常见错误。M55例8-10在例8-9中仅年考虑楼均布布荷载q作用齐时，馅求C点的估挠度脊。图8-22Cql/2l/2顶点MP图*

3**

2

1ql2/8ql2/2M图y1(y3)P=1l/2y2该题在分段图乘时，以C点为分段点，y0可以取自图。M图乘详公式岩如下锡：+=DyyEIC)(12211ww-y33w在这槽里有喉：=

===3/)2/()3/2(4/231llylyy另外怎：本题骂还可犬以用峡其他孟方式帮图乘虾计算搜。56例8-11图8-23a所示扫为一带预应连力钢往筋混处凝土介墙板宁起吊管过程扑中的奥计算滨图。类已知讽：板属宽1m，厚2.奇5cm，混凝歌土容美重为25传00抽0N/m3。A和B为起驰吊点渡。求C点的音挠度仙。图8-23(a)q=625N/m2.2m0.8mABC解：由已知数据求板自重：q=2500010.025=625N/m截面惯性矩：I=1002.53/12=130cm4

=1.310-6m4混凝土弹性模量：E=3.3106N/cm2=3.31010N/m2作MP、图(图8-23b、c)MMP图(b)200

1

2

3ql2/8M

图(c)ACy2y1y30.8157MP图的面积和图的竖距计算如下：M,3.538.020031,5552.22.26258132,2202.2200213221=

==

==

=www)(6.08.043)(4.08.021)(533.08.032332211同侧与反侧与同侧与www=

==

==

=yyy图乘务计算C点的注挠度

CV)(2.0)(85.01332211

-=+-=DcmyyyEICVwww本题厚的特臂点：1、计饱算中EI采用臂折减沃抗弯亲刚度0.俘85EI；2、

2是顶词点在AB跨中核点的号全抛寨物线头；3、

3是C点为拴顶点报的抛秋物线呆。58例8-12求图8-24a所示盗三铰合刚架C铰两惜侧截甜面的准相对惭转角

C，EI=常数求。图8-24qll/2C(a)l/2CP=1P=1(b)l/2l/2CMP图(c)ql2/8ql2/8ql2/8ql2/8C1111M图(d)59解：1、虚谢设单漂位力继系(图8-24b)，在C点两抄侧施能加一够对相书反的绘单位线力偶悦。2、作出MP、图(图8-24c、d)；M3、图乘性计算仓。EIqllqllqlEIC8)]12831()32821[(2322-=

-

-=q（

）本题搂特点资：C点是恩抛物劈燕线的犁顶点笋。注意军：还可英以利落用其扫他方巾式进甲行图牛乘，洁但这卖是最诉简单寨的一霉种计院算方炕式。书中例8-9和例8-10自学薯，注晒意图尊乘方绸式。60§8-6温度壤作用捷时的莫位移芽计算对于静定刷结构来讲狮：支座必移动产生迹刚体炮位移菠，不患引起雀内力莲；温度卡改变产生况变形渐和位珍移，黑不引顺起内混力，变形妻和位教移是由歇材料估的自由踩膨胀吐和收壳缩产生熄。大跨肝度结确构要重热视温揭度变挪化产记生的序影响寨，因绣为此掏时由懂于温帅度变膜化引蛾起的稍位移辞值较锤大。一、兰位移睬计算太公式移的推肥导在图8-25中，圾设杆征件的切上边永缘温尸度为t1，下边新缘温螺度为t2，温度动沿杆宝件截紫面厚际度为潮线性筐分布纤。此时芝，杆雨件的巧轴线吗温度(平均雾温度)为t0，上、祝下边直缘的方温差顺为

t。61图8-25(a)+t1+t2CBA(b)h1h2ht1t2dsd

t2ds

t1ds

t0ds轴线12ttt-=D12210hththt+=在温图度变牢化的旋情况罚下，核杆件渔不引鸡起剪树应变炉，引升起轴秩向应秩变

和曲碑率

。即糖：总止变形毒是由岁轴向孕变形桐和弯母曲变捐形共示同形扮成的两。亦即孟是说暑：

0=0；tae；0=hthttdsdD=-==aaqk)(12由图8-25知：dstdsd==ael0dshthtthdstdstdD=-=-=aaaaq)(1212ds62度)材料的热胀系数，单位/(m

a这里：2210ttt+=当杆件截面对称时，所以烛，温份度作宿用下怠结构汁位移句计算略公式与为：MNdshtdst

D

+

Daa0=若t0、t和h沿杆塔件全窃长为逝常数从，则老有如互下公哨式：MN

D

+

Ddshtdstaa0=MN或：httwawaD

+

D0=NM图某杆的弯矩图(轴力图)的面积。为式中：)()(NMww63二、肾公式堵使用秤说明⒈引起杆件同侧受拉时，乘积取正；M、t⒉同号时，乘积取正。N0t、例8-13如图8-26所示链的刚河架，挡外部敞温度锅为+0º，内本部温障度为10º；各籍杆截僵面为仙矩形遵，截妹面高衫度h=6淡0cm，a=6m，

=0黎.0昼00雪01。求C点的浆竖向割位移滴。CN图(b)P=1AB1M图P=1ABCa(c)(a)aa+0º+0º+10º+10ºABC图8-26解：1、虚设单位力系，作、图；MN642、计甘算t0、t；0010010=-=Dt00052010=+=t3、计妹算位缸移

C。MN)-0.93cm()31(5)(5231020

=+-=-+-=+D=D

haaaahdstdshtCaaaaa实际澡变形抖图如放右图返：0.93cm65§8-7互等乓定理(§检8-8)书中§8-7节的污内容康已在授前面归讲过挨，同效学们典自己狱看看摘书。本节嘱讨论畏的互税等定席理在负超静滚定结靠构计员算中访要经夫常用民到，格在全椅部线磨性变亮形体物系理绵论中拾占有第重要斧地位丛；不曲论其仗结构祥形式穷如何固、荷振载形辉式如陷何变骄化，区都包觉括在著下述件的几放个互见等定兰理中步。互等筐定理偶的应羊用条揪件：适用功于线湖性变贱形体截系。(1那)材料填处于耀弹性尊阶段纷，应胳力与遮应变誓成正蜓比；(2歪)结构壁变形揪很小以，不编影响臭力的栽作用估。功的卡互等悄定理宣，严医格说爷是“虚功森互等央定理”是息最基南本的坐互等尖定理爆，其培他互步等定核理是充在此断基础擦上推访出的田。66一、楚功的呜互等辆定理同一跨线性的体系专的两企种状袍态Ⅰ、Ⅱ(图8-27岸)。图8-270,,gke

D

，，，位移和应变用，力系用QMNP(a)状态ⅠP1´P2´

a´

b´0,,gke

D

，，，位移和应变用，力系用QMNP

(b)状态ⅡPa´´Pb´´

1´´

2´´建立虚功傅方程如下块页：67令状仓态Ⅰ的力杨系在淡状态Ⅱ的位倒移上锐作虚闯功，津可写汽出虚桥功方甚程如炒下：

++

=D

=dsGAQQkdsEIMMdsEANNPW12

第一皂个下区标表找示受骨力状凯态，归第二骡个下锄表示输相应推的变赠形状岩态