九年级数学上册专题11 圆的相关概念和性质（热考题型）-解析版

/专题11圆的相关概念和性质【思维导图】◎考点题型1圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：圆心；半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．例．（2022·青海海东·九年级期末）下列说法中错误的是（

）A．直径是弦 B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．两个半圆是等弧【答案】D【分析】根据圆的性质：弦的定义、确定圆的条件、外心性质、弧的定义逐一判断解答．【详解】解：A.直径是弦，故A正确；B.经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，故B正确；C.三角形的外心到三个顶点的距离相等，故C正确；D.两个半圆不一定是等弧，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查圆的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．变式1．（2021·全国·九年级课时练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．【详解】∵圆中最长的弦为直径，∴．∴故选D．【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．变式2．（2021·四川凉山·中考真题）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得AB=10cm，CD=6cm．∴OC=5，CP=3∵CD⊥AB，∴CP=CD=3cm．根据勾股定理，得OP==4cm．故选B．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．变式3．（2020·陕西·咸阳市秦都区教育局七年级阶段练习）一个圆柱的侧面展开图是长方形，这个长方形的一组邻边长分别是6和8，则这个圆柱的底面半径是（）A．3 B． C． D．或【答案】D【分析】圆柱体的侧面展开图为长方形，其中一条边长为底面圆周长，另一条边为圆柱体的高，分类讨论，（1）当6为底面圆周长时，（2）当8为底面圆周长时，分别计算出底面半径即可．【详解】（1）当6为底面圆周长时，6=，r=；

（2）当6为底面圆周长时，8=，r=．所以r=或．故选：D．【点睛】本题主要考查圆柱体的侧面展开图以及圆的周长公式，由于底面圆周长的不确定，本题关键在于分类讨论．◎考点题型2弦、弧、弦心距弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）QUOTE半径2例．（2022·河北唐山·九年级期末）如图所示，AB是⊙O的直径，，∠COD＝34°，则∠A的度数是（

）A．51° B．56° C．68° D．78°【答案】A【分析】先利用圆心角与所对弧的关系求出圆心角∠BOE度数，再用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∴∠DOC=∠DOE=∠BOC=34°，∴∠BOE=∠DOC+∠DOE+∠BOC=102°，∴∠A=∠BOE=51°，故选：A．【点睛】本题考查圆心角与所对弧的关系，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．变式1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A=26°，则∠D的度数是（

）A．26° B．38° C．52° D．64°【答案】B【分析】根据垂径定理得出，根据弧与圆心角关系得出∠COB=∠BOD，利用圆周角定理得出∠COB=2∠A=52°，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．【详解】解：连接OC，∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，∴，∴∠COB=∠BOD，∵∠A=26°，∴∠COB=2∠A=52°，∴∠BOD=52°，∴∠D=90°-∠BOD=90°-52°=38°．故选B．【点睛】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关．变式2．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦【答案】B【分析】根据弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，逐项判断即可求解．【详解】解：A、因为等弦所对的弧有可能为优弧，也可能是劣弧，故本选项错误，不符合题意；B、等弧所对的弦相等，故本选项正确，符合题意；C、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误，不符合题意；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．变式3．（2022·安徽滁州·九年级期末）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．【详解】解：如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确；∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确；∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，综上，四个选项都正确，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．◎考点题型3圆周角圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）例．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，故选C．【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．变式1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的长为：π．故选：B．【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．变式2．（2022·湖南株洲·九年级期末）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，则∠BCD的度数是（

）A．46° B．56° C．34° D．24°【答案】C【分析】先判断出，从而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得答案．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，故选C【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．变式3．（2022·河南商丘·九年级期末）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于（）A．54° B．56° C．64° D．66°【答案】A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠A=∠BCD=36°，∴∠ABD=90°-∠A=90°-36°=54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余．◎考点题型4圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组相等，那么他们所对的其余各组量分别相等。例．（2022·安徽·合肥市庐阳中学三模）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解．【详解】解：如图，∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，∴∠DOC＝40°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠OCB＝∠DOC＝40°，故选：B．【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．变式1．（2020·安徽合肥·九年级期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知，点是平分线上一点，当点是的外心时，（）A．95° B．100° C．110° D．115°【答案】B【分析】根据圆周角，圆心角的性质解答即可．【详解】解：如图示，∵点是的外心，∴，，三点共圆，∴，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角，圆心角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（

）A．160o B．120o C．100o D．80o【答案】A【分析】在⊙O取点，连接利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案．【详解】解：如图，在⊙O取点，连接四边形为⊙O的内接四边形，．故选A【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．◎考点题型5垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．常见辅助线做法（考点）：过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．例．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(

)A．36 B．24 C．18 D．72【答案】A【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．【详解】解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，∴在Rt△COE中，，∴CD＝2CE＝6，∴四边形ACBD的面积＝．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．变式1．（2019·浙江·丽水市实验学校一模）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【答案】D【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况，根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．【详解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，∵CD=10cm，，∴，∵圆的半径为13cm，∴OD=13cm，∴利用勾股定理可得：，同理可求OF=5cm，∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样；综上分析可知，两弦之间的距离为7cm或17cm，故D正确．故选D．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用定理、注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论是解题的关键．变式2．（2021·广东·珠海市斗门区实验中学九年级期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（

）A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【答案】C【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，又∵∠COD＝∠AOB，∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，∴CD＝AE＝BE，∵在△ABE中，AE＋BE＞AB，∴2CD＞AB，故选：C．【点睛】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．变式3．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）图，已知以的边AB为直径的经过点C，交于点D，连接BD．若，则的度数为（

）A．32° B．27° C．24° D．18°【答案】B【分析】由AB为直径的经过点C，得出∠C=90°，从而求出∠ABC=54°，再由垂径定理证得，则可由圆周角定理得出∠ABD=∠CBD，所以∠ABD=∠ABC=27°，最后由等腰三角形性质得出∠ODB=∠ABD，即可求得答案．【详解】解：∵AB为直径的经过点C，∴∠C=90°，∵，∴∠ABC=54°，∵交于点D，∴，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ABC=×54°=27°，∵OD=OC，∴∠ODB=∠ABD=27°，故选：B．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及其推论，熟练掌握垂径定理＼圆周角定理及其推论是解题的关键．◎考点题型6垂径定理的推论推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；例．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、如图，四边形ABCD，ABCD，∠A=∠C，∵ABCD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质等知识，难度不大．变式1．（2022·四川广安·二模）下列说法错误的是（）A．方差可以衡量一组数据的波动大小B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度C．平分弦的直径垂直于这条弦D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】C【分析】根据方差和抽样调查的特点、垂径定理的推论、平行公理逐项判断解答即可．【详解】解：A、方差可以衡量一组数据的波动大小，正确；B、抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，正确；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，错误；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故选：C．【点睛】本题考查方差、抽样调查、垂径定理的推论、平行公理，明确题意，熟知相关知识是解答的关键．变式2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．【详解】解：∵AD是⊙O的切线，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58°，∴∠B=90°-∠ADB=32°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58°，∵点A是的中点，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=32°，故选：D．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．变式3．（2022·内蒙古包头·模拟预测）下列说法中，正确的说法有（

）①平分弦的直径垂直于弦；②一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的根是x1＝3，x2＝﹣2③点P（1，2）关于x轴对称点的坐标是（1，2）；④对角线垂直且相等的四边形一定是菱形；⑤在数据1，4，4，0，2中，众数是4，中位数是4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据此弦可能过圆心，即可推出平分弦的直径不一定垂直于弦（直径）；通过解一元二次方程；关于x轴对称的点的坐标的特征；菱形的判定定理；众数、中位数的概念进行分析解答，通过排除法即可推出结论．【详解】①若此弦为直径，则平分弦的直径不一定垂直于弦（直径）；故本项说法错误，②通过对原方程变形得：（x﹣3）（x+2）＝0，即可推出x﹣3＝0或x+2＝0，推出x1＝3，x2＝﹣2，故本项说法正确，③点P（1，2）关于x轴对称点的纵坐标应在y轴的负半轴上，所以坐标是（1，﹣2），故本项说法错误，④对角线垂直且相等的四边形不一定是菱形，还有可能为正方形或对角线互相垂直的等腰梯形，故本项说法错误，⑤在数据1，4，4，0，2中，众数是4，中位数是2，故本项说法错误，所以②一项说法正确，故选：A．【点睛】本题主要考查垂径定理的推论，关于x轴、y轴的点的坐标的特征，菱形的判定定理，中位数的概念等知识点，关键在于正确的根据相关的性质定理逐项分析解答，排除错误的项．◎考点题型7垂径定理的实际应用例．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正确；∵点是上一动点，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，∴∠BCD=90°，∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正确；如图，延长DA至点E，使AE=DC，∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD，∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正确；∴正确的有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定