《概率论与数理统计》期末试题4

广州工程仿真科技有限公司工程仿真网广州工程仿真科技有限公司工程仿真网概率论与数理统计》期末试题(4)与解答一、填空题(每小题3分，共15分)设P(A)二0.5,P(B)=0.6,P(BIA)二0.8，则A,B至少发生一个的概率TOC\o"1-5"\h\z为.设X服从泊松分布，若EX2=6，则P(X>1)=.设随机变量x的概率密度函数为f(x)=<4(x+°0<x<2,今对0,其他.x进行8次独立观测，以y表示观测值大于1的观测次数，则DY=.元件的寿命服从参数为丄的指数分布，由5个这种元件串联而100组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(2)，今随机地测量16个零件，得国X=8，艺X2=34.在置信度0.95下,iiTOC\o"1-5"\h\zi=1i=1卩的置信区间为.(t(15)=1.7531,t(15)=2.1315)0.050.025_解：(1)0.8=P(BIA)=P(BA=P(B)—P(AB)得P(AB)=0.21-P(A)0.5P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1.1-0.2=0.9•(2)X〜P(X),6=EX2=DX+(EX)2二九+九2故九二2•P(X>1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e-2-2e-2=1-3e-2•3)Y〜B(8,p)，其中p=P(X>1)=J2i(3)Y〜B(8,p)，14815系统⑷设第i件元件的寿命为〜，则X〜啕),i=1，2,3,4,5-的寿命为Y，所求概率为系统P(Y>100)=P(X>100,X>100,…，X>100)125=[P(X>100)]5=[1-1+e-1]5=e-5.S<n(5)卩的置信度1-dS<n(X-1(n-1)2,X+1(n-1)a/2Jna/2

X=0.5,S2=丄[兰X2-16X2]=2,S=1.4142,n=1615ii=1t(15)=2.1315.所以卩的置信区间为(-0.2535,1.2535).二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入()中，每小题3分，共15分)A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是(A-B)UB=AUB.(AUB)-A=B.(aUB)-AB=ABUAB-(D)(AUB)C=(A-C)U(B-C).()设X,X是随机变量，其分布函数分别为F(x),F(x)，为使F(x)=aF(x)+bF(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值12中应取A)C)aA)C)a=-1,b=322B)D)=2—23313a=b=-•22F(5y-3)•X)F(耳^)F(5y-3)•X)F(耳^)•X54)设随机变量X,X12114则X,X的相关系数为p121•(C)1•42的概率分布为X-1

―iP-4i=1,且满足P(XX=0)=1，12B(A)0.X1X2(3)设随机变量x的分布函数为F(x)，则Y=3-5X的分布函数为F(y)=B)5F(y)-B)5F(y)-3XD)(5)设随机变量X〜U[0,6],Y~B(12,1)且X,Y相互独立，根据切4比广州工程仿真科技有限公司工程仿真网广州工程仿真科技有限公司工程仿真网雪夫不等式有P(X-3<Y<X+3)(A)<0.25.(B)<—.(C)>0.75.(D)>—1212解：(1)(A):成立，(B):(AB)—A二B—A丰BF(+8)二1二a+b-选(C)F(y)二P(Y<y)二P(3—5X<y)二P(X>(3—y)/5)Y()应选(B)应应选(D)3—y3—y二1—P(―y>X)二1—F(—)5X、5EX二0,EX二0,

于是p彳二°,EXX二0，12所以cov(X,X)二0，12选(A)X1X(5)P(X—3<Y<X+3)=P(lY—X1<3)921E(Y—X)二EY—EX二0D(Y—X)二DY+DX二3+二44由切比雪夫不等式21P(lY—X1<3)>1-4二—912应选(D)三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为九的泊松分布,而进入超市的每一个人购买A种商品的概率为p，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。广州工程仿真科技有限公司工程仿真网广州工程仿真科技有限公司工程仿真网(X,Y)的概率密度为广州工程仿真科技有限公司工程仿真网广州工程仿真科技有限公司工程仿真网xx解：设B=‘一天中恰有k个顾客购买A种商品'k二0,1,C二‘一天中有n个顾客进入超市'n二k,k+1,…n贝UP(B)=艺P(CB)=艺P(C)P(BIC)nnnn=k=艺e-XCkpk(1—p)n-kn!nn—k=业e—正九n—k(1—p)n—kk!(n—k)!n—k—^-P)^e-^Pk—0,1,•…k!四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)x服从正态分布，平均成绩(即参数卩之值)为72分，96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考生的成绩，以y表示成绩在60分至84分之间的人数，求(1)y的分布列.(2)EY和DY.(①(2)—0.977,①(1)—0.8413)(1)Y〜B(100,p)，其中p—P(60<X<84)—①(84—72)—①(60—72)—2①(塁)—196—72240.023—P(X>96)—1—①()—1—①(——)QQ①(24)—0.977，即24—2，故竺—1QQQ所以p—2①(1)—1—0.6826.故Y的分布列为P(Y—k)—Ck(0.6826)k(0.3174)100-k100(2)EY—100X0.6826—68.26，DY—68.26x0.3174—21.6657•五、(10分)设(X,Y)在由直线x-1,x-e2,y-0及曲线y-1所围成的区x域上服从均匀分布，求边缘密度/(x)和f(y)，并说明X与Y是否独立.求P(X+Y>2).e21dxe21dx—Inx|e2—21x12(e2-1),1<y<e—21—1e—2<y<12y20,其它其它=<1-,(x,y)eD,f(x,y)彳2，0,其它.(l)/(x)=f(x,y)dy=P°x2dy,11-,(x,y)eD,f(x,y)彳2，0,其它.(l)/(x)=f(x,y)dy=P°x2dy,1<x<e2'0,—g其它.12x0,其它.1<x<e2,Y(y)=j+gf(x,y)dxn—gJe21dx,12Jydx,121<y<e—2,e—2<y<1,0,XYP(X+Y>2)二1—P(X+Y<2)二1—JJf(x,y)dxdyx+y<21113.=1——x—=1—==0.75•2244六、(8分)二维随机变量(X,Y)在以(-1,0),(0,1),(10)为顶点的三角形区(X,Y)的概率密度为yte)Df(x,片(X,Y)的概率密度为yte)Df(x,片0解］「1x+y二zi广州工程仿真科技有限公司工程仿真网广州工程仿真科技有限公司工程仿真网设Z的概率密度为f(z)，Zf(z)设Z的概率密度为f(z)，Zf(z)=j+8f(z-y,y)dyZ-8解2：分布函数法，设Z的分布函数为F(z)，则2ZF(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=Uf(x,y)dxdyZ0,z<—10,Udxdy,—1<z<1=<(z+1)24D11,1,z>1z<-1,—1<z<1,z>1.故Z的密度为z+1ZZ20,Izl<1,其它.七、(9分)已知分子运动的速度X具有概率密度I4X2—(x)2f(X)J乔ea'X>0,a>0,x,x,,x为X的简单随'12n[0,x<0.机样本(1)求未知参数u的矩估计和极大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为u的无偏估计。解：(1)先求矩估计

二EXe-(:0a3\；‘兀e-(ax)2+8+亠二EXe-(:0a3\；‘兀e-(ax)2+8+亠a、：兀+8xe-(a尸dx02a2再求极大似然估计L(X，…,X；a)=Tf1ni=14x2e-n-丄另x2=a-3n兀-24n(x…x)2-ea2,=ji1nn1pInL=-3nIna+In(兀［4")+ln(x…x)2—Xx21na2ii=1alnL3n2n=—+工x2□0daaa3ii=1得a的极大似然估计<02"x2，3n2）对矩估计所以矩估计a所以矩估计a=2八、（5分）一工人负责n台同样机床的维修，这n台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为a（米）。假设每台机床发生故障的概率均为-，且相互独立，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的n机床所走的路程，求EZ.解：设从左到右的顺序将机