2021年全国新高考II卷数学真题试卷(含详细解析)

2021年全国新高考II卷数学真题试卷(含详细解析)1.多选题1．已知函数f(x)在区间[0,2]上连续，下列结论中正确的是（）A．当x∈[0,2]时，f(x)≥0B．当x∈[0,2]时，f(x)≤0C．当x∈(0,2)时，f(x)>0D．当x∈(0,2)时，f(x)<0答案：A，C2．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AB上的一点，且AE=DE，则下列结论中正确的是（）A．△ADE≌△ABCB．△ADE与△ABC不全等，但是相似C．△ADE与△ABC不相似D．△ADE与△ABC的关系与已知条件无关答案：A，B3．已知函数f(x)=2x+1，g(x)=3x-2，则下列结论中正确的是（）A．f(g(x))=6x-3B．g(f(x))=6x-1C．f(g(x))=6x-5D．g(f(x))=6x+1答案：A，D4．已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x-1>0}，则下列结论中正确的是（）A．A={1,3}B．A={1,2}C．B={x|x>1}D．B={x|x<1}答案：A，C5．已知函数f(x)=x2-3x+2，g(x)=2x-1，则下列结论中正确的是（）A．f(x)与g(x)的零点个数相同B．f(x)与g(x)的图象相交于两点C．f(x)与g(x)的图象平行D．f(x)与g(x)的图象相离答案：A，BB．f(-1)=，C．f(2)=，D．f(4)=9。下列统计量中，能度量样本x1,x2,…,xn的标准差、极差、离散程度的是（）A．样本x1,x2,…,xn的平均数，B．样本x1,x2,…,xn的方差，C．样本x1,x2,…,xn的标准差，D．样本x1,x2,…,xn的中位数。10．O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点。在正方体中，则满足MN⊥OP的是（）A．，B．，C．，D．。11．已知直线l:ax+by-r/2与圆C:x^2+y^2=r^2，点A(a,b)，则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切，B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离，C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离，D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切。12．设正整数n=a1^2+a2^2+⋯+ak-1^2+a_k*2^k，其中ai∈{0,1}，记ω(n)=a1+a2+⋯+ak，则（）A．ω(2n)=ω(n)，B．ω(2n+3)=ω(n)+1，C．ω(8n+5)=ω(4n+3)，D．ω2-1=n。13．已知双曲线x^2/2-y^2/2=1（a>0,b>0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为y=±x/2。14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：①f(x1x2)=f(x1)f(x2)，②当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0，③f'(x)是奇函数。15．已知向量a+b+c=0，a=1，b=c=2，a·b+b·c+c·a=8。则a·c=7。16．已知函数f(x)=e^(-1/x)，x<0,x>2，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则x1=1/3，x2=3/2。17．记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5，a2a4=S4。（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求使Sn>an成立的n的最小值。解：（1）设公差为d，则有a1=a3-2d，a2=a3-d，a4=a3+d，a5=a3+2d。由a3=S5得3a3=2(a1+a5)+a3×3，化简得a3=2S5/5。由a2a4=S4得(a3-d)(a3+d)=S4，代入a3=2S5/5，化简得d=S5/5。因此，an=a3+(n-3)d=2n^2-5n+6。（2）Sn=na1+(n-1)nd/2，an=a1+2(n-1)d。代入an=Sn得n^2-3n+2=0，解得n=1或2。当n=1时，Sn=a1=2，an=2，不符合Sn>an的条件。当n=2时，S2=a1+a2=2a3-3d=4，a2=2a3-d=5，符合Sn>an的条件。因此，n=2是使Sn>an成立的最小值。1.在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2。求ABC的面积，若存在正整数a使得ABC为钝角三角形，则求a的值，否则说明理由。2.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=2，QD=QA=5，QC=3。证明平面QAD垂直平面ABCD，求二面角B-QD-A的平面角的余弦值。3.已知椭圆C的方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为e=√(a^2-b^2)/a^2。求椭圆C的方程，设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x^2+y^2=b^2(x>0)相切。证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3。4.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3)。已知p=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)。设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p+p1x+p2x^2+p3x^3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1。根据你的理解说明（2）问结论的实际含义。5.已知函数f(x)=(x-1)ex-ax^2+b。讨论f(x)的单调性，从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点①a>1/e^2，b>2a；②0<a<1/e^2，b≤2a。2.其到直线$x-y+1=0$的距离为$d=\frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，$U=\{1,5,6\}$，所以$A\cap(U-B)=\{1,6\}$，解得$p=2$（$p=-6$被舍去）。因此选B。4.由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果。由题意可得，$S$占地球表面积的百分比约为：$$\frac{2\pir(1-\cos\alpha)}{4\pir^2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$$因此选C。5.由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解。作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为$2$，$4$，侧棱长为$2$，所以该棱台的高$h=2$，下底面面积$S_1=16$，上底面面积$S_2=4$，所以该棱台的体积$V=hS_1/3+S_1S_2/2=32/3$。因此选D。6.由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解。对于A，$\sigma^2$为数据的方差，所以$\sigma$越小，数据在$\mu=10$附近越集中，所以测量结果落在$(9.9,10.1)$内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于$10$的概率为$0.5$，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于$10.01$的概率与小于$9.99$的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在$(9.9,10.0)$的概率与落在$(10.2,10.3)$的概率不同，所以一次测量结果落在$(9.9,10.2)$的概率与落在$(10,10.3)$的概率不同，故D错误。因此选C。7.对数函数的单调性可比较$a$、$b$与$c$的大小关系，由此可得出结论。$a=\log_52<\log_55=1<c=\log_53$，即$a<c<b$。因此选C。8.推导出函数$f(x)$是以$4$为周期的周期函数，由已知条件得出$f(1)=1$，结合已知条件可得出结论。因为函数$f(x+2)$为偶函数，则$f(2+x)=f(2-x)$，可得$f(x+3)=f(1-x)$。因为函数$f(2x+1)$在$[0,2)$上单调递增，则$f(1)=f(2\cdot0+1)<f(2\cdot1+1)<f(2\cdot2+1)=f(1)$，即$1<f(3)<f(1)$，因此$f(3)=2$。由$f(1)=1$可得$f(5)=f(1)=1$，由$f(3)=2$可得$f(7)=f(3)=2$，因此$f(x)$是以$4$为周期的周期函数，且$f(9)=f(1)=1$。因此选B。【详解】设圆心为O，半径为r，直线的一般式为ax+by+c=0.对于A，点P在直线上，故AP垂直于直线，故有a2+b2=AP2=r2，故A正确.对于B，如图所示，点P在直线上，设点Q为圆心O到直线的垂足，则有PQ=r，又因为OP垂直于直线，故有aOP+b=0，又因为OP=OQ+QP，故有aOQ+b=-r，将OQ的坐标代入上式，得到a2+b2-r2=-ar，又因为a2+b2=r2，故上式化为r2-r2=-ar，故a=0，即直线与y轴平行，故B正确.对于C，如图所示，点P在直线上，设点Q为圆心O到直线的垂足，则有PQ=r，又因为OP垂直于直线，故有aOP+b=0，又因为OP=OQ+QP，故有aOQ+b=-r，将OQ的坐标代入上式，得到a2+b2-r2=-ar，又因为a2+b2=r2，故上式化为r2-r2=-ar，故a=0，即直线与y轴平行，与图中不符，故C错误.对于D，如图所示，点P在直线上，设点Q为圆心O到直线的垂足，则有PQ=r，又因为OP垂直于直线，故有aOP+b=0，又因为OP=OQ+QP，故有aOQ+b=-r，将OQ的坐标代入上式，得到a2+b2-r2=-ar，又因为a2+b2=r2，故上式化为r2-r2=-ar，故a=0，即直线与y轴平行，与图中不符，故D错误.故选：ABD.圆心为C(0,0)，到直线l的距离为d=r^2/(a^2+b^2/4)，其中点A(a,b)在圆C上时，a^2+b^2=r^2，因此d=r；点A在圆C内时，a+b<r，因此d<r；点A在圆C外时，a+b>r，因此d>r；点A在直线l上时，a^2+b^2=r^2，因此d=r。因此，正确选项为ABD。对于ACD选项，利用ω(n)的定义可以判断其正误，对于B选项，取n=2，2n+3=7=1×2+1×2^1+1×2^2，因此ω(7)=3，而ω(2)=1，所以ω(7)≠ω(2)+1，因此B选项错误。对于C选项，8n+5=a×2+a1×2^1+…+ak×2^k+3=1×2+1×2^2+a×2^3+a1×2^4+…+ak×2^(2k+2)+a1×2^(2k+3)，因此ω(8n+5)=2+a+a1+…+ak+a1，而4n+3=a×2^2+a1×2^3+…+ak×2^(2k+2)+a1，因此ω(4n+3)=2+a+a1+…+ak，因此ω(8n+5)=ω(4n+3)，因此C选项正确。对于D选项，n+2n-1=2^1+2^2+…+2^(n-1)+2^n-1，因此ω(n-1)=n，因此D选项正确。因此，正确选项为ACD。双曲线的离心率为√(a^2+b^2)/a，因此√(a^2+b^2)/a=2，因此b^2=3a^2，又因为双曲线的渐近线方程为y=±b/ax，因此渐近线方程为y=±3x。因此，答案为y=±3x。本题考察了双曲线离心率和渐近线的求解，属于基础题。=2×3-6=-0.由an=2n-6可得a4=2×4-6=2，a5=2×5-6=4，a6=2×6-6=6，a7=2×7-6=8，因此数列为-0,7,2,4,6,8；(2)由题意可得a1=7，a2=2×a1-6=8，a3=2×a2-6=10，a4=2×a3-6=14，因此数列为7,8,10,14.【改写】(1)根据题意可得数列的通项公式为an=2n-6，代入n=3,4,5,6,7可求出数列为-0,7,2,4,6,8；(2)根据题意可得数列的递推式为an=2×an-1-6，代入a1=7可求出数列为7,8,10,14.（1）利用等式左右两边分别乘以x，再利用等式左右两边分别加上1，最后利用平方差公式进行化简，即可证明等式成立；（2）将等式左右两边分别乘以x，再利用等式左右两边分别加上1，得到一个关于x的二次方程，解出x的值，再代入原等式中验证即可。【详解】（1）左边乘以x，右边乘以x，得到：x2x1x2x1x2x1x2x1再将左右两边加上1，得到：x2x1x2x11x2x1x2x11化简可得：x2x1x2x11利用平方差公式，将左边分子进行化简，得到：x2x1x2x11x2x1x2x1化简可得：x2x1x2x11因此，等式成立。（2）左边乘以x，右边乘以x，得到：x2x1x2x1x2x1x2x1将左右两边加上1，得到：x2x1x2x11x2x1x2x11化简可得：x2x1x2x11将等式左右两边移项，得到：x2x1x2x10这是一个关于x的二次方程，解得x为1或-1/3，代入原等式中验证可得，只有x=1时等式成立。因此，等式成立当且仅当x=1。由题意，直线MN与椭圆相切，即MN为椭圆的切线，所以M、N、切点P三点共线。设切点为P(x0,y0)，则由椭圆的性质可得PN垂直于椭圆的切线，即PN的斜率存在且为-k，其中k为MN的斜率。又因为MN过点P，所以MN的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1)，联立可得y2-y1=-k(x2-x1)。由此可得MN的方程为y=-kx+(kx1+y1)，其中k=(y2-y1)/(x2-x1)。又因为MN过椭圆的切点P，所以将MN的方程代入椭圆方程中可得(x0,y0)满足x0^2+y0^2=1且y0=-kx0+(kx1+y1)。联立可得x0^2+(kx0-kx1-y1)^2=1，即x0^2+k^2x0^2-2kx0(x1+y1)+x1^2+y1^2=1。由于MN的斜率存在，所以k不等于0，联立可得x0=(1+k^2)^(-1/2)，y0=kx0+(kx1+y1)，即可得MN的长度MN=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)=sqrt((1-kx1-y1)^2+(kx1-1)^2)。由于MN为椭圆的切线，所以PN=1，又因为M、N、P三点共线，所以PM+PN=1，即PM=1-PN=0。由此可得MN=3-PM=3。因此，必要性得证。充分性：设直线MN的斜率为k，由题意可知MN过椭圆的切点P(x0,y0)，则MN的方程为y=k(x-x0)+y0。将MN的方程代入椭圆方程中可得(x-x0)^2/a^2+k^2(x-x0)^2/b^2=1，即(x-x0)^2(1/a^2+k^2/b^2)=1。因为椭圆的离心率为e=c/a，所以c=a*e=2，又因为b^2=a^2-c^2=5，所以a=3。代入可得(x-x0)^2(1/9+k^2/25)=1。又因为MN过椭圆的切点P(x0,y0)，所以(x0,y0)满足椭圆方程，即x0^2/9+y0^2/25=1。联立可得(x0,y0)=(3/√(9+k^2),-k/√(9+k^2))。又因为MN过点M(1,0)，所以将M代入MN的方程中可得y0=-k(x0-1)，代入可得k^2+1=(3k/(3+k))^2，即k=±1。因此，充分性得证。若f(x)有最小正零点，则f(x)在该点左侧单调递减，在右侧单调递增，且该点为极小值点。所以f’(x)的根必须在(0,1)内，且f’(x)在(0,1)内单调递减，所以f’(0)>0，f’(1)<0。解得p3=0.2，p2=0.3，p1=0.5，所以f(x)=0.2x+0.3x-1.1x+0.5。f(x)在[0,1]内单调递减，所以最小正零点为0.55。（3）E(X)的意义是取数的平均值，所以E(X)必须在[1,2]的范围内。同时，由于f(x)的最小正零点为0.55，所以X的取值范围必须包含0.55。综合可得，X的取值范围为[1,3]。若x0,，则f'x0,fx单调递增；当a时，若x,0，则f'x0,fx单调递减，若x0,，则f'x0,fx单调递增.因为f'(1)=e^-2a>0，所以f(x)在x=1处取得局部极小值，且f(1)=e^-a>0；又因为f(x)在x趋近于正无穷和负无穷时都趋近于0，所以f(x)在(0,1)和(1,∞)上分别单调递增和递减；因此，当a≤0时，f(x)在整个实数轴上单调递减，当a>0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,∞)上单调递减；根据函数零点存在定理，当a≤0时，f(x)存在唯一的零点x=1，当a>0时，f(x)存在两个零点x1和x2，且x1<1<x2；综上，当a≤0时，方程f(x)=x的解为x=1，当a>0时，方程f(x)=x的解为x=x1和x=x2，且1<x2；(2)当a≤0时，f(x)在整个实数轴上单调递减，且f(1)=e^-a<1，所以当E(X)≤1时，方程f(x)=x的解为x=1；当a>0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,∞)上单调递减，且f(1)=e^-a>1，所以当E(X)>1时，方程f(x)=x的解为x=x1和x=x2，且1<x2<1/E(X)；因此，当E(X)≤1时，微生物灭绝的概率为1，当E(X)>1时，微生物灭绝的概率小于1.若$x\in(0,+\infty)$，则$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$|a|$时，若$x\in(-\infty,\ln(2|a|))$，则$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；若$x\in(\ln(2|a|),0)$，则$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；若$x\in(0,+\infty)$，则$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a=1$时，$f'(x)\geq0$，$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增；当$a>\frac{1}{2}$时，若$x\in(-\infty,0)$，则$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；若$x\in(0,\ln(2|a|))$，则$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；若$x\in(\ln(2|a|),+\infty)$，则$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。若选择条件①：由于$|a|<\frac{1}{2}$，故$1<2|a|\leqe^2$，则$b>2|a|>1$，$f(x)=b-1>0$。又因为$f(\ln(2|a|))=2|a|(\ln(2|a|)-1)-a\ln(2|a|)+b>2|a|(\ln(2|a|)-1)-2|a|\ln(2|a|)+2|a|=(2|a|-1)\ln(2|a|)+2|a|>0$，故$f(x)$在$(-\infty,0)$上有一个零点。由于函数在$(0,+\infty)$上单调递增，故函数在$(0,+\infty)$上没有零点。综上可得，题中的结论成立。若选择条件②：由于$|a|<\frac{1}{2}$，故$2|a|<1$，则$f(x)=b-1\leq2|a|-1<0$。当$b\geqe^2$时，$f(2)=e^2-4|a|+b>0$，故函数在$(0,+\infty)$上有一个零点。当$b<e^2$时，构造函数$H(x)=e^{-x}-1$，则$H'(x)=e^{-x}<0$，$H(x)