【解析】2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 锐角三角比的意义 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

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2023-2024学年初中数学九年级上册25.1锐角三角比的意义同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023九上·兴化期末）在中，，，则的值为（）

A．B．C．D．2

【答案】A

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图：

，

，

设，则，

，

.

故答案为：A.

【分析】根据三角函数的概念可设AC=x，则BC=2x，由勾股定理可得AB=x，然后根据三角函数的概念进行解答.

2．（2023九上·徐州期末）如图，在中，，，，则的正弦值为()

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：在中，，，，

故答案为：C.

【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

3．（2023九上·新邵期末）如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为h，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为()

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：，，

，

在中，，

，

故答案为：A.

【分析】由同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，由余弦函数的定义，由即可得出答案.

4．（2023九上·西安期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图，根据网格可知：，

在直角中，.

故答案为：A.

【分析】取点D，使∠ADC=90°，然后在Rt△ADC中，根据三角函数的概念进行解答.

5．（2023九上·平桂期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinB的值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图，根据勾股定理得，

AB===13，

∴sinB==.

故答案为：D.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

6．（2023九上·义乌期末）如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：①∵，E为的中点，

∴，

∵将沿翻折得到，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故①正确；

②∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故②正确；

③过点E作于点M，如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

设，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

解得，，

∴，

∴，

故③正确；

④，

故④正确；

综上共有4个正确.

故答案为：D.

【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等边对等角及三角形外角性质得∠AED=∠EBF，从而根据同位角相等，两直线平行得BF∥ED，从而即可判断①；根据等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根据等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得BH=3FH，据此可判断②；过点E作EM⊥BF于点M，根据等腰三角形的三线合一得，根据等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFM∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM，再判断出△BHF∽△DFE，根据相似三角形对应边成比例可求出FH、BH，接着判断出△GFH∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出HG的长，最后根据正切三角函数的定义可求出tan∠GEB的值，据此可判断③；直接利用三角形面积计算公式算出△BFG的面积，可判断④.

7．（2022九上·渠县期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（）

①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】B

【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，

∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，

∴∠EBD=∠EDP，

∵∠DEP=∠DEB，

∴△BDE∽△DPE；故①正确；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，

∴，故②错误；

∵∠PDH=∠PCD=30°，

∵∠DPH=∠DPC，

∴△DPH∽△CDP，

∴，

∴PD2=PHCD，

∵PB=CD，

∴PD2=PHPB，故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°

∴CM=PN=PBsin60°=4×，PM=PCsin30°=2，

∵DE∥PM，

∴∠EDP=∠DPM，

∴∠DBE=∠DPM，

∴tan∠DBE=tan∠DPM=，故④正确；

故答案为：B.

【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF=30°，于是得到∠CPD＝∠CDP＝75°，证得∠EDP＝∠PBD＝15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确．

②由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到，

故②错误；

③由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，结合PB＝CP，等量代换得到PD2＝PHPB，故③正确；

④过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，求得∠PCD＝30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PBsin60°=4×，PM＝PCsin30°＝2，由平行线的性质得到∠EDP＝∠DPM，等量代换得到∠DBE＝∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=故④正确．

8．（2022九上·新昌期中）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（）

A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③

【答案】A

【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，

∵AP=CQ，

∴CP=BQ，

∵PC=2AP，

∴BQ=2CQ，

如图，过P作PD∥BC交AQ于D，

∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，

∴，，

∴CQ=3PD，

∴BQ=6PD，

∴BO=6OP；故①正确；

过B作BE⊥AC于E，

则CE=AC=4，

∵∠C=60°，

∴BE=4，

∴PE==1，

∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；

在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

在△ABP与△CAQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，

∵∠APO=∠BPA，

∴△APO∽△BPA，

∴，

∴AP2=OPPB，

∴AP2=OPAQ.故③正确；

以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，

∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，

∵∠PBA=∠QAC，

∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA

=60°+∠BAQ+60°+∠QAC

=120°+∠BAC

=180°，

∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，

设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，

∵NA=NB，CA=CB，

∴CN垂直平分AB，

∴∠MAD=∠ACM=30°，

∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，

在Rt△MAC中，AC=3，

∴MA=ACtan∠ACM=，CM=2AM=2，

∴MO′=MA=，

即CO的最小值为，故④正确.

综上：正确的有①③④.

故答案为：A.

【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，由已知条件可知AP=CQ，则CP=BQ，结合PC=2AP可得BQ=2CQ，过P作PD∥BC交AQ于D，易证△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，根据相似三角形的性质可得CQ=3PD，则BQ=6PD，据此判断①；过B作BE⊥AC于E，则CE=AC=4，利用勾股定理可得PE，进而判断②；利用SAS证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，证明△APO∽△BPA，利用相似三角形的性质可判断③；以AB为边作等边△NAB，连接CN，则∠NAO+∠NBO=180°，故点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边△NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根据三角函数的概念可得MA、CM，据此判断④.

二、填空题

9．（2023九上·长兴期末）在中，，则的值为.

【答案】

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：

，

，

，

，

故答案为：.

【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

10．（2023九上·嵊州期末）如图，在由相同的菱形组成的网格中，，小菱形的顶点称为格点，已知点A，B，C，D，E都在格点上，连接，，的值为.

【答案】

【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：连接，如图所示：

设菱形网格的边长为a，则，

∵此图为相同的菱形组成的网格，

∴四边形为菱形，在上，

∴，，

∵，，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

根据勾股定理得：，

∴.

故答案为：.

【分析】连接AC，设菱形网格的边长为a，则AB=BC=3a，AC⊥BD，AO=AC，易得△ABC、△AEF为等边三角形，则AC=3a，AO=AC=a，AE=AF=a，EO=a，由勾股定理可得BO，然后根据三角函数的概念进行解答.

11．（2023九上·永嘉期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为.

【答案】5

【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质

【解析】【解答】解：如图，连接AC、AQ，

∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，

∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，

∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，

∴∠ACB=∠PCO，

∴△BCP∽△ACQ，

∴

∵BP＝，

∴AQ＝2，

∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，

在AD上取AE＝1，

∵，，∠QAE＝∠DAQ，

∴△QAE∽△DAQ，

∴即EQ＝QD，

∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，

连接CE，

∴，

∴DQ+CQ的最小值为5.

故答案为：5.

【分析】连接AC、AQ，根据正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，进而根据等角的同名三角函数值相等得∠ACB=∠PCO，则可判断出△BCP∽△ACQ，根据相似三角形的性质可求出AQ=2，故Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，再根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝QD，所以DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案.

12．（2023九上·嵊州期末）如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为.

【答案】或

【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，

∴，，

∴，

∴，

①当在线段上时，

设，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴，

设中，边上的高为，则，

∴

∵，

即当时，

∴

解得：（负值舍去）

∴；

②当在的延长线上时，如图

设，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴

∵的面积为，

∴四边形的面积为，

即

即

解得：或（，不合题意舍去）

∴，

故答案为：或.

【分析】根据矩形的性质可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根据三角函数的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①当E在线段AB上时，设AE=nBE，则，证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质可得AF，然后表示出AE，设△AFC中，AE边上的高为h，然后根据三角形的面积公式可得S△AFC，求出S△ABC，结合题意可得S△AFC=S△ABC，据此可求出n的值，进而可得AE；②当E在AB的延长线上时，同理求解即可.

13．（2022九上·桐乡市期中）如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为cm2

【答案】

【知识点】轴对称的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的轴对称图形△CAG，

由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合

∴△ACG≌△BDF，

∴∠ACG=∠BDF=60°，

∵∠ECB=60°，

∴G、C、E三点共线，

∵AM⊥CG，ON⊥CE，

∴AM∥ON，

∴，

在Rt△ONC中，∠OCN=60°，

∴ON=sin∠OCNOC=OC，

∵OC=OA-AC=6-12÷3=2，

∴ON=，

同理：AM=，

∵ON⊥GE，

∴NE=GN=GE，

连接OE，

在Rt△ONE中，NE=，

∴GE=2NE=，

∴S△AGE=GEAM=，

∴图中两个阴影部分的面积和为.

故答案为：.

【分析】如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，判断出G、C、E三点共线，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，可得AM∥ON，根据平行线分线段成比例定理得，由ON=sin∠OCNOC求出ON，同理求出AM，根据垂径定理得NE=GN=GE，连接OE，利用勾股定理算出NE，从而即可得出GE，进而根据三角形面积计算公式即可得出答案.

三、解答题

14．（2022九上·潞城月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，CD=4，AB=5，求AD的长和tanB的值.

【答案】解：

∵，

∴

∵，，

∴

根据勾股定理可得

∴

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】根据，，求出AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再利用正切的定义可得。

15．（2022九上·杨浦期中）如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点D、E．求线段的长．

【答案】解：过A作，垂足为点H．

在中，∵，，

∴，．

在中，∵，∴．

∴．

∵垂直平分，∴，．

在中，∵，∴．

∴．

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出AH和BH的长，再根据锐角三角函数定义求出CH的长，从而求出BC的长，再求出BE的长，利用CE=BC-BE，即可得出CE的长.

四、作图题

16．（2023九上·怀宁期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．

⑴请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；

⑵以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正切值为▲．

【答案】解：⑴如图，△A1B1C1为所求；

⑵如图，△A2B2C2为所求；

【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：（2）如图，tan∠A2C2B2，

即∠A2C2B2的正切值为；

故答案为．

【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；

（2）根据位似图形的性质作图，再利用正切的定义求解即可。

五、综合题

17．（2022九上·成都月考）在中，，，点，分别是，边上的动点，连接，作关于对称的图形.

（1）如图1，当点恰好与点重合，求的长；

（2）如图2，是边的中点，当为等腰三角形时，求的长；

（3）如图3，是边的中点，连接，是的中点，连接，在点的运动过程中，求线段长度的最大值.

【答案】（1）解：由题意可得，

∵，

∴，

∵，

∴.

（2）解：∵与关于对称，

∴求为等腰三角形时的长，即求为等腰三角形时的长，

∵是边的中点，

∴.

①当时，

；

②当时，

如图，作交于M，

∵，，

∴是的垂直平分线，

∵，，

∴，

∴；

③当时，

如图，作交于N，

∵，，

∴是的垂直平分线，

∴，

∵，

∴；

∴的长为5或8或.

（3）解：如图，连接，过点C作于H，取的中点O，连接，过点O作于G，

∵，，

∴，，

∵是边的中点，

∴，

∴，

∵点F是的中点，点O是的中点，

∴，

∴点F在以点O为圆心，为半径的圆上运动，

∴当点F在的延长线上时，有最大值，

∵，点O是的中点，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，由勾股定理可得：，

∴的最大值为.

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）由题意可得AE=CE，∠AED=90°，然后根据∠A的正切函数的概念可得DE的值；

（2）由题意可得求△A′DE为等腰三角形时AD的长，即求△ADE为等腰三角形时AD的长，根据中点的概念可得AE=5，①当AE=AD时，根据AE的值可得AD的值；②当AE=ED时，作EM⊥AD交AD于M，则EM为AD的垂直平分线，根据∠A正切函数的概念可得AM的值，进而可得AD；③当AD=ED时，作DN⊥AE交AE于N，同理可得AD的值；

（3）连接BE，过点C作CH⊥AB于H，取BE的中点O，连接OF、OH，过点O作OG⊥CH于G，根据三角函数的概念可得AH、HC，易得OF为△A′BE的中位线，则OF=A′E，由题意可得当点F在CO的延长线上时，CF有最大值，证明△ACH∽△OHG，利用相似三角形的性质可得HG、GO，然后求出CG，利用勾股定理可得CO，据此解答.

18．（2022九上·义乌月考）【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.

（1）判断△AFG的形状并说明理由.

（2）求证：BF=2OG.

（3）【迁移应用】

记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值.

（4）【拓展延伸】

若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值.

【答案】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形.

理由：∵AE平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵DF⊥AE，

∴∠AHF=∠AHG=90°，

∵AH=AH，

∴△AHF≌△AHG（ASA），

∴AF=AG，

∴△AFG是等腰三角形.

（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG.

∵AF=AG，

∴∠AFG=∠AGF，

∵∠AGF=∠OGL，

∴∠OGL=∠OLG，

∴OG=OL，

∵OL∥AB，

∴△DLO∽△DFB，

∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BD=2OD，

∴BF=2OL，

∴BF=2OG.

（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，

∵∠DAK=∠CAD，

∴△ADK∽△ACD，

∴，

∵S1=OGDK，S2=BFAD，

又∵BF=2OG，，

∴，设CD=2x，AC=3x，则AD=，

∴.

（4）解：或

【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】（4）解：设OG=a，AG=k.

①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上.

∵AF=AG，BF=2OG，

∴AF=AG=k，BF=2a，

∴AB=k+2a，AC=2（k+a），

∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，

∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，

∴△ABE∽△DAF，

∴，

∴，

∴，

由题意：=AD（k+2a），

∴AD2=10ka，

即10ka=3k2+4ka，

∴k=2a，

∴AD=，

∴BE==，AB=4a，

∴tan∠BAE=.

②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF.

∵AF=AG，BF=2OG，

∴AF=AG=k，BF=2a，

∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），

∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，

∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，

∴△ABE∽△DAF，

∴，

∴，

∴，

由题意：=AD（k﹣2a），

∴AD2=10ka，

即10ka=3k2﹣4ka，

∴k=，

∴AD=，

∴，AB=，

∴tan∠BAE=，

综上所述，tan∠BAE的值为或.

【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形，利用ASA判断出△AHF≌△AHG，利用全等三角形的性质证明即可；

（2）如图2，过O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG，先证明OG＝OL，再证△DLO∽△DFB，根据相似三角形对应边成比例得，结合矩形的性质证BF＝2OL即可解决问题；

（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，首先证△ADK∽△ACD，利用相似三角形的性质解决问题即可；

（4）设OG＝a，AG＝k，分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上，②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF，分别求解即可解决问题．

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2023-2024学年初中数学九年级上册25.1锐角三角比的意义同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023九上·兴化期末）在中，，，则的值为（）

A．B．C．D．2

2．（2023九上·徐州期末）如图，在中，，，，则的正弦值为()

A．B．C．D．

3．（2023九上·新邵期末）如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为h，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为()

A．B．C．D．

4．（2023九上·西安期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）

A．B．C．D．

5．（2023九上·平桂期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinB的值为（）

A．B．C．D．

6．（2023九上·义乌期末）如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

7．（2022九上·渠县期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（）

①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.

A．4个B．3个C．2个D．1个

8．（2022九上·新昌期中）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（）

A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③

二、填空题

9．（2023九上·长兴期末）在中，，则的值为.

10．（2023九上·嵊州期末）如图，在由相同的菱形组成的网格中，，小菱形的顶点称为格点，已知点A，B，C，D，E都在格点上，连接，，的值为.

11．（2023九上·永嘉期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为.

12．（2023九上·嵊州期末）如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为.

13．（2022九上·桐乡市期中）如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为cm2

三、解答题

14．（2022九上·潞城月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，CD=4，AB=5，求AD的长和tanB的值.

15．（2022九上·杨浦期中）如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点D、E．求线段的长．

四、作图题

16．（2023九上·怀宁期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．

⑴请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；

⑵以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正切值为▲．

五、综合题

17．（2022九上·成都月考）在中，，，点，分别是，边上的动点，连接，作关于对称的图形.

（1）如图1，当点恰好与点重合，求的长；

（2）如图2，是边的中点，当为等腰三角形时，求的长；

（3）如图3，是边的中点，连接，是的中点，连接，在点的运动过程中，求线段长度的最大值.

18．（2022九上·义乌月考）【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.

（1）判断△AFG的形状并说明理由.

（2）求证：BF=2OG.

（3）【迁移应用】

记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值.

（4）【拓展延伸】

若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值.

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图：

，

，

设，则，

，

.

故答案为：A.

【分析】根据三角函数的概念可设AC=x，则BC=2x，由勾股定理可得AB=x，然后根据三角函数的概念进行解答.

2．【答案】C

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：在中，，，，

故答案为：C.

【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

3．【答案】A

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：，，

，

在中，，

，

故答案为：A.

【分析】由同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，由余弦函数的定义，由即可得出答案.

4．【答案】A

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图，根据网格可知：，

在直角中，.

故答案为：A.

【分析】取点D，使∠ADC=90°，然后在Rt△ADC中，根据三角函数的概念进行解答.

5．【答案】D

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图，根据勾股定理得，

AB===13，

∴sinB==.

故答案为：D.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

6．【答案】D

【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：①∵，E为的中点，

∴，

∵将沿翻折得到，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故①正确；

②∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故②正确；

③过点E作于点M，如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

设，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

解得，，

∴，

∴，

故③正确；

④，

故④正确；

综上共有4个正确.

故答案为：D.

【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等边对等角及三角形外角性质得∠AED=∠EBF，从而根据同位角相等，两直线平行得BF∥ED，从而即可判断①；根据等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根据等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得BH=3FH，据此可判断②；过点E作EM⊥BF于点M，根据等腰三角形的三线合一得，根据等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFM∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM，再判断出△BHF∽△DFE，根据相似三角形对应边成比例可求出FH、BH，接着判断出△GFH∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出HG的长，最后根据正切三角函数的定义可求出tan∠GEB的值，据此可判断③；直接利用三角形面积计算公式算出△BFG的面积，可判断④.

7．【答案】B

【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，

∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，

∴∠EBD=∠EDP，

∵∠DEP=∠DEB，

∴△BDE∽△DPE；故①正确；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，

∴，故②错误；

∵∠PDH=∠PCD=30°，

∵∠DPH=∠DPC，

∴△DPH∽△CDP，

∴，

∴PD2=PHCD，

∵PB=CD，

∴PD2=PHPB，故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°

∴CM=PN=PBsin60°=4×，PM=PCsin30°=2，

∵DE∥PM，

∴∠EDP=∠DPM，

∴∠DBE=∠DPM，

∴tan∠DBE=tan∠DPM=，故④正确；

故答案为：B.

【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF=30°，于是得到∠CPD＝∠CDP＝75°，证得∠EDP＝∠PBD＝15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确．

②由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到，

故②错误；

③由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，结合PB＝CP，等量代换得到PD2＝PHPB，故③正确；

④过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，求得∠PCD＝30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PBsin60°=4×，PM＝PCsin30°＝2，由平行线的性质得到∠EDP＝∠DPM，等量代换得到∠DBE＝∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=故④正确．

8．【答案】A

【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，

∵AP=CQ，

∴CP=BQ，

∵PC=2AP，

∴BQ=2CQ，

如图，过P作PD∥BC交AQ于D，

∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，

∴，，

∴CQ=3PD，

∴BQ=6PD，

∴BO=6OP；故①正确；

过B作BE⊥AC于E，

则CE=AC=4，

∵∠C=60°，

∴BE=4，

∴PE==1，

∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；

在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

在△ABP与△CAQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，

∵∠APO=∠BPA，

∴△APO∽△BPA，

∴，

∴AP2=OPPB，

∴AP2=OPAQ.故③正确；

以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，

∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，

∵∠PBA=∠QAC，

∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA

=60°+∠BAQ+60°+∠QAC

=120°+∠BAC

=180°，

∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，

设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，

∵NA=NB，CA=CB，

∴CN垂直平分AB，

∴∠MAD=∠ACM=30°，

∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，

在Rt△MAC中，AC=3，

∴MA=ACtan∠ACM=，CM=2AM=2，

∴MO′=MA=，

即CO的最小值为，故④正确.

综上：正确的有①③④.

故答案为：A.

【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，由已知条件可知AP=CQ，则CP=BQ，结合PC=2AP可得BQ=2CQ，过P作PD∥BC交AQ于D，易证△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，根据相似三角形的性质可得CQ=3PD，则BQ=6PD，据此判断①；过B作BE⊥AC于E，则CE=AC=4，利用勾股定理可得PE，进而判断②；利用SAS证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，证明△APO∽△BPA，利用相似三角形的性质可判断③；以AB为边作等边△NAB，连接CN，则∠NAO+∠NBO=180°，故点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边△NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根据三角函数的概念可得MA、CM，据此判断④.

9．【答案】

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：

，

，

，

，

故答案为：.

【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.

10．【答案】

【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：连接，如图所示：

设菱形网格的边长为a，则，

∵此图为相同的菱形组成的网格，

∴四边形为菱形，在上，

∴，，

∵，，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

根据勾股定理得：，

∴.

故答案为：.

【分析】连接AC，设菱形网格的边长为a，则AB=BC=3a，AC⊥BD，AO=AC，易得△ABC、△AEF为等边三角形，则AC=3a，AO=AC=a，AE=AF=a，EO=a，由勾股定理可得BO，然后根据三角函数的概念进行解答.

11．【答案】5

【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质

【解析】【解答】解：如图，连接AC、AQ，

∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，

∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，

∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，

∴∠ACB=∠PCO，

∴△BCP∽△ACQ，

∴

∵BP＝，

∴AQ＝2，

∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，

在AD上取AE＝1，

∵，，∠QAE＝∠DAQ，

∴△QAE∽△DAQ，

∴即EQ＝QD，

∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，

连接CE，

∴，

∴DQ+CQ的最小值为5.

故答案为：5.

【分析】连接AC、AQ，根据正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，进而根据等角的同名三角函数值相等得∠ACB=∠PCO，则可判断出△BCP∽△ACQ，根据相似三角形的性质可求出AQ=2，故Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，再根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝QD，所以DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案.

12．【答案】或

【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，

∴，，

∴，

∴，

①当在线段上时，

设，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴，

设中，边上的高为，则，

∴

∵，

即当时，

∴

解得：（负值舍去）

∴；

②当在的延长线上时，如图

设，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴

∵的面积为，

∴四边形的面积为，

即

即

解得：或（，不合题意舍去）

∴，

故答案为：或.

【分析】根据矩形的性质可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根据三角函数的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①当E在线段AB上时，设AE=nBE，则，证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质可得AF，然后表示出AE，设△AFC中，AE边上的高为h，然后根据三角形的面积公式可得S△AFC，求出S△ABC，结合题意可得S△AFC=S△ABC，据此可求出n的值，进而可得AE；②当E在AB的延长线上时，同理求解即可.

13．【答案】

【知识点】轴对称的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的轴对称图形△CAG，

由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合

∴△ACG≌△BDF，

∴∠ACG=∠BDF=60°，

∵∠ECB=60°，

∴G、C、E三点共线，

∵AM⊥CG，ON⊥CE，

∴AM∥ON，

∴，

在Rt△ONC中，∠OCN=60°，

∴ON=sin∠OCNOC=OC，

∵OC=OA-AC=6-12÷3=2，

∴ON=，

同理：AM=，

∵ON⊥GE，

∴NE=GN=GE，

连接OE，

在Rt△ONE中，NE=，

∴GE=2NE=，

∴S△AGE=GEAM=，

∴图中两个阴影部分的面积和为.

故答案为：.

【分析】如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，判断出G、C、E三点共线，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，可得AM∥ON，根据平行线分线段成比例定理得，由ON=sin∠OCNOC求出ON，同理求出AM，根据垂径定理得NE=GN=GE，连接OE，利用勾股定理算出NE，从而即可得出GE，进而根据三角形面积计算公式即可得出答案.

14．【答案】解：

∵，

∴

∵，，

∴

根据勾股定理可得

∴

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】根据，，求出AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再利用正切的定义可得。

15．【答案】解：过A作，垂足为点H．

在中，∵，，

∴，．

在中，∵，∴．

∴．

∵垂直平分，∴，．

在中，∵，∴．

∴．

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出AH和BH的长，再根据锐角三角函数定义求出CH的长，从而求出BC的长，再求出BE的长，利用CE=BC-BE，即可得出CE的长.

16．【答案】解：⑴如图，△A1B1C1为所求；

⑵如图，△A2B2C2为所求；

【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：（2）如图，tan∠A2C2B2，

即∠A2C2B2的正切值为；

故答案为．

【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；

（2）根据位似图形的性质作图，再利用正切的定义求解即可。

17．【答案】（1）解：由题意可得，

∵，

∴，

∵，

∴.

（2）解：∵与关于对称，

∴求为等腰三角形时的长，即求为等腰三角形时的长，

∵是边的中点，

∴.

①当时，

；

②当时，

如图，作交于M，

∵，，

∴是的垂直平分线，

∵，，

∴，

∴；

③当时，

如图，作交于N，

∵，，

∴是的垂直平分线，

∴，

∵，

∴；