人教B版数学必修一新素养讲义2.4.1函数的零点

2．4．1函数的零点1．了解函数零点的定义．2．理解函数零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的判定方法．1．函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．二次函数零点的性质(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点是一个点．()(2)任何函数都有零点．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0．()答案：(1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝x－eq\f(1,x)的零点是()A．1 B．－1C．1，－1 D．(1，－1)答案：C3．函数y＝f(x)的图象与x轴交点与函数y＝f(x)的零点有什么联系？解：函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4．【解】(1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是－3．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．eq\a\vs4\al()函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．1．若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________．解析：因为2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，所以f(2)＝0，即22－m＝0，所以m＝4．答案：42．函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，求函数g(x)＝bx2－ax的零点．解：由于函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得2a＋b＝0，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax，令－2ax2－ax＝0，可得x＝0或－eq\f(1,2)，故g(x)的零点为0和－eq\f(1,2)．零点个数的判断分别判断下列函数零点的个数，并说明理由：(1)f(x)＝x2＋6x＋9；(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,x－1，x<0))．【解】(1)函数f(x)＝x2＋6x＋9的图象为开口向上的抛物线，且与x轴有唯一的公共点(－3，0)，所以函数f(x)＝x2＋6x＋9有一个零点．(2)法一：当x≥0时，令f(x)＝0得x＋1＝0，解得x＝－1，与x≥0矛盾；当x<0时，令f(x)＝0得x－1＝0，解得x＝1，与x<0矛盾．所以函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,x－1，x<0))没有零点．法二：画出函数y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,x－1，x<0))的图象，如图所示，因为函数图象与x轴没有公共点，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,x－1，x<0))没有零点．eq\a\vs4\al()判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．判断下列函数是否有零点，若有，有几个零点？(1)f(x)＝x2＋2x＋3；(2)f(x)＝－x2＋2x－1；(3)f(x)＝x2－5x＋6．解：(1)令f(x)＝x2＋2x＋3＝0，所以Δ＝4－12＝－8<0，方程x2＋2x＋3＝0无实根，所以此函数没有零点．(2)令－x2＋2x－1＝0⇒－(x－1)2＝0⇒x1＝x2＝1，故此函数有一个二重零点1．(3)令x2－5x＋6＝0⇒(x－3)(x－2)＝0⇒x1＝2，x2＝3．故此函数有两个零点2，3．函数零点性质的应用已知函数f(x)＝ax2－bx＋1．若b＝a＋2，且函数f(x)在(－2，1)上恰有一个零点，求a的取值范围．【解】当a＝0时，令f(x)＝0，得x＝eq\f(1,2)，符合题意．当a≠0时，因为b＝a＋2，所以f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a>0，函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点，又函数f(x)在(－2，1)上恰有一个零点，故f(－2)·f(1)<0，(6a＋5)×(－1)<0，所以6a＋5>0，所以a>－eq\f(5,6)，又因为a≠0，所以a>－eq\f(5,6)且a≠0．综上a>－eq\f(5,6)．eq\a\vs4\al()方程的根与函数的零点之间紧密相连，要灵活处理它们之间的关系并能灵活应用．当二次函数解析式中含有参数时，要注意讨论各种情况，不要遗漏．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2则x1x2<0，所以a－2<0，所以a<2．法二：因为函数f(x)的图象开口向上，零点分布在x＝0两边，所以f(0)<0，即a－2<0，所以a<2．答案：a<21．正确理解函数的零点(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．3．关于判断函数零点个数的方法总结(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点．(4)转化成两个函数图象的交点问题．函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是()A．－2，3 B．2，3C．2，－3 D．－2，－3解析：选B．令－x2＋5x－6＝0，即x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3．故函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点为2，3．2．函数y＝(x－2)(x－3)－12的零点为________．解析：函数y＝(x－2)(x－3)－12＝x2－5x＋6－12＝(x＋1)(x－6)．令y＝0，解方程(x＋1)(x－6)＝0得，x1＝－1，x2＝6．所以函数的零点为－1，6．答案：－1，63．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，则a＝________，b＝________．答案：－614．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－2a－b＝0，,32－3a－b＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－6，))所以g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)．答案：－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)[A基础达标]1．函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2 B．0，eq\f(1,2)C．0，－eq\f(1,2) D．2，－eq\f(1,2)解析：选C．由f(x)的一个零点是2，得2a＋b＝0，所以eq\f(b,a)＝－2，而g(x)＝bx2－ax＝bx(x－eq\f(a,b))，其零点是0和eq\f(a,b)，即0，－eq\f(1,2)．故选C．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则该函数的零点个数是()A．1 B．2C．0 D．无法确定解析：选B．因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以该函数有两个零点，故选B．3．函数f(x)＝x3－2在区间[1，2]内的零点的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：选C．由f(x)在R上是增函数，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）<0,f（2）>0))知f(x)在[1，2]上有零点．又因为f(x)＝x3－2在[1，2]上单调递增，所以函数在[1，2]内的零点个数为1．4．若函数f(x)＝mx2＋8mx＋21，当f(x)<0时－7<x<－1，则实数m的值等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C．m＝0时f(x)＝21<0不成立，m≠0时，f(x)是二次函数，由f(x)<0时－7<x<－1知－7，－1是f(x)的零点，所以－7，－1是方程mx2＋8mx＋21＝0的两根，所以eq\f(21,m)＝－7×(－1)＝7．所以m＝3．故选C．5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为()A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有解析：选C．若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故f(x)在(1，2)上有且仅有一个零点．6．函数f(x)＝2x2－ax＋3有一零点为eq\f(3,2)，则f(1)＝________．解析：因为eq\f(3,2)是f(x)＝0的零点，所以2×(eq\f(3,2))2－a×eq\f(3,2)＋3＝0，所以a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，所以f(1)＝0．答案：07．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2，0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)在[－2，0]上存在零点x0使f(x0)＝0，且f(x)单调，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－eq\f(2,3)．所以，实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0．因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0．答案：309．若方程mx2－x＋1＝0至少有一个大于0的实数根，求实数m的取值范围．解：设f(x)＝mx2－x＋1，当m<0时，由于f(0)＝1，对称轴x＝eq\f(1,2m)<0，所以方程有一个正根；当m>0时，应满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（－1）2－4m≥0,－\f(－1,2m)>0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,4),m>0))⇒0<m≤eq\f(1,4)；当m＝0时，方程为－x＋1＝0根为x＝1，符合题意．综上所述m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))．10．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．解：(1)当m＋6＝0时，函数y＝－14x－5显然有零点；当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－eq\f(5,9)．所以当m≤－eq\f(5,9)，且m≠－6时，二次函数有零点．综上可知，原函数有零点时，m的取值范围是m≤－eq\f(5,9)．(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－eq\f(2（m－1）,m＋6)，x1x2＝eq\f(m＋1,m＋6)，因为eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－4，所以eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－4，所以－eq\f(2（m－1）,m＋1)＝－4，解得m＝－3．且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意．所以m的值为－3．[B能力提升]11．二次函数f(x)＝x2＋px＋q的零点为1和m，且－1<m<0，那么p，q满足的条件为()A．p>0且q<0 B．p>0且q>0C．p<0且q>0 D．p<0且q<0解析：选D．由题意知，方程x2＋px＋q＝0的两根为m和1，且－1<m<0．由根与系数的关系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－p＝m＋1>0，,q＝m<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p<0，,q<0.))12．关于函数f(x)＝x3－3x＋2的零点的叙述：①－2是函数的一个零点；②函数的二重零点是1；③函数f(x)＝g(x)＋4，则函数g(x)的零点是－1，2；④对于任意a，b∈(－2，1)，f(a)f(b)≥0．其中，所有叙述正确的序号为________．解析：f(－2)＝－8＋6＋2＝0，故①正确；f(x)＝(x3－x)－2x＋2＝x(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)，故②正确；g(x)＝f(x)－4＝x3－3x－2＝(x3－x)－2x－2＝x(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝(x＋1)(x2－x－2)＝(x＋1)2(x－2)，故③正确；对于任意a，b∈(－2，1)，f(a)f(b)>0，故④不正确．答案：①②③13．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点；(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．解：(1)因为－1和－3是函数f(x)的两个零点，所以－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－3＝k－2，,－1×（－3）＝k2＋3k＋5，))解得k＝－2．(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋β＝k－2，,α