点面距离的求解

点面距离的求解第1页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》21一、点面距离的地位：

点面距离问题是整个立体几何这一章的重点，它不仅是线面角、二面角（三垂线法）求解的关键；而且是线面、面面及异面直线间距离转化的最后目的地。是高考的热点，每年都有所考查。二、点面距的定义：

从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离.第2页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》31①直接法:作出垂线，直接求解；向量法；②间接法：等体积法；比例法.三、点面距的求法：四、求法的具体讲解：（1）作出垂线，直接求解

“垂线如何作，垂足又落在哪里？”是此法的关键，其解决方案主要有下：1、依据面面垂直的性质及判定常规遵循一作二证三计算的步骤；第3页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》41①法一：依据判定找过已知点且与已知平面垂直的平面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在交线上

MCPAB例1：如图：在四面体P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC=a，求B到面PAC的距离。

分析：由PC⊥平面ABC，PC面PAC可得，面ABC⊥面PAC，又面ABC过点B，面ABC∩面PAC=AC，所以过B作BM⊥AC于M，即可得BM⊥面PAC。而三角形ABC为等边三角形故32BM=第4页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》51例2在棱长为1的正方体中，E、F分别为棱、的中点，G为棱上的一点，且求点G到面的距离。MDBCEFA·G分析：由条件可知点G在线段移动，而∥面，所以其上任意点到面的距离都等于G到面的距离，这样我们就可直接将G点换为点，而由EF⊥平面知，过的平面⊥面且面∩面=，故仅需过作⊥于M，即得⊥面，后在△中进行计算即可。第5页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》615.如图所示，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA⊥平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.延伸·拓展【解题回顾】解答求距离的问题，注意距离之间的相互

转化，有时能取得意想不到的效果第6页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》71②法二，依据面面垂直的判定，首先在已知平面内找一条线；后再作与此线垂直且过已知点的垂面（如何作见下）；再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线即垂直于已知平面，且垂足落在交线上。

◆借助三垂线定理或三垂线定理的逆定理。例3如图，在正三棱柱中，AB=2，=4，则点C到平面的距离为？HOCAB第7页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》81◆利用等腰三角形或全等三角形。例4如图，三棱锥P-ABC中，PA=PB=CA=CB=6，AB=PC=4，求C面PAB的距离。OHPABC分析：等腰△PAB与等腰△CAB公用底边AB，故仅需取AB的中点O，连结PO、CO，即可得到AB⊥面POC，又面PAB，∴面PAB⊥面POC，过C作CH⊥PO于H，则CH⊥面PAB，后在等腰△POC中计算出CH即可。第8页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》91例5如图，正三棱锥P-ABC中，侧棱长为6，底面边长为4，求C面PAB的距离。EOPABC分析：△PAB全等于△PAC，过C作CE⊥PA于E，连BE则BE⊥PA，所以PA⊥面BCE，又面PAB故面BCE⊥面PAB，过C作CO⊥BE于O，则CO⊥面PAB，第9页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》1012、依据其他。如依据射影长定理及外心的定义。HOCBA例6如图，已知，在△ABC中∠ABC=，AB=6，BC=8，O到△ABC各顶点的距离都等于10，求点O到这个三角形所在平面的距离。解：设H为点O在平面ABC内的射影，连接OH、AH、BH、CH，在△ABC中∠ABC=，AB=6，BC=8∴AC=10∵OA=OB=OC∴HA=HB=HC即H为△ABC的外心，∴H为AC中点，AH=BH=CH=5△OAH中∠AHO=，OA=10，AH=5∴OH=即点O到平面ABC的距离为。第10页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》1113.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为()(A)7(B)9(C)11(D)13HPCAB第11页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》121如依据结论“从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，求证斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线”。（人教版高二数学下A）例7如图，斜三棱柱的各条棱长均为4，∠=∠=，求斜三棱柱的体积。DOACB第12页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》131再如依据正棱锥的性质“正棱锥的顶点在底面内的射影为底面的中心”。例8求侧棱和底面长均为6的正四棱锥的高。OBDACP分析：过P作PO⊥面ABCD于O，则PO即为高，O为底面的中心，又底面为正方形，故后在△POA中即可完成相应计算。第13页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》141⑵向量法做法：先求得已知平面的一个法向量，再找到平面的一过已知点的斜向量，后再套用公式求解。如图所示，设是平面的法向量，，是平面的一条斜线。∴点B到平面的距离为ABC第14页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》151例9如图，已知平面平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠，设AC=求A到平面VBC的距离。zxyOE解：取AC的中点O。连结，易知平面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E，取O为空间直角坐标系的原点，OE、OC、所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。则设平面VBC的一个法向量又由得(x,y,z)•(-a,0,0)=0,(x,y,z)•(0,-a,)=0取z=1,得点A到平面VBC的距离，即在平面VBC的法向量上的投影的绝对值设所求的距离为则∴A到平面VBC的距离为ABCV第15页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》161等积法。利用三棱锥的顶点可换性，借助体积公式求解，关键是三棱锥的某个底面的面积及其上的高可求。例10如图，在棱长为4的正方体中M、N分别是棱的中点，求点B到平面AMN的距离。ABCDNM分析：要求点B到平面AMN的距离，仅需以B、M、N、A为顶点构造三棱锥B-AMN利用即可。解：连BN、BM，设点B到平面AMN的距离为，∵即及，6，∴第16页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》171比例法借助平行，进行比例转化，来求解距离。PPQMONOMNQ如图PM∩平面=O，PQ⊥平面于Q，MN⊥平面于N，则第17页，课件共20页，创作于2023年2月《点面距离》181例10如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC∩BD=O，AD=5，BC=10。若BC平面，点O到平面的距离为7，求AD到平面的距离。BCODA分析：AD∥BC，则AD∥平面，要求AD到平面的距离，只需求出直线AD上任一点到平面的距离。可过D作⊥平面于，⊥平面于，则B、、共线且∥