结构力学李廉锟矩阵位移法

第十章矩阵位移法§10-1

概述§10-2单元刚度矩阵§10-3单元刚度矩阵的坐标转换§10-4结构的原始刚度矩阵§10-5支承条件的引入§10-6非结点荷载的处理§10-7矩阵位移法的计算步骤及示例§10-8几点补充说明手算：小型、简单问题，讲究技巧。一、手算与电算比较：电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、通用性。结构力学中的电算方法—结构矩阵分析方法(杆件有限元法)结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。

超静定结构分析：力法，位移法，力矩分配法。§10-1概述二、结构矩阵分析方法特点与分类：(1)公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。

矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。

矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。

(2)各种情况可统一处理，通用性强。

(3)计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。

理论基础：位移法；分析工具：矩阵；计算手段：计算机

对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。§10-1概述三、矩阵位移法的思路：1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程§10-1概述

构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。

非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。1.结点和单元单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。

单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。

轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。四、基本概念

§10-1概述2.坐标系

结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量——结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。

单元局部坐标系固定在单元上，轴与杆轴重合,自轴逆时针旋转900时的方向为轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。

§10-1概述离散化将结构离散成单元的分割点称作结点.634512135642结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、结点位移编码。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐标系:整体(结构)坐标系;XY局部(单元)坐标系.曲杆结构:以直代曲.变截面杆结构:以等截面杆代变截面杆§10-1概述不忽常略单持元的戚轴向搞变形合时，君平面启结构没中每鞭个刚淋结点港都有3个独累立的机位移冰（2个独谊立线野位移核、1个角川位移蹈），赠每一似个铰浮结点笑则有2个独环立线笨位移导。平面库刚架谨单元订的杆晚力列烟向量转为(10效-1)平面埋刚架投单元志的杆荒端位估移列咳向量焦为(10筝-2）注意当：杆端奔力与僵杆端隔位移蛾必定映是一另一对蛾应的摆，即厌有几碧个杆现端位券移分饮量就裁有几费个杆被端力喘分量帽。3.杆端屈位移外和杆培端力§10猎-1概述平面宣桁架哈铰结门点只流有两岔个独楼立的浩线位艘移，对与此两对应亿，桁捉架单控元的璃杆端姜力只醒有轴股力和着剪力祖与其文对应粥，但摆实际渣上桁陷架单凝元的稻剪力巧总是这为零膨的，歉所以缎有(10筝-3)杆端需位移蓄向量(10绳-4)其他蒙任何棋单元蠢都存望在杆索端力附与杆迫端位躲移一吉一对倡应的琴关系暑。杆端佛力向胀量§10系-1概述作用渔于结待点上晴的所田有的业力的磁合力,沿坐摧标轴期方向奔分解涂为三扬个分泼量,构成邮该结谜点的结点油力向筐量。4.结点暂力和臭结点洁位移与结亏点力滨向量灶对应罩的是结点责位移蚂向量，是肉矩阵呢位移缝法的基本旗未知因量。注意仗：结点薪力和呀结点咬位移辨都是战相对控于整体舅坐标绑系的。§10饺-1概述杆端音位移测和杆饿端力的正持负号握：作用查在结点屿上的显外力房诚和结似点位糕移的正陶负号疼：5.正负惧号规伏定（强鬼调）凡是匹与单令元坐贤标轴粱方向外一致霸的位假移和梅力均蛇为正表值，反之袖为负被值。力矩平和转街角以逆时妥针方向堵为正赠，反文之为都负。与整稿体坐努标系泳方向申一致领的结棍点力锦和结位点位沟移为恒正，闸反之霞为负缘瑞。以逆时爷针转的阴结点核力矩线和结苦点转海角为蹦正值,反之丑为负卖值。§10银-1概述矩阵瞒位移干法基妨本思己想:化整斑为零--侦--拖--结构撕离散桌化将结吩构拆弟成杆牛件，围杆件陡称作单元。单元救的连许接点思称作结点。单元者分析对单哭元和蛇结点娘编码.634512135642e单元欣杆端搭力集零岛为整--涂--业--整体货分析单元句杆端更力结点顺外力单元方杆端陈位移结点冬外力单元品杆端烂位移(杆端香位移=结点竭位移)结点诞外力结点络位移基本窗未知锻量:结点苗位移§10荷-1概述1.建立单元塑杆端幅力与爪杆端斤位移晌之间雁的关则系截面技直杆贤单元e速,其杆端所位移密列向田量与占杆端旺力列蜘向量旦分别席为§10普-2单元救刚度滩矩阵当杆端轴向位移为、时，，由胡克定律得杆件轴向变形的刚度方程为（a）在线付性小嘉位移刘范围默内，恼忽略链轴向瓜受力回状态斜与弯准曲向纪受力衰状态只之间蔬的影瞎响。§10避-2单元姥刚度效矩阵杆端旋横向去位移△ij正负毅号规判定:使杆的j端绕i端作却顺时味针转皮时为明正值脸。由两染端固奥定等长截面掠直杆漆的转削角位蕉移方殖程有（b眨）§10轻-2单元炊刚度绕矩阵将上组述（a）和（b）两式作合在罚一起赖，写光成矩队阵形副式，柄有=——单元草在局证部坐孔标系汁中的笨单元狐刚度涨方程丈。它可演记为（10抢-6瓶a）§10普-2单元健刚度社矩阵其中（10貌-7）称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。的行数等于杆端力向量的分量数,列数等于杆端位移向量的分量数，的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。§10朽-2单元榴刚度浓矩阵任一元素表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i号位移方向的反力。§10聪-2单元酬刚度桑矩阵单刚阵中某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于1时所引起的六个杆端力分量。第1列的六个元素就是当(即端点i沿正方向发生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。§10痰-2单元州刚度安矩阵从单搏刚元尽素的亚物理候意义摘出发环得到延单刚溜阵图示泼量均圾是正浅的单元颗杆端救位移骗示意§10许-2单元饺刚度砖矩阵单元寒杆端映力示乏意图示久量均挠是正榨的§10晕-2单元狼刚度惜矩阵单一容位移掌时的票单元舅杆端柳力§10球-2单元通刚度猛矩阵单一相位移糖时的脏单元盘杆端利力§10图-2单元询刚度求矩阵单一赤位移苦时的成单元浊杆端奴力§10卖-2单元鹿刚度蒜矩阵单一巾位移宽时的弄单元贿杆端型力§10室-2单元桨刚度臣矩阵2.单元翠刚度骡矩阵充的特财性（反变力互猫等定臣理）（1）是对称矩阵。§10巷-2单元券刚度伙矩阵表达层的杆珍端力谢和杆着端位骆移的滚关系俯，对应矛于一嫁个完叉全的僻自由秒单元第，没有买任何列支承优约束俭，可同以有川任意秋的刚拾体位档移。(2)是奇异矩阵。即，其逆矩阵不存在.可以由杆端位移确定杆端力。反之，若已知杆端力，却不能由式反求杆端位移。物理亡概念吓为：局部送坐标帝系中叠的单避元刚还度矩响阵茶，只苍与单墓元的敲几何线形状骡、尺伸寸和症物理饭常数登有关边，与蛙单元抢在结枪构中加的位骂置无尾关。(3今)位置膊无关眼性矩阵拴位移抬法的仗单元抹体现生了更绍强的硬通用压性。§10菠-2单元圈刚度关矩阵单元砌刚度睁矩阵置为:3.其他访单元站的单游元刚犁度矩戏阵（10之-9）(1)平面佛桁架绒单元§10多-2单元罚刚度圈矩阵若把连续梁两支座间的一跨取作单元，杆端位移条件为：，，，。单元绕刚度照方程介为(10-11)单元誓刚度择矩阵茧为（10惊-1预2）（10早-1猴3）(2毫)连续呢梁单着元杆端羊位移左向量匠与单鹊元杆乡丰端力罢向量闲为:§10狐-2单元只刚度询矩阵注意酬：矩阵锣中只底列出立弯矩枕没列深出剪沟力。纽奉这并匪不是讽说连侮续梁荒单元伟中没墨有剪烛力,只不抖过是钞只把雅杆端决转角忌作为迷基本屿未知压量来乞考虑北而己衡。求博出杆吓端弯豆矩,便可渐求出再剪力盯。§10踏-2单元传刚度担矩阵整体仍分析腊时必杆须建厦立一凯个统区一的环坐标口系，疼称为前整体逃坐标炒系，忘其作胸用是来把各垄单元捡上不宅同方乱向的锻量值徐统一事到整秒体坐断标系届方向朝上来聪。整膊体坐半标系召中，昆单元驳杆端冒位移宿向量振记为{δe},单元控杆端轮力向瓣量记绍为{Fe}问题咳的提宰出§10床-3单元料刚度荣矩阵历的坐差标变议换局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力1.单元张坐标蜜转换华矩阵局部坐标系

与整体坐标系为xoy的夹角α以x轴逆时针转到与局部坐标系为正。

§10会-3单元己刚度寸矩阵英的坐歪标变身换j端点驳杆端斥力转坑换关愈系端点i处的绕杆端巧力分肉量，马有下影列转府换关丛系：（10-10a）（10-10b）整体逃坐标武系下妥的杆顶端力市与局必部坐拖标系度下的层杆端抖力之访间的机关系§10镰-3单元缸刚度讨矩阵卸的坐棍标变辛换简记新为将（10僻-1锡0a）和（10梢-1朝0b）联合佳起来返写成潜矩阵旋形式§10观-3单元泻刚度诵矩阵开的坐林标变镇换[T泥]称为锤单元奖坐标继转换逆矩阵,[T题]是一寒正交嚼矩阵躬。[I戚]为与[T]同阶拜的单须位矩洗阵。或§10馆-3单元词刚度把矩阵翁的坐划标变滤换同理由可得坐标擦转换贸矩阵其为：对平面桁架单元

，。§10脂-3单元授刚度蛋矩阵善的坐绢标变原换整体槽坐标拥系中啄的单侵元刚圣度方内程写甘为局部苏坐标其系中给的单撞元刚激度方即程写膝为由，

，得等式两边左乘，得2.整体缩慧坐标炉系中蚁的单多元刚姥度矩生阵从而碗可得五两种埋坐标醒系中略单元宪刚度橡矩阵皱转换肥关系思式:§10袄-3单元扮刚度毁矩阵外的坐削标变猾换对于恼平面烈刚架锣单元拣，整体斜坐标汉系中幻玉的单化元刚池度矩舞阵为式中流：§10狮-3单元疏刚度匪矩阵能的坐栽标变蚁换平面轰桁架雁单元洞在整系体坐季标系罢中的源单元淘刚度蝇矩阵枯为:整体坐标系中的单元刚度矩阵具有与类似的性质(对称性和奇异性)。§10称-3单元球刚度损矩阵既的坐幅标变题换表示单元j端产生单位位移时引起

i

端的杆端力。对于撤平面谁刚架猴单元整体杰分析赞中，修对每史一个挡结点专分别叙建立种平衡票方程贺，为葛了讨伴论方鼻便，衡将单穿元刚弱度方识程按摄两端供的结裳点i、j进行点分块论，写蛙为对于脸平面呀刚架宁单元辞，它梳们都废是3×洪3阶方渐阵。对于锅平面治桁架百单元美，它环们都政是2×积2阶方盗阵。§10普-3单元湿刚度息矩阵拴的坐疗标变淋换例:整体敲单刚拳的计猾算21已知:求:各单仗元整防体单宗刚解:§10末-3单元筛刚度友矩阵气的坐怕标变以换§10傅-3单元侦刚度绿矩阵饱的坐倒标变菊换本节腐开始延对结秆构进批行整毙体分膊析(后处斗理法)分析晶任务:建立缴结点定力与龙结点芳位移详的关气系-结构叼的刚郑度方婚程例:第一灶步:编号径，建坏坐标符号劈燕：与那整体笋坐标盾正向狡为正菠。结点其力列捧向量结点板位移划列向尺量其中歼：§10绳-4结构怨的原锡始刚顺度矩逮阵、

—

支座反力、

—

结点外力{F}=航[K]{Δ}—俯—表示恐整个估结构纱在整恼体坐垄标系走中的翻结点忆位移统与结警点力繁之间服的变怖换关楼系。--明确亭任务有n个结南点的应平面般刚架鸟，Δ是3n阶向垦量。有n个结卷点的平面违桁架,Δ是2n阶向密量。{F升}——结构瞎的结掠点力旦向量嫁。它享是由患作用太在每欢个结析点上浇的外值力(包括酱已知帖的荷买载和尼未知她的支岁座反政力)构成脚的。注意手：{F仔}与{Δ络}的阶牢数相刊同,而且虚是一亿一对击应的赢。{Δ怕}——结构裕的结推点位吸移向菌量。班矩阵鹊位移棕法的普基本锁未知朽量。[K]——结构课的整考体刚茎度矩方阵（叫总刚茫）。饲其行秋、列盛数等志于结犁构结裂点的咐位移否数。§10智-4结构子的原百始刚盆度矩功阵第二政步：稻单元厌分析§10召-4结构甲的原沿始刚央度矩怀阵第三步，利用变形条件和平衡条件建立与的关系。分别逝对结悦点1，2，3，4进行欧分析§10肃-4结构片的原培始刚赴度矩发阵由变脾形条较件：由平择衡条悲件：如结杨点2：即：即：§10侨-4结构戒的原贵始刚惭度矩腥阵同理糟，对伯结点1、3、4的平柱衡条聋件为匪：写成渔矩阵哑形式颜：§10勾-4结构扇的原碗始刚昏度矩输阵上式违称为洽结构藏的原老始刚纽奉度方互程，踪蝶简写月为：称为结构的原始刚度矩阵，简称总刚。总刚抹度矩撤阵特馋性：（1）[K]是对秘称方唱阵；kij=kji（反力免互等浓定理深），临贮存谈总刚令度矩驻阵时仰，只励需贮驴存它脊的一河半就膏行了纤。（2）[K]是稀街疏矩头阵；非零鼠元素芦只分荒布在弟主对莫角线哑两侧煮的带除状区棕域内己。表示先结点循位移{

}和结煮点力{F}之间父的关原系，共反映串了结倡构的在刚度银性质谣，而网不涉忽及原敌结构赖上作迹用的实际挪荷载，并不里是原结岩构的光位移吐法基胖本方逢程。§10健-4结构警的原阻始刚恳度矩靠阵当尚凭未引占进支竹座条卖件的事情况示下，签结构原刚度私方程日是无蔑法求膏解的傻（未辣引进饮支座马条件重时，住结构蓬存在已刚体德位移兔）。（3）K是一倡个奇杜异矩柴阵。特称乏没有牧引进锋支座耻条件荣的总蓄刚度金矩阵艘称为原始合总刚抵度矩甚阵。建立余总刚尖度矩燥阵有个两种证方法:1）理票论推召导,即刚痰度法丢。2）直摄接由银单刚需阵按司一定碑的规浊律集卡成总曾刚度矿矩阵幸，称功为直接趣刚度炕法§10秋-4结构程的原苦始刚饭度矩温阵由总缝刚中编元素应的物遍理意晶义形稍成：2(4,5,6)1(1,2,3)3(7,8,9)12则有:若令:其他Ki1为0，这盯种方奇法太尘麻烦沸。§10来-4结构踢的原暂始刚蹈度矩剧阵桁架违的指许示矩朗阵为向：任何钳一个膛杆端找都与尸一个裙结点务对应昂。图融示桁牢架，抛其单胆元杆拥端与犹结点用号可萝用一雀个矩四阵来蜻表示场。矩锡阵的伐行数即为单照元数疤，列茧数为2。每奋一行必的两住个数硬分别粮表示耕该单蛇元i、j端对次应的讨结点宜号。举这个匠矩阵映称为燥指示衫矩阵撞。指示怎矩阵齿实际每上也直给出种了各丧单元规坐标臭系。ij直接裕刚度卸法形柏成总需刚度俘矩阵直接隶刚度护法——直接垃由各烧单元缎刚度蒜矩阵雪装配男形成榜总刚堆度矩书阵。菊是目辨前编诸制计蠢算机终程序备最常跳用的筛方法产。1.首先拢应将浑结构趁的结弱点和驳单元垄编号番。编兵号可浩以任豪意编水，并乌不影晓响计乳算结悟果。§10更-4结构初的原叠始刚乒度矩猴阵2.首先卷列出爬整体素坐标宴表示罢的单辈元刚考度矩跪阵。3.将单俗元刚御度矩摘阵划固分为4个子管块：4.按“惩子块些搬家票，对功号入加座”脱的原欢则将吐单元蛾刚度芝矩阵霉中的拌子块支，一冒块块借地搬绑入总增刚度劈燕矩阵魂中，轧而搬桌入的恰位置聪则根训据指毯示矩巷阵G的规者定来柴确定欢。一般迎的规错律是陆：第e单元i端对芝应结沉点号右为g,j端对与应结覆点号忍为h。“搬家忆”时权将该醉单元机单元当刚度像矩阵漫中的鸭子块Kij搬到秒总刚晓度矩买阵中鞋的子槐块位贤置Kgh，即搬拆到总乘刚度伪矩阵向中第g子块织行，世第h子块忘列中灾去。§10顺-4结构另的原故始刚删度矩幕阵→K11

→K13→K31→K33例如,图示遗桁架酬第⑤号单幻玉元的4个子杂块，循根据窄指示桨矩阵G的指佣示，似分别解搬到债：§10格-4结构窃的原骆始刚促度矩粗阵2）用上销述“子锯块搬转家，危对号殊入座双”嫩装配修总刚捆度矩逐阵的方钳法也适茄用于茄其他祖任何隆杆件思结构要。各单谅元都子按此槐原则揭“搬为家”呜后，艳桁架责的总狂刚度背矩阵呀为：

1234

注意英：1）总尼刚的一个前子块羊位置恐中搬湖入几往个子蛾块时喘，这摘几个海子块隔应叠辱加。§10皱-4结构回的原焰始刚觉度矩系阵总刚具度矩老阵的义构造图示带桁架槐有4个结用点，哈有8个位喘移分送量。Δ=｛u1v1u2v2u3v3u4v4｝T总刚恢度矩叶阵则飘为8阶方贞阵：子块行元素行子块列

1234

元素列

12345678

将其供分成4个子棒块。美平面成桁架洋，每母一结蔬点具灵有两杰个位薄移分简量，需每一才子块伐中就桨有两崖行两粒列共4个元案素。1.K32的物抗理意远义是局什么枕？思考膜：2.k35的物演理意笔义是储什么？§10跟-4结构处的原果始刚候度矩叮阵1.子块K32表示潜结点2产生悬单位眠位移句时引荣起的职结点3的结累点力匠。2.k35表示睛第5号位女移（链结点3沿X方向你的位无移）抬为一福单位犁时引兽起沿逆第3号位岂移（乘结点2沿y方向益的位普移）我方向付的力万。这驾个力祝应该矩理解腥为相散当于逮按位宁移法富的基果本结积构所耍规定路的结舰点2的竖此向附最加约滥束的缓约束携反力思。4.总刚残度矩磨阵中摸某一疗元素趟的物胃理意窜义是晶什么脚？3.对于单空间捡桁架拆和平购面刚朝架，抖每个泼子块百中含际多少姑个元醉素？思考朵：答：§10侵-4结构土的原焰始刚瞎度矩港阵1）首拼先对涉其结响点和兔单元隙进行浅编号妈如图弦示。每个压子块勿都是鄙由3×肾3阶的9个元雨素构朗成的牛。3）列径出刚义架的摆指示葱矩阵

ij2）列出各单元的用整体坐标表示的单元刚度矩阵为：平面替刚架§10揉-4结构外的原桶始刚服度矩切阵对号犯入座早装配婆总刚岁度矩植阵为遵：

12345§10价-4结构雕的原青始刚象度矩稀阵主子他块：主对害角线牛上的岗子块舞，副子摆块：非主筛对角荐线上地的子陈块，，相关单元：连接结点，单元。相关结点：与结点相邻的结点。

相关单元：与结点相连的单元。总刚眯的特咽点：1）（为结点的相关单元）

2）若，非相关，则，若为相关，则（为结点,的相关单元）

总刚王的形爪成：档对号岁入座膊，同永号相老加。单刚办子块恢在总猎刚中绑的分颈布规信律总厘结：§10牲-4结构搬的原疑始刚职度矩届阵解：授有关谎参数单刚映见教坡材（析略）例：试求图示刚架的原始刚度矩阵。已知各杆§10贩-4结构齿的原余始刚直度矩最阵§10示-4结构括的原养始刚缴度矩肺阵作业:求图示结构总刚度矩阵中元素1342（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）EI、EA为常数，各杆长度相同。§10仙-4结构决的原吐始刚近度矩涂阵图示卫刚架滚原始须刚度生方程未知未知未知未知已知已知已知已知§10碗-5支承扶条件霜的引坚入未知未知未知未知已知已知已知已知由于左结点1、4为固熄定端被，故续支承盯约束川条件纯为代入唱结构菜原始游刚度右方程躲，有和§10目-5支承骗条件轿的引座入其中为引侦入支惊承条杠件后唐的结么构刚公度方菌程，姐可写距为：式中：只包括已知结点荷载，只包括未知结点位移，此时的矩阵即为从结构的原始刚度矩阵中删去与已知为零的结点位移对应的行和列而得到，称为结构的刚度矩阵或缩减的总刚。此时，由于引入支承条件，消除了结构的任意刚体位移，故结构刚度矩阵为非奇异矩阵，可得到未知结点位移的唯一解。（若此时结构刚度矩阵仍奇异，说明原结构为几何可变或瞬变体系）。§10炉-5支承远条件汁的引法入求出痕未知挎结点器位移齐后，荡可由裕单元台刚度怨方程浮计算鸭各单桨元的浮内力复。整珠体坐怜标系巡寿下，妙单元政杆端蕉力为赞：可求叹得局寄部坐御标系窃下单础元杆锤端力或：概局部抵坐标悉系下概单元矮杆端少结点惊位移同样如可求缎得局笛部坐橡标系挡下单赌元杆饼端力§10乞-5支承贯条件过的引岸入求出未知结点位移后，由式可计算支座反力。但是腔，当轧全部剃杆件徒的内头力都欲求出相后，割一般喝可由刘结点阻平衡蚂条件低求支始座反振力更宰方便恨。§10陡-5支承舒条件旬的引芦入24图示污刚架货的原损始刚醉度矩岩阵舍弃伟与约性束所情对应他的行翠和列孟，得幻玉到引受进了解支座峡条件春后的讲总刚没度矩暖阵：这就甲是后处挽理法，即先集传成总靠刚度否矩阵，然后肃再引折进约救束条。还净有先处鲜理法，即先引腰进支松座条轨件，然后漠集成拾总刚速度矩班阵。(暂略)§10爽-5支承鸟条件滔的引焰入

1234引进绘约束分条件销后的品刚度习方程种：通过乘求解涂线性秤代数米方程黄组的打方法陕求出昼未知熊的结忘点位泥移向膊量。图示伞平面聪桁架饱结构异，结诉构的其原始驾刚度辰方程奸为：§10洪-5支承颤条件胃的引粱入123431241234②③①(a)(b遭)(c明)对于起平面奔刚架名单元愤，若京单元观上作炕用着莫非结辰点荷矮载，宗则单导元的杆足端力帆将由蒙两部挽分构误成。予一部诸分是默由结护点位沸移所落引起的，佳另一承部分殃是非盛结点选荷载病作用例而直臂接引庸起的姥杆端倘力,即固壮端内膛力。§10悼-6非结督点荷锦载的奏处理3124(b背)同位咱移法僻，刚欺结点旗处施傻加附拖加链贵杆和阶附加叮刚臂狭阻止蕉所有容结点插的线跌位移惩和角确位移轨，此额时各岭单元鹊有固揭端力摩，附忌加链乌杆和孙附加录刚臂兄上有莲附加寻反力也和附樱加反锯力矩戚。由满结点衔平衡悄条件巷可知捆，附担加联世系上轻的附棚加反益力等许于汇度交于弹该结陪点的胜各固怜端力限的代第数和稿。某单阻元e受非借结点麻荷载喘作用厚，单禽元局红部坐盗标系虾中的央固端旅力为嫩：固端大食小可驶由固横端内迷力表柿查得东，P2鼓52表10猴-3。§10像-6非结写点荷征载的橡处理1234（c）取消表附加怎联系废，相脸当于内在结烤点上表施加削了与纹上述稀附加原反力泡和附上加反敏力矩歇反号逃的荷狡载，籍此荷红载成装为原终结构乘上非敬结点已荷载户的等效晨结点患荷载爸。注意壶：这钻里“去等效灯”指参图（a）和邪图（c）的淋结点租位移你相等整体挽坐标瓜系中础的固糖端力艺为：将各悔分量托反号妥并对划号入宗座送雪到荷枣载列援阵中委去，届即为湾等效团结点漫荷载丢。§10虏-6非结颗点荷毯载的准处理任一叮结点i上的券等效杆结点刊荷载FEi为：如果匆除了秒非结洁点荷装载的祝等效胡结点肤荷载FEi外，鹊结点i上还辩作用争有直联接结蹦点荷熟载FDi，则i点总蜻的结拍点荷齐载为稳：结点i的综合结点荷载整个结构的综合结点荷载§10灵-6非结见点荷陆载的库处理各单筛元最芹后的醒杆端横力是别固端萍力和哗综合宏结点元荷载惰作用庸下产匀生的男杆端腊力之哥和，平即和或§10辆-6非结辅点荷条载的造处理表:

单元固端约束力（局部坐标系）

荷载简图

始

端1末

端21

2

122abFP-§10勿-6非结绒点荷补载的鹊处理表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§10俊-6非结种点荷吹载的卷处理3

4

表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§10些-6非结杰点荷叨载的劝处理5

6

表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§10母-6非结享点荷岩载的附处理7计算女步骤吊：（1）对厅结点垦和单谅元进什行编塌号，断选定剃整体纪坐标舒系和倒局部由坐标惭系；（2）计垒算各摸杆的革单元瓣刚度饲矩阵羊；（3）形颤成结姑构原耀始刚换度矩始阵；（4）计搅算固条端力坊、等挺效结雪点荷间载和诊综合培结点愧荷载稻；（5）引词入支犬承条选件，河修改汗结构疑原始腾刚度棕方程烫，得扰到缩蒸减总借刚；（6）结淡算结驴构刚垫度方关程，盲求出隶结点双位移趋；（7）计戏算各枝单元比杆端多力。§10王-7矩阵犯位移葬法的评计算滴步骤池和示而例[K]求单灵元常洲数[T]{F}原始摇数据黄、局蛇部码确、总拉码解方归程{F}=[K]{}求出案结点雀位移{}开始单元刚度矩阵ke单元固端力e结束[K]{}={F}{FP}+=程序设计框图求杆端力eeee§10翻-7矩阵苍位移涉法的嫌计算策步骤罩和示怖例123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③10页-1求图脾示刚桨架的农内力窝。已剂知各碧杆材仰料及咏截面嫩相同纪。（1）将隙单元手、结荷点编卡号，棍确定挣坐标根系，如图阳所示乔。（2）求盲出各阳单元液在整铲体坐县标系园中的彼单元刚棋度矩是阵，驾见书P2纽奉47。（3）将较各单瞧刚子拴块对肝号入信座，解形成织结构喘原始维刚度伍矩阵算，见藏书P2多48。（4）计薯算非载结点冒荷载团作用闹下的渗各单颗元固除端力翅、等兄效结瘦点荷抵载及尺综合结池点荷号载。对局叼部坐归标和晨整体糕坐标窄不一王致的征单元特，要潮对刚惭度、车荷载命进行岔坐标遗转换壤。§10亿-7矩阵毅位移宣法的台计算青步骤皇和示摘例各单漠元在麦其局获部坐砖标系井下的窃固端薄力为绪：§10订-7矩阵价位移领法的以计算跃步骤赔和示犹例经过政坐标肠转换把，得奔到各蛇单元栽在整下体坐恩标系拜下的菊固端台力为雹：§10匆-7矩阵应位移尝法的爱计算椅步骤狼和示销例结点2、3上的南等效闯结点奥荷载喜为：结点2、3上的帆综合秘结点标荷载傍为：123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③§10绢-7矩阵倘位移骄法的兔计算谎步骤展和示爸例结构拆的结喷点外精力列拉向量黎为这里曲，F1和F4应为纹综合位结点绪荷载齐和支是座反知力的鹊代数租和，业其中能支座瞎反力椒仍为趟未知禽量；大引入码支承垃条件窝时，F1和F4将被慨划掉终，因漏此不添必计乡丰算其降等效己结点竹荷载糠和综植合结脂点荷委载。结构屡原始咐刚度甲方程至见书P2移56§10致-7矩阵束位移箭法的塘计算叨步骤浮和示衫例（5）引生入支拔承条贪件，眨修改态原始扶刚度医方程央。结点1、4为固触定端牲，位凝移已淡知：代入牺原始僚刚度你方程柳，得培到修盏改后果的结旗构刚水度方障程为§10烘-7矩阵咱位移喇法的章计算微步骤不和示皆例（6）解海方程误，求梯得未鲜知结妻点位贵移为凭：（7）计渣算各璃单元掉杆端购力，孕见书P2抹58。§10盆-7矩阵提位移犁法的节计算湖步骤现和示锡例10性-2平面钟桁架冻如图陷所示瘦，各啄杆截矿面EA均为信常数证。已哈知F1=1你5kN,F2=2束0kN,试求曲桁架名各杆谷轴力乳。解:(1忽)对结标点和我单元尖编号cosαsinαα即Cy即Cx单元单元坐标x轴方向（即指示矩阵）单元长度(m)1→2①30°101.732②3→20°0.8660.52.00各单元参数表§10嫁-7矩阵丢位移虾法的时计算士步骤秩和示膛例(2蹦)列出饲各单真元刚孙度矩仗阵整体输坐标差表示娱的单田元刚泼度矩裳阵§10悬-7矩阵涨位移燃法的悦计算贝步骤害和示抱例即

§10浩-7矩阵程位移碧法的颠计算萍步骤期和示习例(3李)集合著总刚躲度矩论阵原始捏总刚佛度矩挥阵为大：

123取出纵总刚粮度矩纲阵中宋与自烛由结植点2相对违应的影元素得（第2子块裳行、骂第2子块新列中疤的元工素）,舍弃浮约束侄结点抹所对库应的窑元素舞，得搞考虑超约束含条件端后的塞总刚苦度矩息阵变脑成：§10细-7矩阵咏位移壤法的杏计算讯步骤隆和示急例(4弟)建立山刚度违方程驻并求宏解F=K顿Δ解得结点排位移率列向抱量为(5真)求杆盖端力§10薪-7矩阵预位移元法的沸计算炮步骤泼和示萌例单元①的单炊元结镰点位虫移向息量为单元①的杆端力为§10蓬-7矩阵垫位移妨法的稍计算讲步骤飘和示元例单元②的单斥元结须点位揉移向梨量为结果言的正至确性絮很容努易从竖结点2的平属衡条贵件判葵断出片来。单元②的杆触端力隆为§10允-7矩阵训位移殖法的或计算名步骤蓝和示殿例解:碌(1)对应丘结点贪及各裂单元芒编号遣。例10紫-3平面狭刚架础如图牛所示欢，各跳杆截编面相废同。A=0泳.2恳4洋m2,E=1捞×1禾07kN呼/m2,I=0浆.0岗07番2挥m4，试载求各跨杆端辟力，府并画惧出内圈力图谅。§10吹-7矩阵出位移散法的练计算庭步骤援和示崇例Cx单元单元坐标x轴αCy1→3①45°14×105

0.12×105

②2→30°2.8285×105

0.0849×105

0°lEAB=lEIi=3→410.707110.7070.12×105

4×105

(2宜)列出恳单元穗参数表§10谨-7矩阵肉位移机法的辞计算森步骤粉和示丸例整体胁坐标纽奉表示约的单竟元刚示度矩尘阵公掩式(3雾)列出辽单元贿刚度忍矩阵§10迷-7矩阵牌位移受法的界计算绩步骤逐和示蜘例单元①，态③为：单元②为：§10巾-7矩阵奖位移壶法的剧计算盼步骤降和示愧例(4爽)集合旧总刚123

4

§10肆-7矩阵南位移梢法的冈计算顺步骤臭和示望例(5惊)引入垄支座者条件取出盗自由柄结点3所对雀应的泛子块,构成绢考虑绿约束速条件禽后的哪总刚嘱度矩伙阵123

4

§10贤-7矩阵震位移级法的泪计算隆步骤帝和示朱例(6颜)计算功荷载工向量先求溪出单坛元3的非蹈结点处荷载砌引起督的固承端内校力，览然后把将固辜端内裁力反生向加祝到结剑点上苗去。荷载企向量则为§10滑-7矩阵日位移富法的芽计算取步骤活和示旨例(7体)建立纳结构拍刚度阔方程籍并求源解结构滚刚度君方程兴为F=冻KΔ即由此解出u3=7.428×105v3=－48.285×10-5θ3=47.995×10-5所以得结点谋位移违向量激为：§10教-7矩阵嗓位移帅法的炸计算爹步骤坝和示栗例(8岗)计算牵杆端赌力Δ(e)可根资据单逃元两恩端结总点号舱直接被由结水点位奏移向述量Δ中取坊出§10字-7矩阵软位移撞法的凤计算参步骤偏和示削例1)计算洪单元兽坐标巨变换互矩阵T(e)§10浊-7矩阵烦位移车法的智计算龟步骤纽奉和示阵例2)计算咐各单胶元的转单元弹坐标握表示敞的单逐元刚责度矩割阵§10原-7矩阵手位移敬法的短计算酸步骤泉和示感例3)计算扒各单技元杆酒端力恒向量单元①§10泉-7矩阵项位移弄法的艺计算家步骤查和示射例单元②§10巡寿-7矩阵栋位移策法的固计算锻步骤敏和示译例单元③作用众非结张点荷俯载,固端观内力犯向量境为§10刑-7矩阵睬位移纺法的杨计算站步骤果和示淡例(9坚)画出鸡结构社内力倒图§10恶-7矩阵此位移恒法的民计算两步骤荡和示滨例解:隙(1胖)整理暮原始斜数据随并编萄号。疫各跨裁的线胁刚度蛾相等,i=EI／12。进行弄结点郊编号盲、位耍移编旋号、航单元范编号遣。例10践-4用矩址阵位列移法量计算错图所番示的矩连续促梁的蹦内力揉。EI=常数弦。(2鲁)建立奋结点唱位移籍向量Δ§10治-7矩阵感位移恭法的蒙计算急步骤撤和示敞例(3谋)建立容各单说元的殖定位转向量各单温元的辈单元届定位演向量洽分别疾由该奶单元平两端洽的位蚀移编树号组施成:(4)计算单元刚度矩阵。连续权梁的叠单元验局部迎坐标护系与谣结构誉整体垫坐标李系平军行，0

1

12

23有§10榨-7矩阵两位移们法的葱计算丙步骤倡和示色例(5铜)集成罩整体塘刚度战矩阵K(注意碰定位椅与累闻加)011223；；；§10墓-7矩阵吗位移业法的咸计算捎步骤倡和示愤例(6露)形成亮荷载纸向量F计算惯单元纯固端娇内力垒；将此固端张内力冠反向酸加到峰结点吗上去蜜；同一结毒点上名同向索的力小叠加丘而成渴。荷载向量为:§10这-7矩阵光位移鼓法的淡计算旦步骤败和示各例(7村)建立楚结构庸整体有刚度棚方程，并舌求解仍结点秆位移炮向Δ解得清结点雪位移殿向量Δ为整体北刚度醋方程K⊿=F§10皱-7矩阵寨位移旁法的予计算龙步骤葱和示晒例(8贯)计算违各杆挺的杆赞端内规力由算得慢各杆燃的杆铁端内乡丰力（议弯矩诞）为§10弦-7矩阵答位移头法的格计算借步骤演和示丑例由各隆杆的殊杆端颤内力翻（弯葵矩）显，则舰可绘马出弯膛矩图锦。其树结果庆与用力悦矩分勇配法振计算般的结叠果相引同。§10宅-7矩阵孩位移替法的央计算图步骤满和示宾例例10位-5平面甚桁架技如图锹所示构，各贡杆截劫面EA均为级常数贩。已炒知F1=2籍0kN,F2=3亦0kN,F3=4尖0kN，试用帅先处幕理法砍求各歪杆轴蛙力。解(1辰)对结贼点和辈单元阿编号翼。(2移)列表惩表示允各单瘦元参释数§10丽-7矩阵钻位移店法的漂计算梳步骤哨和示观例→→→→→→单元讲参数治表§10席-7矩阵赤位移貌法的劫计算星步骤愿和示话例(3私)列出影各单笨元的殿定位创向量

(4粗)列出殃各单拴元刚骑度矩盲阵(整体汪坐标)并配便以定络位向梦量。§10赞-7矩阵牵位移剑法的风计算阵步骤胖和示翅例

0

0010123§10铁-7矩阵盗位移旗法的膨计算担步骤膊和示岔例23000000§10鬼-7矩阵缺位移袋法的戚计算香步骤肯和示喇例0蹈0际2亩3§10创-7矩阵喉位移鲜法的害计算帜步骤段和示屈例0100§10将-7矩阵贿位移惑法的突计算众步骤政和示沾例(5墙)集成河总刚烈度矩补阵按照贵单元慌刚度臭矩阵糊各行绒列对彼应的霜定位找向量梦中的赶数值将该洽元素树搬入披总刚蔑阵中抵。得剩：

123

§10木-7矩阵稼位移竹法的箩计算朱步骤恶和示皇例(6暴)建立伯刚度草方程傅并求蛇解刚度妇方程剧为：即解出§10耀-7矩阵唯位移匀法的咐计算莲步骤卷和示粮例结点搜位移蚕向量壁为(7双)计算例单元侍杆端隆力（拉）由公式F(e)=K(e)

T(e)

Δ(e)，得§10禽-7矩阵屯位移槽法的益计算毛步骤倒和示催例单元②（拉）§10煌-7矩阵惠位移朋法的庭计算朵步骤俩和示球例单元⑤(压)

§10讯-7矩阵含位移黑法的讨计算蔑步骤斑和示张例其他洞单元畅计算惹过程例从略伪，结村果为

④单元⑥单元

(拉)

单元③单元(压）§10影-7矩阵扁位移哨法的可计算否步骤体和示幻玉例对于播平面顿刚架废单元糖，若绕单元绪上作丝式用着白非结圣点荷潮载，捡则单徐元的杆着端力竭将由耗两部舟分构炸成。盯一部插分是么由结香点位掉移所间引起的，政另一盈部分凉是非砍结点岗荷载昼作用识而直佩接引中起的么杆端栏力,即固饥端内骂力。单元的杆端力将是两部分之和,即这就坡是计纤算杆杨端力避的完则整的祸公式豆。固端茎内力引向量可由羊固端虾内力宣表查发得。§10株-7矩阵银位移贯法的洋计算授步骤亲和示川例1、结喊点位奥移分稿量的婚编号捐，单普元定邻位向义量(2笛)对位辈移编窑号时融，按狮结点航的顺蕉序进贪行，匠一个迎结点慨内的悔编号已又按x方向四、y方向善的线苹位移障和转握角顺穿序进穿行。(1仓)对每圆一个本结点狱编号通，还庭要对煌每一驴个位俗移也头编号票。凡完是约危束对迷应的响位移亭编为猛零号猾。结点扑位移殃编号录数组圣中的然最后洪一个逮数就看表示洲了该敬结构预未知启数的膏数目要。编号:§10门-8几点鸟补充悲说明建立砌各单瓦元的定位踩向量单元炊的定脸位向肺量λ(e)：把某抢一单猫元两举端结击点所第对应抗的位移校号按照由拦始端加到末赏端的呜次序下所列察成的亲列向渴量称慢为该她单元符的定捐位向亡量。图示圆刚架降各单浸元的绝定位兆向量珠为：§10柿-8几点网补充伤说明形成惠总刚剥度矩还阵思考:定位唐向量弱中“丹零”省所对雾应的世单元朝刚度刘矩阵所中的垒元素槽搬入适总刚否度矩妙阵中便何位浊置？按定岸位向膝量所肤指示沟的位兵置把电单元钩刚度唐矩阵刮中的狂各元折素搬职入总袄刚度挽矩阵§10愤-8几点波补充胶说明2、总讨刚的刚带宽卷与存鞭储方是式结构炭的总旅刚度痕矩阵谨具有腿大量谨的零元帆素，这左种矩沉阵称稀为稀疏积矩阵。同岔时，族那些顺非零芬元素萄通常售集中参在主喝对角巡寿线附艺近的缩慧斜带筐形区烛域内丢，成嫂为带状心矩阵在带栏状矩锣阵中绸，每公行(列)从主屑对角唐线元殿素起冠至该讽行(列)最外症一个该非零廉元素翼止所条包含竞的元润素个鬼数，篇成为墙该行(列)的带宽。某行(列)带宽=该行(列)结点蔑位移夸分量壶号-最小溜相关赞结点士位移烈分量引号+1所有课各行(列)带宽录中的敏最大荷值称灾为矩鱼阵的最大庙带宽最大罗带宽=相关妨结点纯位移世分量败号的相最大杨差值+1等带巾宽存悠贮满阵雀存贮§10器-8几点委补充两说明634512135642（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（13,14,15）（10,11,12）（16,17,18）§10分-8几点享补充隶说明等半量带宽与结码点编眠码有怜关19层12343940总刚拼占用狼存贮患单元:122021401922总刚纲占用蛙存贮架单元:39最大使带宽=(相关庄结点系编号雷的最仁大差贝值+1架)×3即:最大铺带宽晌＝［ma锋x(肠j-散i)腹+1］×3§10顺-8几点酿补充湾说明3、关帜于支怒承条员件的精引入(1涂)置大的数法拜（N为一弄个充妹分大霸的数常）做法:取大数N,总刚中元素乘以N;并用替换§10幸-8几点绍补充革说明(2届)化零夜置一腹法（卷精确少方法榆）做法:(1)用[中的第i列]代替(2骂)将总莫刚中丸第i行第i列的仇非主解对角担元素良置0;(3)将总刚中主对角元素置为1,总荷中元素置成c经边灵界条盾件处舰理后赚的总痰刚称找为结构浪刚度蔬矩阵§10筛-8几点构补充稍说明★关于俗斜边块界的逆处理如图解示意监的斜烤支座黑情况奏，有最多种袭处理临方案腔。1)通过作单元颗的坐遮标转环换来骗处理xyr2)通过彻增加谢一个职单元绩来处汁理3)对整讽体刚舒度矩啦阵进砌行处摩理(参见酱有关阳教材)图示重有斜弯支座谎单元夏，r结点睬处以检倾角-遇

来进辰行坐肚标转胶换，坦也即预在r结点泪处整颈体坐春标为锣图示xy。图示忘有斜闸支座票单元底，r结点第处沿y方向嫌增加扯一个粗刚结刮的单堪元，此单殊元有“无侦穷大谨”的誉抗拉独刚度内、但没躬有抗祥弯刚句度。涂单元蛋长度批可任峡意。§10么-8几点洋补充像说明4、铰妖结点泳的处低理(1份)传统旅位移青法:不把模铰结块端的俊转角曲作为姨未知蚊量(2汁)引用脾具有滨铰结掀端的息单元领刚度妄矩阵(3崭)将各亏铰结浩端的从转角柔均作东为基拼本未跟知量肯求解(4耳)主从幅关系§10阅-8几点鞋补充众说明5、先揉处理犁支承疮条件砌及忽和略轴华向变冻形影杆响先处位理法拴：将约性束已论经消浑除的窑结点派位移应排除艳在刚朽度方吗程之油外。惯集成说总刚辰度矩瞎阵时冰根本咏不需茫考虑巧约束糖结点继的存椒在。蒸目的症是减张少未嘱知数踢的数设目，核缩小垦总刚剂度矩瞒阵的踢体积趣，减膜少计昂算工汁作量描。§10访-8几点妹补充圾说明集成乒总刚结阵时瓶必须斧使用饶整体滑坐标橡表示半的单旺元刚灯度矩边阵。用先俊处理拼法集贯成总艳刚阵用时必投须先谨建立点各单煌元的解定位限向量λ根据罢定位奇向量逼的指铸引将帝单刚承阵中勒的元酷素逐惭个搬甩入总色刚度父矩阵充中。用后宵处理采法集斯成总郑刚阵讯时必蝴须先都集成担原始勒总刚残度矩概阵。洋集成菊原始恶总刚科阵时降应根冰据结羡点编煎号情隶况指阳示矩胶阵G以子克块搬牙家的洁方式壁将单荐刚阵释中的币子块狮逐个庙搬入返总刚厨度矩软阵中净。§10床-8几点纺补充检说明如不竹考虑咱轴向卧变形懂的单对元由6×6刚度亭矩阵扒划去1、4行和科列后被可得§10沉-8几点阶补充东说明平面句刚架副程序蛮的扩衔大功尽能:1.平面暴桁架2.桁梁碗组合警体系3.斜向刺支座4.弹性茧支座5.弹性券地基6.带铰丙结点散的刚醉架§10悉-8几点因补充猎说明总婚结矩阵捧位移稿法与俱位移典法在穗理论供上并偷无区足别，只是畏在表福达方逝式上预有所税不同群。(1禽)矩阵父位移堵法的冲理论耍基础哨与一嫩般位侦移法果完全滥相同积，只坊是表达方读式不盏同。其用矩级阵形刃式表险示具细有更代强的互概括岸性。(2泳)总刚镇度矩彼阵是受由各粗单元群刚度侨矩阵骡装配浪成的早，只奴要找祸出了装配递的规希律，追总刚炮度矩斩阵不旦必计猴算而奇可直法接由毙单元仅刚度建矩阵料装配猫而成府。(3舰)矩阵烂位移宵法与