带积分余项的泰勒公式

带积分余项的泰勒公式泰勒公式是一种用来逼近一个光滑函数的方法，它利用函数在某一点的各阶导数来构造一个多项式来近似原函数。带积分余项的泰勒公式可以提供更精确的近似结果，下面我们将详细介绍它的推导和应用。

设函数$f(x)$在$x=a$处具有$n+1$阶导数，则泰勒公式表示为：

$$

f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\dots+\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)+R_n(x)

$$

其中，$R_n(x)$表示余项，在$x=a$附近使用泰勒公式估计函数值时的误差。

接下来我们将推导带积分余项的泰勒公式。为此，我们引入一个新的函数$F(x)$，定义为：

$$

F(x)=\int_a^xf(t)dt

$$

我们的目标是通过$F(x)$来推导带积分余项的泰勒公式。

首先，由于$F'(x)=f(x)$，我们可以得到：

$$

F(a)=\int_a^af(t)dt=0

$$

对于任意的$b\in(a,x)$，我们可以将$F(x)$表示为积分的形式：

$$

F(x)=\int_a^bf(t)dt+\int_b^xf(t)dt

$$

应用积分的基本定理，可以将第二个积分的上限变为$x$：

$$

F(x)=\int_a^bf(t)dt+\int_b^af(t)dt+\int_a^xf(t)dt

$$

由于$f(t)$是光滑函数，我们可以应用积分中值定理，得到：

$$

F(x)=f(\xi)(b-a)+\int_a^xf(t)dt

$$

其中，$\xi$是介于$a$和$b$之间的某个点。

现在我们将$\int_a^bf(t)dt$表示为泰勒公式的形式。假设$f(x)$在$x=b$处具有$n+1$阶导数，我们可以将$f(t)$在$x=b$处展开为泰勒公式：

$$

f(t)=f(b)+(t-b)f'(b)+\frac{(t-b)^2}{2!}f''(b)+\dots+\frac{(t-b)^n}{n!}f^n(b)+R_n(b,t)

$$

将上式代入到$\int_a^xf(t)dt$中，得到：

$$

\int_a^xf(t)dt=\int_a^x\left[f(b)+(t-b)f'(b)+\frac{(t-b)^2}{2!}f''(b)+\dots+\frac{(t-b)^n}{n!}f^n(b)+R_n(b,t)\right]dt

$$

对于每一项，我们可以将积分和求导的操作交换位置，得到：

$$

\int_a^x(t-b)^kdt=\frac{(x-b)^{k+1}}{k+1}-\frac{(a-b)^{k+1}}{k+1}

$$

其中，$k$是一个非负整数。将上式代入到积分中，得到：

$$

\int_a^xf(t)dt=\int_a^xf(b)dt+\int_a^x(t-b)f'(b)dt+\int_a^x\frac{(t-b)^2}{2!}f''(b)dt+\dots+\int_a^x\frac{(t-b)^n}{n!}f^n(b)dt+\int_a^xR_n(b,t)dt

$$

对于每一项积分都可以求解，得到：

$$

\int_a^xf(b)dt=f(b)(x-a)

$$

$$

\int_a^x(t-b)f'(b)dt=\frac{(x-b)^2}{2!}f'(b)

$$

$$

\int_a^x\frac{(t-b)^2}{2!}f''(b)dt=\frac{(x-b)^3}{3!}f''(b)

$$

$$

\vdots

$$

$$

\int_a^x\frac{(t-b)^n}{n!}f^n(b)dt=\frac{(x-b)^{n+1}}{(n+1)!}f^n(b)

$$

对于余项$\int_a^xR_n(b,t)dt$，我们将其表示为一个未定积分的形式，并简化：

$$

\int_a^xR_n(b,t)dt=\int_a^x[f(b)+(t-b)g(t)]dt=f(b)(x-a)+\int_a^x(t-b)g(t)dt

$$

其中，$g(t)=\frac{R_n(b,t)}{t-b}$。

现在我们将所有的结果代入到$\int_a^xf(t)dt$中，得到带积分余项的泰勒公式：

$$

\int_a^xf(t)dt=f(a)(x-a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f'(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f''(a)+\dots+\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)+\frac{(x-b)^{n+1}}{(n+1)!}f^n(b)+f(b)(x-a)+\int_a^x(t-b)g(t)dt

$$

整理合并相似项，我们可以得到更简化的带积分余项的泰勒公式：

$$

\int_a^xf(t)dt=f(a)(x-a)+f(b)(x-a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f'(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f''(a)+\dots+\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)+\frac{(x-b)^{n+1}}{(n+1)!}f^n(b)+\int_a^x(t