图形的平移旋转与位似“衡水赛”一等奖

第七章图形的变化第31讲图形的平移、旋转与位似1.(2020·南通)以原点为中心，将点P(4，5)按逆时针旋转90°，得到的点Q所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B2.(2019·海南)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，B(3，－1)，平移线段AB，使点A落在点A1(－2，2)处，则点B的对应点B1的坐标为()A.(－1，－1)B.(1，0)C.(－1，0)D.(3，0)C3.已知点A(0，4)，B(3，4)，以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为()A.1B.C.1或－1D.C4.(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，连接AA′，则∠CAA′的度数是()A.50°

B.70°

C.110°

D.120°D5.(2020·孝感)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G.若BG＝3，CG＝2，则CE的长为()A.

B.

C.4D.B6.(2020·广州)如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为___________.(4，3)7.(2020·青海)如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位长度，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______.128.(2020·天水)如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF＝3，则BE的长为_______.29.(2020·孝感)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，5)，B(－3，1)和C(4，0)，请按下列要求画图并填空.(1)平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为____________；(2，－4)D解：如图所示，线段CD即为所求.(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos∠BCE的值为________；解：如图所示，线段AE即为所求.DE(3)在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为____________.(0，4)解：如图所示，点F即为所求.10.(2020·达州)如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点.将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE.(1)判断四边形ABDF的形状，并证明；解：四边形ABDF是菱形．证明如下：∵CD＝DB，CE＝EA，∴DE∥AB，AB＝2DE.由旋转的性质，可知DE＝EF，∴DF＝2DE，∴AB＝DF.又∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．∵BC＝2AB，BD＝DC，∴BA＝BD，∴四边形ABDF是菱形．(2)已知AB＝3，AD＋BF＝8，求四边形ABDF的面积.解：连接BF，AD交于点O.∵四边形ABDF是菱形，∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD.设OA＝x，OB＝y，则有∴x＋y＝4，∴x2＋2xy＋y2＝16，∴2xy＝7，∴S菱形ABDF＝2(1)BF·AD＝2xy＝7.11.(2020·聊城)如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于()A.B.C.D.D12.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，BC＝15，平移距离为5，则阴影部分的面积为________.13.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C为(－1，0)，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，得△A′B′C.设点B的横坐标是a，则点B′的横坐标是_____________.－2a－314.(2020·广州)如图，在正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF·ED的值为__________.1615.(2020·滨州)如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点A，B，C的距离分别为

，，4，则正方形ABCD的面积为_____________.16.(2020·玉林)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB.(1)求证：四边形ABCD是正方形；证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OB＝OC＝OD＝2(2)AB，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．(2)若H是边AB上一点(点H与点A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.当AB＝2时，求AH的长.解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，∴四边形BGEF是矩形．∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，∴∠DHE＝90°，DH＝HE，∴∠ADH＋∠AHD＝∠AHD＋∠EHG＝90°，∴∠ADH＝∠EHG.∵∠DAH＝∠G＝90°，∴△ADH≌△GHE(AAS)，∴AD＝HG，AH＝EG.∵AB＝AD，∴AB＝HG，∴AH＝BG，∴BG＝EG，∴矩形BGEF是正方形．设AH＝x，则BG＝EG＝x.∵S1＝S2，∴x2＝2(2－x)，解得x＝－1(负值已舍去)，∴AH＝－1.17.(2020·潍坊)如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE.现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜360°)，如图2，连接CE，BD，CD.(1)当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；证明：图2中，根据题意，得∠CAB＝∠EAD＝90°.∴∠CAE＋∠BAE＝∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴CE＝BD.(2)如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；证明：在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴∠ACE＝∠ABD.∵∠ACE＋∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，∴∠ABD＋∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°，∴CF⊥BD.∵AB＝AC＝＋1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，∴BC＝AB＝＋2，CD＝AC＋AD＝＋2，∴BC＝CD，∴CF是线段BD的垂直平分线．(3)在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数.解：在△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取