几个函数模型的比较 【备课精讲精研】 高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第八章函数应用8.2.1几个函数模型的比较【教学目标】理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义.区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.【核心素养】通过学习本节内容，提升学生的逻辑推理的数学核心素养.某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示图像表示时刻与气温的关系函数可以刻画事物变化过程中有依赖关系的两个变量之间的关系，我们能运用函数的概念与性质有效地解决问题.自主预习下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．尝试完成下表.不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的"变化趋势"也不同.对不同函数的"变化趋势"的研究和比较，可以加深我们对自然现象的理解.自主预习自主预习新课增函数增函数增函数y轴x轴三种函数模型的性质ax>kx>logax越来越快越来越慢7新课典例精析例1（1）用计算器或计算机计算下列各值∶1.01²，1.013，1.014，0.992，0.99³，0.994.猜测一下，1.01365大概是多少?0.99365大概是多少?【解】（1）1.01²=1.0201，0.99²=0.9801

1.013=1.030301,

0.993=0.970299,1.014=1.04060401,0.994=0.96059601.例1（2）用计算器或计算机计算下列各值∶1.1²，1.13，1.14，0.9²，0.93，0.94.猜测一下，1.1100大概是多少?1.1260大概是多少?猜测一下，0.9100大概是多少?0.91000大概是多少?解(2)1.12=1.21,0.92=0.81,1.13=1.331,0.93=0.729,1.14=1.4641,0.94=0.6561.典例精析例1（3）用计算器或计算机计算一下（1）（2）中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对"指数爆炸"的理解.解（3）用计算器或计算机计算，得1.01365≈37.8，0.99365≈0.03，1.1100≈13781，0.9100

≈2.656×10-5,1.1260

≈57822669934,0.91000≈1.748×10-46典例精析根据(1)(2)，我们可以发现"指数爆炸"的含义是∶当a>1时，指数函数y=ax随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈"爆炸"的趋势;当0<a<1时，指数函数y=ax随着x的增大而减小，并逐步趋向于0.典例精析例2（1）在同一个直角坐标系中画出下列4个函数在区间（0，+∞）上的图象∶y=2x，y=x²，y=x0.5，y=log2x.结合这4个函数的图象，比较它们随着x的增大函数值增长的快慢，并指出∶当

x的值足够大（

x>16）的时候，这4个函数的值的大小关系;典例精析典例精析可以发现∶当x的值足够大（x>16）时，这4个函数值的大小关系是:2x>x²>x0.5>log2x.例2（2）先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想.①y=1.01x与y=x10;②y=x0.1与y=lgx.典例精析典例精析

当x≥10000时，1.01x＞x10,例如，当x

=10000时，1.0110000≈1.6×1043,1000010=1040,显然1.0110000＜1000010；典例精析

典例精析当x＞1010时，x0.1＞lgx，例如，当x=1011时，(1011)0.1≈12.59，lg1011=11，显然(1011)0.1＞lg1011.因此，我们可以得到更一般的猜想：对于指数函数y=ax(a＞1)，幂函数y=xa(a＞0)和对数函数y=logax(a＞1)，当x足够大时，总有ax＞xa＞logax.典例精析例2（3）借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在（2）中的猜想.①y=2x与y=x100;②y=x0.25与y=log2x.典例精析由此，我们进一步验证了（2）中的猜想：当x足够大时，总有ax＞xa＞logax.做一做1．当a>1时，有下列结论：①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．其中正确的结论是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④B做一做2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0．2万公顷、0．4万公顷和0．76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()

【答案】C

【解析】用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．做一做3．【答案】D

【解析】