2021-2023年高考数学真题分类汇编（全国通用）：三角函数（教师版含解析）

专题09三角函数知识点目录知识点1：三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性知识点2：值域与最值问题知识点3：伸缩变换问题知识点4：求解析式问题知识点5：三角恒等变换知识点6：与的取值与范围问题知识点7：弧长公式近三年高考真题知识点1：三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性1．（2023•全国）已知函数，则A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增【答案】【解析】，令，，解得，，当时，，故在，上单调递增．故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．2．（2022•天津）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在，上单调递增；③当，时，的取值范围为，；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】对于，它的最小正周期为，故①错误；在，，，，函数单调递增，故②正确；当，时，，，的取值范围为，，故③错误；的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．3．（2021•北京）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为【答案】【解析】因为，因为，故函数为偶函数，令，则，，故是开口向下的二次函数，所以当时，取得最大值，故函数的最大值为．综上所述，函数是偶函数，有最大值．故选：．【点评】本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．4．（2022•北京）已知函数，则A．在，上单调递减 B．在，上单调递增 C．在上单调递减 D．在，上单调递增【答案】【解析】，周期，的单调递减区间为，，单调递增区间为，，对于，在，上单调递增，故错误，对于，在，上单调递增，在上单调递减，故错误，对于，在上单调递减，故正确，对于，在，上单调递减，在，上单调递增，故错误，故选：．【点评】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．5．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数单调递增的区间是A． B．， C． D．，【答案】【解析】令，．则，．当时，，，，，故选：．【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．6．（2021•乙卷（文））函数的最小正周期和最大值分别是A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】【解析】，．当时，函数取得最大值；函数的周期为，最大值．故选：．【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线【答案】【解析】因为的图象关于点，对称，所以，，所以，因为，所以，故，令，解得，故在单调递减，正确；，，，，根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；令，，得，，显然错误；，求导可得，，令，即，解得或，故函数在点处的切线斜率为，故切线方程为，即，故正确．直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（2022•上海）函数的周期为．【答案】【解析】，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．9．（2023•北京）已知函数，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若在，上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．条件①：；条件②：；条件③：在，上单调递减．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（Ⅰ）因为函数，所以，又因为，所以．（Ⅱ）若选①：；因为，所以在和时取得最大值1，这与在，上单调递增矛盾，所以、的值不存在．若选②：；因为在，上单调递增，且，所以在时取得最小值，时取得最大值1，所以的最小正周期为，计算，又因为，所以，，解得，；又因为，所以；若选③：在，上单调递减，因为在，上单调递增，且，所以在时取得最小值，时取得最大值1，所以的最小正周期为，所以，又因为，所以，，解得，；又因为，所以．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．知识点2：值域与最值问题10．（2021•浙江）设函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在，上的最大值．【解析】函数，（Ⅰ）函数，则最小正周期为；（Ⅱ）函数，因为，所以，所以当，即时，．【点评】本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，属于基础题．11．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】由给定区间可知，．区间，与区间，相邻，且区间长度相同．取，则，，区间，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能．结合选项可得，不可能的是，．故选：．【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．12．（2022年全国乙卷）函数fx=cosx+x+1A．-π2，π2 B．-3π【答案】D【解析】【分析】利用导数求得fx的单调区间，从而判断出fx在区间【详解】f'所以fx在区间0,π2和3π2,2在区间π2,3π2上又f0=f2π=2所以fx在区间0,2π上的最小值为-3π故选：D13．（2021•浙江）已知，，是互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数的最大值是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【解析】由基本不等式可得：，，，三式相加，可得：，很明显，，不可能均大于．取，，，则，则三式中大于的个数的最大值为2，故选：．【点评】本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于难题．知识点3：伸缩变换问题14．（2021•乙卷（文））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则A． B． C． D．【答案】【解析】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，把函数的图像，向左平移个单位长度，得到的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得的图像．故选：．【点评】本题主要考查函数的图像变换规律，属基础题．15．（2023•甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】把函数向左平移个单位可得函数的图象，而直线经过点，且斜率为，且直线还经过点，、，，，，如图，故与的交点个数为3．故选：．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．16．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】【解析】把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象．故选：．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．知识点4：求解析式问题17．（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则A． B． C． D．【答案】【解析】根据题意可知，，取，，又根据“五点法“可得，，，，，．故选：．【点评】本题考查三角函数的性质，方程思想，属基础题．18．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为A． B． C． D．【答案】【解析】：若，则，令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；：若，则，令，，则，，故是一条对称轴，符合题意；，则，不符合题意；，则，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性，属于基础题．19．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则A．1 B． C． D．3【答案】【解析】函数的最小正周期为，则，由，得，，的图像关于点，中心对称，，且，则，．，，取，可得．，则．故选：．【点评】本题考查型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．20．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则．【答案】．【解析】由题意：设，，，，则，由的图象可知：，即，，又，，，即，，观察图象，可知当时，满足条件，．故答案为：．【点评】本题主要考查根据函数的图象确定解析式的方法，属中档题．21．（2021•甲卷(文）已知函数的部分图像如图所示，则．【答案】【解析】由图可知，的最小正周期，所以，因为，所以由五点作图法可得，解得，所以，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．22．（2021•甲卷（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为．【答案】2．【解析】由图像可得，即周期为，，，，观察图像可知当，，，，且，时最小，且满足题意，故答案为：2．知识点5：三角恒等变换23．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则A． B． C． D．【答案】【解析】因为，，所以，所以，则．故选：．【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．24．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则A． B． C． D．【答案】【解析】，则，故，即，为锐角，，．故选：．【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．25．（2023•乙卷（文））若，，则．【答案】．【解析】，，令，，设终边上一点的坐标，则，则．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用坐标法进行求解是解决本题的关键，是基础题．26．（2023•上海）已知，则．【答案】．【解析】，．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．27．（2022•新高考Ⅱ）若，则A． B． C． D．【答案】【解析】解法一：因为，所以，即，所以，所以，所以，所以，，所以，所以．解法二：由题意可得，，即，所以，故．故选：．【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．28．（2021•新高考Ⅰ）若，则A． B． C． D．【答案】【解析】由题意可得：．故选：．【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，是解题的关键，属于中等题．29．（2021•甲卷（文））若，，则A． B． C． D．【答案】【解析】由，得，即，，，则，解得，则，．故选：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．30．（2022•上海）若，则．【答案】．【解析】若，则．故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．31．（2021•乙卷（文））A． B． C． D．【答案】【解析】法一、．法二、．故选：．【点评】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．32．（2022•浙江）若，，则．【答案】；．【解析】，，，，，，解得，，．故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．知识点6：与的取值与范围问题33．（2022•甲卷（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；函数在区间恰有三个极值点、两个零点，，，，求得，故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．34．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是．【答案】，．【解析】，，函数的周期为，，可得，函数在区间，有且仅有3个零点，可得，所以．故答案为：，．【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题．35．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为．【答案】3．【解析】函数，的最小正周期为，若，，则，所以．因为为的零点，所以，故，，所以，，因为，则的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．36．（2021•北京）若点关于轴的对称点为，，则的一个取值为．【答案】（答案不唯一）．【解析】因为与，关于轴对称，故其横坐标相反，纵坐标相等，即且，由诱导公式，，所以，，解得，，则符合题意