函数的极值和最值(讲解)

PAGE第4页共8页函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。【知识网络】函数极值的定义函数极值的定义函数极值点条件函数的极值函数极值点条件函数的极值求函数极值函数的极值和最值求函数极值函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数在闭区间上的最大值和最小值【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题例1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；【解析】因为处取得极值所以所以。又所以在点处的切线方程即.举一反三：【变式1】设为实数，函数．(1)求的单调区间与极值；,则,,①又,,,即,代入①式可得:.(2),设则,令,解得:,;,,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增①若,即时,最大值为;②若,即时,最大值为③若时,即时,最大值为.综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.例3.设．（Ⅰ）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（Ⅱ）当时，在[1，4]上的最小值为，求在该区间上的最大值．【解析】（Ⅰ）由．当时，的最大值为；令，得，所以，当时，在上存在单调递增区间．（Ⅱ）令，得两根，．所以在，上单调递减，在上单调递增．当时，有，所以在[1，4]上的最大值为．又，即，所以在[1，4]上的最小值为，得，，从而在[1，4]上的最大值为．举一反三：【变式1】设函数求的最小值;【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）令当时，,∴在区间是减函数；当时，,∴在区间是增函数.∴在时取得最小值且最小值为.【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－，－）－（－，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2。类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元．(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的．【解析】(1)设容器的容积为V，由题意知，又，故．由于，因此．所以建造费用，因此，．(2)由(1)得，．由于，所以，当时，．令，则m＞0，所以．①当即时，