福建省福州市良镇中学2022年高三数学理测试题含解析

福建省福州市良镇中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为

A.

B.

C.

D.

参考答案：D略2.函数的图像大致是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B3.已知函数，则不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C由题意得，函数的定义域为R．∵，∴函数为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数在定义域上单调递增．由得，∴，解得，∴不等式的解集为．故选C．

4.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，动点E、F在棱A1B1上，动点P、Q分别在棱AB、CD上，若EF=2，DQ=x，AP=y，则四面体PEFQ的体积

（

）

A．与x，y都无关

B．与x有关，与y无关

C．与x、y都有关

D．与x无关，与y有关参考答案：A略5.函数的定义域是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.设，若z的最大值为12，则z的最小值为 A．-3 B．-6 C．3 D．6参考答案：B7.在等比数列等于A．2

B．3

C．

D．参考答案：答案：C8.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.下列不等式一定成立的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：【知识点】不等式比较大小．

E1【答案解析】C

解析：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0，D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立综上，C选项是正确的.故选C【思路点拨】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可.10.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据(x,y)分别为(2,1.5)，(3,4.5)，(4,5.5)，(5,6.5)，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（

）A.8年 B.9年 C.10年 D.11年参考答案：D【分析】根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上，，由，估计第11年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中项的系数490,则实数的值为

.参考答案：

12.函数为奇函数，则增区间为

参考答案：略13.已知函数，则

．参考答案：14.已知点A（0，2），抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：5，则a的值等于．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：5，则|KN|：|KM|=2：1，∵kFN==﹣，kFN=﹣2∴=2，求得a=．故答案为：．15.将正整数1,2,3，……，n,……，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行、第j列的数可用（i,j）表示，则2015可表示为

第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列……第1行123

第2行987654

第3行1011121314151617…………

参考答案：16.已知f(x)=过A(1,m)可作曲线的三条切线，则m的取值范围是

.参考答案：(-3,-2)17.设函数，集合，且．在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为______．参考答案：因为，所以由得，即，它表示以为圆心，半径为的圆面。由得，即，整理得，即或，显然的交点为，且两直线垂直，所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积，所以集合所表示的区域的面积为，如图：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为(1,0)，求的值．参考答案：（1）直线l的方程为,圆C的方程为（2）【详解】试题分析：(1)消去参数可得直线的普通方程为，极坐标方程转化为直角坐标方程可得圆C的直角坐标方程是(2)利用题意由弦长公式可得.试题解析：解：（1）∵直线l的参数方程是（是参数），∴．即直线的普通方程为．∵，∴∴圆C的直角坐标方程为，即或（2）将代入得，∴．∴．19.如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设|PM|=t|MC|，试确定t的值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知可得PQ⊥AD，再由面面垂直的性质可得PQ⊥平面ABCD，得到PQ⊥BQ，再由已知可得BQ⊥AD，结合线面垂直的判定可得BQ⊥平面PAD，从而得到平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP两两互相垂直，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴距离空间直角坐标系，可得则Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），由|PM|=t|MC|，得M（）．求出平面MQB与平面CBQ的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值结合已知列式求得t值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，而BQ?平面ABCD，∴PQ⊥BQ，又底面ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∵BC∥AD，BC=，∴四边形QBCD为平行四边形，则BQ∥CD，得BQ⊥AD，又PQ∩AD=Q，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ?平面PBQ，则平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP两两互相垂直，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴距离空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），∵|PM|=t|MC|，∴，可得M（）．，=（）．设平面MQB的一个法向量为，由，得，取z=1，得．由图可知，平面CBQ的一个法向量．由|cos＜＞|=||=||=cos30，解得t=3．20.[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（I）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（II）若≥|2x﹣1|﹣|x+2|恒成立，求x的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去绝对值化为不等式，解不等式可得．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴ab≤（）2=，当且仅当a=b=时“=”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（Ⅱ）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，∴+=（+）（a+b）=5++≥9，故恒成立，则|2x﹣1|﹣|x+2|≤9，当x≤﹣2时，不等式化为1﹣2x+x+2≤9，解得﹣6≤x≤﹣2，当﹣2＜x＜，不等式化为1﹣2x﹣x﹣2≤9，解得﹣2＜x＜，当x≥时，不等式化为2x﹣1﹣x﹣2≤9，解得≤x≤12综上所述x的取值范围为[﹣6，12]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数知识，考查运算能力，转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．21.已知函数在处的切线方程为（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若为整数，当时，恒成立，求的最大值（其中为的导函数）．参考答案：解：（Ⅰ），由已知得，故，解得又，得，解得

………………2分，所以当时，；当时，所以的单调区间递增区间为，递减区间为

…………4分（Ⅱ）法一.由已知，及整理得，当时恒成立令，

………………6分当时，；由（Ⅰ）知在上为增函数，又

………………8分所以存在使得，此时当时，；当时，所以

…10分故整数的最大值为.

………………12分法二.由已知，及整理得，令，得，

………6分当时，因为，所以，在上为减函数，

………8分，为增函数。为减函数。由已知

……10分令，，在上为增函数.又，故整数的最大值为

……………12分22.学校某文具商店经营某种文具，商店每销售一件该文具可获利3元，若供大于求则削价处理，每处理一件文具亏损1元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每件文具仅获利2元．为了了解市场需求的情况，经销商统计了去年一年（52周）的销售情况．销售量（件）10111213141516周数248131384以去年每周的销售量的频率为今年每周市场需求量的概率．（1）要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，问进货量的最大值是多少？（2）如果今年的周进货量为14，写出周利润Y的分布列；（3）如果以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的周进货量定为多少合适？参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）若进货量定为13件，相应有13+13+8+4=38周．可得“进货量不超过市场需求量”的概率P=＞0.5；同理：若进货量定为14件，则“进货量不超过市场需求量”的概率＜0.5，即可得出．（II）今年的周进货量为14，设“平均今年周利润”Y；若售出x件，x≤14时，则利润y=x×3+（14﹣x）×（﹣1）．x≥15时，则利润y=14×3+（x﹣14）×2．即可得出Y的分布列．（III）以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的周进货量定为11件或12件合适．【解答】解：（I）若进货量定为13件，则“进货量不超过市场需求量”是指“销售两不小于13件”，相应有13+13+8+4=38周．“进货量不超过市场需求量”的概率P=＞0.5；同理：若进货量定为14件，则“进货量不超过市场需求量”的概率＜0.5；∴要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，进货量的最大值是13．（II）今年的周进货量为14，设“平均今年周利润”Y；若售出10件，则利润y=10×3+4×（﹣1）=26．售出11件，则利润y=11×3+3×（﹣1）=30．售