2023导数解密通关练基础篇专题01 导数的运算含解析

2023导数解密通关练基础篇专题01导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)；3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))；(4)y＝ln(2x－5)．[例2](1)(2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a)．若f′(1)＝eq\f(e,4)，则a＝________．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，则f(1)＝．(3)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝x3＋2x－1D．f(x)＝xex(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是()A．x2－xlnx＋xB．x2－xlnx－xC．x2＋xlnx＋xD．x2＋2xlnx＋x【对点训练】1．下列求导运算正确的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(5x)′＝5xlog5xD．(x2cosx)′＝－2xsinx2．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx3．(多选)下列求导运算正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(sin2x)′＝2cos2xC．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))D．(ex－lnx＋2x2)′＝ex－eq\f(1,x)＋4x4．已知函数f(x)＝eq\f(sinx,cosx)＋eq\f(1,x2)，则f′(x)＝．5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，则f2019(x)＋f2021(x)＝()A．－2cosxB．－2sinxC．2cosxD．2sinx6．f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e7．已知函数f(x)＝eq\f(1,ax－1)＋excosx，若f′(0)＝－1，则a＝．8．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝．9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－eq\f(9,4)D．eq\f(9,4)10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．11．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝．12．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝()A．eq\f(12－8ln2,1－2ln2)B．eq\f(2,1－2ln2)C．eq\f(4,1－2ln2)D．－213．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋eq\f(1,x)D．f(x)＝ex＋x14．f(x)＝eq\f(3,ex＋1)＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为()A．1B．2C．3D．415．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2．若f′(2020)＝6，则f′(－2020)＝______．16．分别求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)．(5)f(x)＝eq\f(x3＋2x－x2lnx－1,x2)． 专题01导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)；3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))；(4)y＝ln(2x－5)．解析(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx．(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f((cosx)′ex－cosx(ex)′,(ex)2)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex)．(3)∵y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq\f(1,2)xsin4x，∴y′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(1,2)x·4cos4x＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x．(4)令u＝2x－5，y＝lnu．则y′＝(lnu)′u′＝eq\f(1,2x－5)·2＝eq\f(2,2x－5)，即y′＝eq\f(2,2x－5)．[例2](1)(2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a)．若f′(1)＝eq\f(e,4)，则a＝________．答案1解析f′(x)＝eq\f(ex(x＋a)－ex,(x＋a)2)＝eq\f(ex(x＋a－1),(x＋a)2)，则f′(1)＝eq\f(ae,(a＋1)2)＝eq\f(e,4)，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，则f(1)＝．答案－eq\f(7,4)解析∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋eq\f(1,x)，将x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝eq\f(5,4)．∴f(x)＝2x2－eq\f(15,4)x＋lnx，∴f(1)＝2－eq\f(15,4)＝－eq\f(7,4)．(3)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx答案C解析∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2022＝4×505＋2，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx．故选C．(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝x3＋2x－1D．f(x)＝xex答案AB解析对于A：f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴f″(x)＜0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数，故A正确．对于B：f′(x)＝eq\f(1,x)－2，f″(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数，故B正确；对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函数，故C错误；对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函数，故D错误．故选AB．(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是()A．x2－xlnx＋xB．x2－xlnx－xC．x2＋xlnx＋xD．x2＋2xlnx＋x答案C解析由选项知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得eq\f(xf′(x)－f(x),x2)＝1＋eq\f(1,x)，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),x)))′＝1＋eq\f(1,x)，故eq\f(f(x),x)＝x＋lnx＋c(c为待定常数)，即f(x)＝x2＋(lnx＋c)x．又f(1)≥1，则c≥0，故选C．【对点训练】1．下列求导运算正确的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(5x)′＝5xlog5xD．(x2cosx)′＝－2xsinx1．答案B解析(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，故B正确．2．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx2．答案B解析y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx．3．(多选)下列求导运算正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(sin2x)′＝2cos2xC．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))D．(ex－lnx＋2x2)′＝ex－eq\f(1,x)＋4x3．答案BCD解析∵a为常数，∴sina为常数，∴(sina)′＝0，故A错误．由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD．4．已知函数f(x)＝eq\f(sinx,cosx)＋eq\f(1,x2)，则f′(x)＝．4．答案eq\f(1,cos2x)－eq\f(2,x3)解析f′(x)＝eq\f((sinx)′·cosx－sinx·(cosx)′,cos2x)＋(x－2)′＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＋(－2)x－3＝eq\f(1,cos2x)－eq\f(2,x3)．5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，则f2019(x)＋f2021(x)＝()A．－2cosxB．－2sinxC．2cosxD．2sinx5．答案D解析由题意，f(x)＝xsinx，f1(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx，f2(x)＝f′1(x)＝cosx＋cosx－xsinx＝2cosx－xsinx，f3(x)＝f′2(x)＝－3sinx－xcosx，f4(x)＝f′3(x)＝－4cosx＋xsinx，f5(x)＝f′4(x)＝5sinx＋xcosx，…，据此可知f2019(x)＝－2019sinx－xcosx，f2021(x)＝2021sinx＋xcosx，所以f2019(x)＋f2021(x)＝2sinx，故选D．6．f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e6．答案B解析f′(x)＝2021＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2022＋lnx，又f′(x0)＝2022，得2022＋lnx0＝2022，则lnx0＝0，解得x0＝1．7．已知函数f(x)＝eq\f(1,ax－1)＋excosx，若f′(0)＝－1，则a＝．7．答案2解析f′(x)＝eq\f(－(ax－1)′,(ax－1)2)＋excosx－exsinx＝eq\f(－a,(ax－1)2)＋excosx－exsinx，∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2．8．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝．8．答案e2解析f′(x)＝eq\f(1,2x－3)·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝eq\f(2,2x－3)＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2．9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－eq\f(9,4)D．eq\f(9,4)9．答案C解析因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq\f(1,x)，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋eq\f(1,2)，解得f′(2)＝－eq\f(9,4)．10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．10．答案－4解析∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4．11．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝．11．答案1＋e解析因为f(lnx)＝x＋lnx，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e．12．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝()A．eq\f(12－8ln2,1－2ln2)B．eq\f(2,1－2ln2)C．eq\f(4,1－2ln2)D．－212．答案C解析因为f′(x)＝f′(1)·2xln2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln2＋2，解得f′(1)＝eq\f(2,1－2ln2)，所以f′(x)＝eq\f(2,1－2ln2)·2xln2＋2x，所以f′(2)＝eq\f(2,1－2ln2)×22ln2＋2×2＝eq\f(4,1－2ln2)．13．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋eq\f(1,x)D．f(x)＝ex＋x13．答案BC解析对于A，f(x)＝3cosx，其导数f′(x)＝－3sinx，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋eq\f(1,x)，其导数f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．14．f(x)＝eq\f(3,ex＋1)＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为()A．1B．2C．3D．414．答案C解析f′(x)＝eq\f(－3ex,(ex＋1)2)＋3x2，f′(－x)＝eq\f(－3ex,(ex＋1)2)＋3x2，所以f′(x)为偶函数，f′(2019)－f′(－2019)＝0，因为f(x)＋f(－x)＝eq\f(3,1＋ex)＋x3＋eq\f(3,1＋e－x)－x3＝eq\f(3,1＋ex)＋eq\f(3ex,1＋ex)＝3，所以f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)＝3．故选C．15．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2．若f′(2020)＝6，则f′(－2020)＝______．15．答案8解析因为f′(x)＝4ax3－bsinx＋7，所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsinx＋7．所以f′(x)＋f′(－x)＝14．又f′(2020)＝6，所以f′(－2020)＝14－6＝8．16．分别求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)．(5)f(x)＝eq\f(x3＋2x－x2lnx－1,x2)．16．解析(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))ex．(2)∵y＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3)．(3)∵y＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝1－eq\f(1,2)cosx．(4)∵y＝lneq\r(1＋2x)＝eq\f(1,2)ln(1＋2x)，∴y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq\f(1,1＋2x)．(5)由已知f(x)＝x－lnx＋eq\f(2,x)－eq\f(1,x2)．所以f′(x)＝1－eq\f(1,x)－eq\f(2,x2)＋eq\f(2,x3)＝eq\f(x3－x2－2x＋2,x3)．专题02曲线的切线方程考点一求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．【例题选讲】[例1](1)(2021·全国甲)曲线y＝eq\f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________．(2)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1(3)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x(4)(2020·全国Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．(6)(2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则()A．eb<aB．ea<bC．0<a<ebD．0<b<ea(7)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)(8)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．(9)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为．(10)函数y＝eq\f(x－1,x＋1)在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．1(11)曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是．【对点训练】1．设点P是曲线y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))2．函数f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1处的切线方程为．3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．4．曲线f(x)＝eq\f(1－2lnx,x)在点P(1，f(1))处的切线l的方程为()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝05．(2019·全国Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝06．(2019·天津)曲线y＝cosx－eq\f(x,2)在点(0，1)处的切线方程为________．7．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(a,ex)))为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为．8．已知曲线y＝eq\f(1,3)x3上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，则过点P的切线方程为________．9．已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．10．设函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x＋f(1)lnx，曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是()A．5x－y－4＝0B．3x－y－2＝0C．x－y＝0D．x＝111．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2022－ln2021≈________．12．曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)13．已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)．(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．14．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．15．(2021·全国乙)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．考点二求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________．(2)若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是．(3)设函数f(x)＝alnx＋bx3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a＋b的值为．(4)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1(5)设曲线y＝eq\f(x＋1,x－2)在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则eq\f(a,b)＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．3D．－3(6)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________．(7)已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,2x)，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是．(8)关于x的方程2|x＋a|＝ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．【对点训练】1．若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．2．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝()A．0B．1C．2D．33．若曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)4．函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是．5．已知函数f(x)＝xcosx＋asinx在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为．6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________；b＝________．7．若函数f(x)＝ax－eq\f(3,x)的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．8．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝()A．－1B．1C．2D．e9．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，则a＝；10．过点M(－1，0)引曲线C：y＝2x3＋ax＋a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝．11．已知曲线C：f(x)＝x3－3x，直线l：y＝ax－eq\r(3)a，则a＝6是直线l与曲线C相切的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．已知点M是曲线y＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．13．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．14．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．专题02曲线的切线方程考点一求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．【例题选讲】[例1](1)(2021·全国甲)曲线y＝eq\f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________．答案5x－y＋2＝0解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq\f(2(x＋2)－(2x－1),(x＋2)2)＝eq\f(5,(x＋2)2)，所以y′|x＝－1＝eq\f(5,(－1＋2)2)＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．(2)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1答案B解析f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．(3)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x答案D解析法一因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0．因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．法二因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．法三易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．(4)(2020·全国Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案2x－y＝0解析设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝lnx＋x＋1，所以y′＝eq\f(1,x)＋1，所以切线的斜率为eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1．所以y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．答案x－y－1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x．∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝(1＋lnx0)x0，))解得x0＝1，y0＝0．∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．(6)(2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则()A．eb<aB．ea<bC．0<a<ebD．0<b<ea答案D解析根据y＝ex图象特征，y＝ex是下凸函数，又过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea．故选D．(7)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)答案C解析设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－eq\f(1,2)，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－1＝2，∴xeq\o\al(2,0)＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3．∴切点P为(1，3)或(－1，3)．(8)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．答案(e，1)解析设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝eq\f(1,m)(x－m)．又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝eq\f(1,m)(m＋e)．再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1．故点A的坐标为(e，1)．(9)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为．答案(0，0)解析∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x2＋1，3xeq\o\al(2,0)＋1＝1，x0＝0，f(x0)＝0，∴切点P(x0，f(x0))的坐标为(0，0)．(10)函数y＝eq\f(x－1,x＋1)在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．1答案B解析∵y＝eq\f(x－1,x＋1)，∴y′＝eq\f((x＋1)－(x－1),(x＋1)2)＝eq\f(2,x＋12)，∴k＝y′|x＝0＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x－0)，即y＝2x－1，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝eq\f(1,2)，故所求的面积为eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)．(11)曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是．答案eq\r(2)解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则＝＝2x0－eq\f(1,x0)＝1．∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋(－1)2))＝eq\r(2)．【对点训练】1．设点P是曲线y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))1．答案C解析y′＝3x2－eq\r(3)，∴y′≥－eq\r(3)，∴tanα≥－eq\r(3)，又α∈[0，π)，故α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，故选C．2．函数f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1处的切线方程为．2．答案y＝(e－1)x＋2解析f′(x)＝ex－eq\f(1,x2)，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2．3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案y＝3x解析y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x．4．曲线f(x)＝eq\f(1－2lnx,x)在点P(1，f(1))处的切线l的方程为()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝04．答案D解析因为f(x)＝eq\f(1－2lnx,x)，所以f′(x)＝eq\f(－3＋2lnx,x2)．又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0．5．(2019·全国Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝05．答案C解析设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0．故选C．6．(2019·天津)曲线y＝cosx－eq\f(x,2)在点(0，1)处的切线方程为________．6．答案y＝－eq\f(1,2)x＋1解析y′＝－sinx－eq\f(1,2)，将x＝0代入，可得切线斜率为－eq\f(1,2)．所以切线方程为y－1＝－eq\f(1,2)x，即y＝－eq\f(1,2)x＋1．7．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(a,ex)))为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为．7．答案2x－y＝0解析∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，即e＋eq\f(a,e)－eq\f(1,e)－ae＝0，解得a＝1，f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))，∴f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为2，又f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的方程为2x－y＝0．8．已知曲线y＝eq\f(1,3)x3上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，则过点P的切线方程为________．8．答案3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0解析设切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)))，由y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3))′＝x2，得y′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)，即过点P的切线的斜率为xeq\o\al(2,0)，又切线过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，若x0≠2，则xeq\o\al(2,0)＝eq\f(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)－\f(8,3),x0－2)，解得x0＝－1，此时切线的斜率为1；若x0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y－eq\f(8,3)＝x－2或y－eq\f(8,3)＝4(x－2)，即3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0．9．已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．9．答案x－y－1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x．∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝(1＋lnx0)x0，))解得x0＝1，y0＝0．∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．10．设函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x＋f(1)lnx，曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是()A．5x－y－4＝0B．3x－y－2＝0C．x－y＝0D．x＝110．答案A解析因为f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x＋f(1)lnx，所以f′(x)＝2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2＋eq\f(f（1）,x)．令x＝eq\f(1,2)得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))×eq\f(1,2)－2＋2f(1)，即f(1)＝1．又f(1)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3，所以f′(1)＝2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋f(1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝5(x－1)，即5x－y－4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2022－ln2021≈________．11．答案y＝xeq\f(1,2021)解析函数f(x)＝ln(1＋x)，则f′(x)＝eq\f(1,1＋x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切线方程为y＝x．∴ln2022－ln2021＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2021)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))，根据以直代曲，x＝eq\f(1,2021)也非常接近切点x＝0．∴可以将x＝eq\f(1,2021)代入切线近似代替f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))，即f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))≈eq\f(1,2021)．12．曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)12．答案D解析f′(x)＝1＋eq\f(1,x)，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故选D．13．已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)．(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．13．解析(1)∵P(2，4)在曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4．∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0．(2)设曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2，4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率为y′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)．∴切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)．∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0．14．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3，当x＝2时，y＝eq\f(1,2)．又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x)．(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,xeq\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,xeq\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0)))．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6．故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6．15．(2021·全国乙)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．15．解析(1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．①当a≥eq\f(1,3)时，Δ≤0，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；②当a<eq\f(1,3)时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝eq\f(1－\r(1－3a),3)，x2＝eq\f(1＋\r(1－3a),3)，令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；令f′(x)<0，则x1<x<x2．所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．综上，当a≥eq\f(1,3)时，f(x)在R上单调递增；当a<eq\f(1,3)时，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(1－3a),3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(1－3a),3)，\f(1＋\r(1－3a),3)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(1－3a),3)，＋∞))上单调递增．(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋ax0＋1)．因为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2x0＋a，所以切线l的方程为y－(xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋ax0＋1)＝(3xeq\o\al(2,0)－2x0＋a)(x－x0)．由l过坐标原点，得2xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝(1＋a)x，,y＝x3－x2＋ax＋1))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1＋a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1－a.))所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a)．考点二求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________．答案eq\f(1,3)解析f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)，则f′(1)＝3a＋1＝2，解得a＝eq\f(1,3)．(2)若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是．答案[2，＋∞)解析直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋eq\f(1,x)－2，x>0．又4x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(4x·\f(1,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(1,2)时取“＝”．∴a≥4－2＝2．∴a的取值范围是[2，＋∞)．(3)设函数f(x)＝alnx＋bx3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a＋b的值为．答案0解析依题意得f′(x)＝eq\f(a,x)＋3bx2，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)＝－1，,f′(1)＝\f(1＋1,0－1)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,a＋3b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))所以a＋b＝0．(4)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1答案D解析因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝e－1，,b＝－1.))(5)设曲线y＝eq\f(x＋1,x－2)在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则eq\f(a,b)＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．3D．－3答案B解析由题可得y′＝eq\f(－3,（x－2）2)，所以曲线在点(1，－2)处的切线的斜率为－3．因为切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，所以－3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))＝－1，解得eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3)，故选B．(6)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________．答案1＋ln2解析设切点为(m，mlnm)，y′＝1＋lnx，y′|x＝m＝1＋lnm，∴y－mlnm＝(1＋lnm)(x－m)，即y＝(1＋lnm)x－m，又y＝kx－2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋lnm＝k，,m＝2，))即k＝1＋ln2．(7)已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,2x)，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是．答案(－∞，－2)∪(0，＋∞)解析f′(x)＝1－eq\f(a,2x2)，设切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，x0＋\f(a,2x0)))，∴切线的斜率k＝f′(x0)＝1－eq\f(a,2x\o\al(2,0))，∴切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(a,2x0)))＝eq\b\lc\(\rc