空间向量及其运算测试题答案

空间向量及其运算测试题答案新课标高二数学同步测试（2-1第三章3.1）一、选择题：1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与B1M相等的向量是（）。A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c2.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）。A.OM=2OA-OB-OCB.OM=OA+OB+OCC.MA+MB+MC=DD.OM+OA+OB+OC=3.已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90，∠BAA′=∠DAA′=60，则AC′等于（）。A.85B.85C.52D.504.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是（）。A.(1/3,1,1)B.(-1,-3,2)C.(-1/2,1,-1)D.(2,-3,-2)5.已知A(-1,-2,6)，B(1,2,-6)O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（）。A.B.π/2C.πD.3π/26.已知空间四边形ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN=（）。A.a-b+cB.-a+b+cC.a+b-cD.a+b+c7.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC=AC·AD=BC·BD，则BCD是（）。A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定8.空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=BOC=60，则cos<OAC，BC>=()。A.1/2B.√2/2C.1D.2√3/39.已知A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4)，则△ABC的面积为（）。A.3B.2√2C.6D.6√210.已知a=(1-t,1-t,t)，b=(2,t,t)，则|a-b|的最小值为（）。A.5/5B.5/√5C.3/√5D.11/5二、填空题：11.已知向量a=(1,-2,3)，则向量2a-3(4,1,-5)的模长为（）。答案：√8412.已知向量a=(2,-1,3)，b=(1,0,-1)，则向量a-b的模长为（）。答案：√1513.空间三角形ABC，其中∠BAC=45°，BC=3，AC=√6，则AB的长为（）。答案：314.已知向量a=(1,2,-3)，b=(2,-1,1)，则向量a+b的模长为（）。答案：√1511.若$a=(2,3,-1)$，$b=(-2,1,3)$，则$a,b$为邻边的平行四边形的面积为$|a\timesb|=|(-8,-8,-8)|=8\sqrt{3}$。12.已知空间四边形$OABC$，其对角线为$OB,AC$，$M,N$分别是对边$OA,BC$的中点，点$G$在线段$MN$上，且$MG=2GN$，现用基组$\{OA,OB,OC\}$表示向量$\overrightarrow{OG}$，则$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4},z=-\frac{1}{4}$。13.已知点$A(1,2,11)$，$B(4,2,3)$，$C(6,1,4)$，则$ABC$的形状为不等边三角形。14.已知向量$a=(2,-3,1)$，$b=(k,0,3)$，若$\angle(a,b)=120^\circ$，则$k=-\frac{1}{2}$。15.设$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{ND'}$，则$\overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC''}=\frac{3}{4}\begin{pmatrix}0\\a\\a\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{ND'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ND'}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-a\\a\\a\end{pmatrix}$，代入得$\overrightarrow{MN}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}a\\-\frac{1}{4}a\\\frac{1}{4}a\end{pmatrix}$，因此$MN=\frac{1}{2}\sqrt{3}a$。16.（1）设$\overrightarrow{OD}=(x,y,z)$，则$\overrightarrow{OB}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{OC}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=(2,0,0)+(0,y,z)+(x,2,0)+(\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot(-\frac{1}{2}),\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2})=(2+x,-\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+y,0+\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}+z)$，故$\overrightarrow{OD}=(2+x,-\frac{1}{\sqrt{3}}+y,z)$。（2）$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=(-3,29,-22)\cdot(2,0,0)=-6$，$\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{119}$，$\left|\overrightarrow{BC}\right|=2$，故$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BC}\right|}=-\frac{3}{\sqrt{119}}$。17.设四面体的四个顶点为$A,B,C,D$，对应棱的中点分别为$E,F,G,H,I,J$，则$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，则$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CI}\cdot\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{AJ}=0$，故四面体的对棱两两垂直。18.（1）设$\overrightarrow{PA}=(x_1,y_1,z_1)$，$\overrightarrow{PB}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，代入得$\begin{cases}-x_1+2y_1-z_1=-5\\-x_2+2y_2-z_2=2\end{cases}$，解得$x_1=-\frac{3}{2},y_1=-\frac{3}{4},z_1=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{1}{2},y_2=\frac{5}{4},z_2=-\frac{1}{4}$，故$\overrightarrow{PA}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\-\frac{3}{4}\\\frac{7}{4}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{4}\\-\frac{1}{4}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-\frac{9}{4}+\frac{15}{16}-\frac{7}{16}=-\frac{7}{8}$，故$\overrightarrow{PA}\perp\overrightarrow{PB}$。（2）设$\overrightarrow{PD}=(x,y,z)$，则$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\-\frac{3}{4}\\\frac{7}{4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{7}{2}\\-\frac{3}{4}\\\frac{11}{4}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PC}=(5,-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，$\overrightarrow{PB}=(\frac{1}{2},\frac{5}{4},-\frac{1}{4})$，故$\overrightarrow{PC}\times\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-\frac{9}{8}\end{pmatrix}$，$\left|\overrightarrow{PC}\times\overrightarrow{PB}\right|=\frac{15}{8}\sqrt{2}$，故四棱锥的体积为$\frac{1}{3}\left|\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PC}\times\overrightarrow{PB})\right|=\frac{15}{16}\sqrt{2}$。19.（1）设$BN=x$，则$\overrightarrow{BN}=x\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{C_1B_1}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{C_1M}=\overrightarrow{C_1A_1}+\overrightarrow{A_1M}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$，故$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{C_1M}$，解得$x=\frac{3}{2}$。（2）设$\angleBA_1C=\theta$，则$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{BA_1}\cdot\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{BA_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{1}{2}$，故$\cos\angleBA_1C=\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$。（3）设$\overrightarrow{A_1B}=(a,b,c)$，则$\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{A_1B}+\overrightarrow{BC_1}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-2\\b+2\\c-1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{BC_1}=-2a+2b-c=-\frac{3}{4}$，$\left|\overrightarrow{A_1B}\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2$，$\left|\overrightarrow{BC_1}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}=3$，故$\cos\angleA_1BC_1=\frac{\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{BC_1}}{\left|\overrightarrow{A_1B}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BC_1}\right|}=-\frac{1}{4}$，$\cos\angleA_1C_1M=\frac{\overrightarrow{A_1C_1}\cdot\overrightarrow{C_1M}}{\left|\overrightarrow{A_1C_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{C_1M}\right|}=\frac{2a-2b+3c}{3\sqrt{6}}$，故$\cos\angleBA_1C_1-\cos\angleA_1C_1M=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2a-2b+3c}{3\sqrt{6}}$，令其等于$0$，解得$a-b+\frac{3}{2}c=-\frac{3\sqrt{2}}{4}$，代入$\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{BC_1}=-2a+2b-c=-\frac{3}{4}$，解得$a=-\frac{1}{2}$，$b=-\frac{3}{1.本题考查向量的基本运算和空间想象能力，使用向量的加法和相等可以将复杂的线面空间关系代数化。正确选项为A。2.要判断四点共面，只需满足它们的坐标满足一个平面方程，即OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1即可。正确选项为A。3.利用向量的内积运算，可以得到AC'的长度为AB+AD+AA'，即|AC'|=AC'。正确选项为B。4.判断向量共线和平行可以使用向量的数乘形式，即b≠0，a//b⟺a=λb。正确选项为C。5.使用向量的内积公式cosθ=a·b/|a|·|b|，可以计算出cosθ的值为-1。正确选项为C。6.利用向量的减法和长度公式，可以得到MN=ON-OM。正确选项为B。7.通过设立正方形的棱长，应用余弦定理可以得到三角形为锐角三角形。正确选项为B。8.建立一组基向量OA,OB,OC，再计算向量OA·BC的值即可。正确选项为D。9.利用向量的运算，可以得到cos<AB,AC>=AB·AC/|AB|·|AC|，从而得到S的值。正确选项为D。10.本题考查向量的基本运算和空间想象能力，使用向量的加法和相等可以将复杂的线面空间关系代数化。正确选项为A。11.利用向量的内积公式cosθ=a·b/|a|·|b|，可以计算出cos<a,b>=-352/77|a||b|，从而得到sin<a,b>的值。正确选项为C。12.利用向量的加减法和长度公式，可以得到OG=OA+OB+OC。正确选项为C。13.利用勾股定理，可以得到直角三角形的性质。正确选项为B。14.利用向量的内积公式cosθ=a·b/|a|·|b|，可以得到k的值，从而求出题目所求的结果。正确选项为A。15.利用正方体的性质，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标即可。正确选项为A。猜测：|AB×AD|·|AP|可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）。评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等。主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力。题19：如图，建立空间直角坐标系O—xyz。（1）依题意得B（0，