第一章函数及其图形

§1－1集合，符号一、1.

我们用符号“"”表示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的”,符号“"”称为全称量词.2.我们用符号“$”表示“存符号“$”称在”.为存在量词.例：命题“对任意的实数x,都存在实数y,使得x+y=1”可表示为“"x˛

R,$y˛

R,使x+y=1”3.

我们用符号“

”表示“充分条件”或“推出”这一意思.比如,若用p,q分别表示两个命题或陈述句.则“p

q”表示“若p成立,则q也成立”.即p是q成立的充分条件.比如“p

q”表示“p成立当且仅当q成立”或者说p成立的充要条件是q成立.4.

我们用符号“

”表示“当且仅当”或“充要条件”这一意思.x0-dx0

x0+dx集合的概念(略)区间(略)邻域"x0˛

R,d

>0.(1)记U(x0,d

)=(x0

-d,x0+d

)={x˛

R||x-x0|<d

}称为x0的d

邻域.其中x0称为这个邻域的中心,

d

称为这个邻域的半径.

如图d二、集合的概念及运算这就是从U(x0,d

).中去掉中心点x0所余下的部分.(3)当不必强调指出邻域和去心邻域的半径时,将邻域和去心邻域简记为U(x0

)和U(x0).(2)记U

(x0

,d)=U

(x0

,d)-{x0},称为x0的去心d邻域.x0-dx0

x0+dx4.

集合的运算及公式(略)设A,B为实数,有1.

-

|

A

|£

A

£|

A

|2.

|

A

|£

B3.

|

A

|‡

B-B

£

A

£

BA

£-B,或,A

‡B4.

|

A

–

B

|£|

A

|

+

|

B

|5. |

A

|

-

|

B

|

£|

A

-

B

|6.

|

AB

|=|

A

||

B

|,

A

=|

A

|

,其中B

„0.B

|

B

|三、绝对值不等式性质AB§1－2映射定义：设A,B是两非空集,若存在对应规则f,使"x˛

A,按照对应规则f,都有唯一确定的

y˛

B与之对应,则称f是从A到B的一个映射.记作f

:Afi

B,xfi

y.fxy称y为x在f

下的像,记作f

(x).即,y

=f

(x),称x为y在

f

下的原像,

习惯上也将映射记作y

=

f

(x).注1.映射是一种建立在两集合间的对应规则,它满足A中任一元素x都能且只能对应一个y,但不同的x可以对应同一个y,即可以出现“多对一”的情形.注2.在定义中并不要求对每一个y˛

B,都有一个x与这个y对应.即，有些y可能并不是某个x的像.定义：设f

:Afi

B,xfi

f

(x).若"x1,x2˛

A,当x1

„x2时,f

(x1)„f

(x2).则称f

是单射.定义：设f

:Afi

B,xfi

f

(x).若"y˛

B,$x˛

A,使得f

(x)=y.则称f

是满射.定义：若映射f

:Afi

B既是单射,又是满射.则称f

是一个双射也称f是一一对应.f:

Xfi

Y,

xfi

y§1－3函数一、函数的概念定义1.设实数集X,Y

均非空.若存在对应规则f,使得"x˛

X,按照f,都有唯一确定的y˛

Y,与之对应.则称f是定义在X上的一元实值函数.记作记作R(f

).

显然有R(f

)Y.称y为x在f

下的像,记作f

(x).即,y=f

(x)称x为y在f

下的原像,称X为函数f

的定义域.

记作D(f

).X在f

下的像集f

(X)={f

(x)|

"x˛

X}称为f

的值域.注1.定义1可改写为“若f

是从实数集X到实数集Y的一个映射.则称f是一个一元实值函数”.注2.在定义1中，f是函数,它是一个映射,是一个对应规则.而f

(x)则是函数值,是x在f下的像.但在习惯上,我们把f

(x)也称作x的函数.另外,习惯上,称x为自变量,y为因变量.注3.本教材中用符号“”表示子集,而不是用

“˝

”因.此,本教材中不用符号严格区分子集和真子集两概念.设函数f

(x),g(x).定义域分别为A=D(f

),B=D(g).1.

两函数相等 它们的定义域相同,并且,对应规则相同.二、函数的运算2.

设A

B

=D(f

)

D(g)„˘

.则A

B在上可定义f"x

˛

A

B

,且,g

(x

)„0f f

(

x

)(iv)(

g

)(

x

)

=

g

(

x

)和g的和,差,积,商如下.(f

+

g)(x)

=

f

(x)

+

g(x)

"

x˛

A

B(f

–

g)(x)

=

f

(x)

–

g(x)

"

x˛

A

B(iii)

(f·

g)(x)

=

f

(x)

·

g(x)

"

x˛

A

B3.

复合函数设y=f

(u).即,y是u的函数,而u是x的函数u=j(x).

一般说来,这时,y通过中间变量u而成为x的函数.x

j

fi

u

f

fi

y而函数式则可通过代入运算而得到:将u=j(x)代入到y=f(u)中.得到y=f[j(x)].称它为由f

(u)和j(x)构成的复合函数.例1.设y=f

(u)=lgu,而u=j(x)=sinx.则它们构成的复合函数为y=f

[j(x)]=lgsinx.例2.设y=f

(u)=lg(u–2),

而u=j(x)=sinx.代入后y=lg(sinx

–2).

因定义域为空集,所以它们不能构成复合函数.定义2.若y=f

(u)的定义域U.而u=j(x)的定义域为X,值域为U*.且U

U*„˘

.则y

通过中间变量u成为x的函数,称它为由f

(u)和j(x)构成的复合函数.记作y=f

[j(x)].注1：复合函数f

[j(x)]的定义域X¢包含在u=j(x)注2：本教材也把复合函数记作(f。g)(x),即(f

。g)(x)=f

[j(x)]的定义域X之中.即,X¢

X

(如例1)定义3:

设函数y=f

(x)的定义域为X,

值域为Y.

且f

是从X到Y的一一对应(即,

f

是从X到Y的单射和满射),

则"

y˛

Y.

都有唯一确定的x与之对应.因此,x是y的函数,称它为y=f

(x)的反函数.记作x=f

–1

(y).由于习惯上用x表自变量,y表因变量.所以,反函数也记为y

=f

–1

(x).三、反函数注1.y

=f

–1

(x)的定义域为Y,值域为X.注2.y

=f

–1

(x)与y

=f

(x)的图象关于y=x对称.注3.求反函数的一般步骤为(1)从y=f(x)解出x

;(2)

将x换成y,y换成x.1.

基本初等函数幂函数y

=

xa,

指数函数y

=

ax

(a>0,

a„1),对数函数y

=logax

(a>0,

a„1),三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx

=tgx,y=cotx=ctgx,

y=secx,

y=cscx,反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx=arctanx,y=arccotx

=arcctgx以及常数函数y=c(c为常数),这6种函数统称为基本初等函数.定义域,值域,性质,图象.(略)四、初等函数2.

称由基本初等函数经有限次加,减,乘,除运算和有限次复合运算而构成的函数为初等函数.如y

=

ln

cos

x

2

,

y

=

sin

2

(

x

+1)都是初等函数.但也有很多不是初等函数的函数.x例3.符号函数

1

-1

x

<

0x

=

0x

>

0y

=

sgn

x

=

0y10•–1其图象为符号函数是一个分段函数,它不是初等函数,|

f

(

x

)

|=

f

(

x

) sgn

f

(

x

)=

0x

„

0x

=

0x

|

x

|且有例4.取整函数y

=[x],如,若取x=1,2,则[x]=1;其图象为取整函数也不是初等函数.其中[x]表示不超过x的最大整数.若取x=–1,2,则[x]=–2;若取x

=2,则[x]=2;y321y=[x]x12340-4

-3

-2 -1-1-2-3例5.狄利克莱函数

当x为有理数.

0,

当x为无理数.y

=

D(x)

=

1,狄利克莱函数的图象无法准确画出来.D(x)不是初等函数.(2)1y

=

a

x

,例6.将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1)

y

=

cos2x,

是由y

=

u2,

u=

cosx复合而成.复合而成.1x是由y

=

au

,

u

=

e

1

x(3)

y

=

arctge–x,

是由y=arctgu,

u

=

复合而成.(4)

y

=

lncosx2

,

y

=u,

而u

=

lncosx2

,

再分解.u

=lnv,

而v

=cos

x2.再分解.v

=cosw,

而w

=x2.所以,y

=u,

u

=

ln

v,ln

cos

x2

,是由y

=v

=cos

w,

w

=x2复合而成.xyof(x)单调递增yoxf(x)单调递减1.

单调性.设f

(x)在(a,b)有定义.若"x1,x2˛(a,b).x1<x2,有f

(x1)£f

(x2)(f

(x1)‡f

(x2)),则称f(x)在(a,b)上单调递增(单调递减).区间(a,b)称为f(x)的单调区间.单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.五、函数的基本特性如,

y

=

x2,

图y=x20xy在(-¥

,0]上单调递减,而在[0,+¥)上单调递增.奇偶性.设f

(x)的定义域为D(f

).满足"x˛

D(f

).有–x˛

D(f

).

若"x˛

D(f).有f(–x)=f(x).则称f(x)为偶函数.其图形关于y

轴对称.

若"x˛

D(f).有f(–x)=–f(x).则称f(x)为奇函数.其图形关于原点对称.易见,常函数y=c是偶函数.狄利克莱函数D(x)也是偶函数.因为若x为有理数,

则–x也是有理数,

从而若x为无理数,

则–x也是无理数,

从而综合起来,总有D(x)=D(–x).因此,D(x)是一个偶函数.D(x)=

D(–

x)=1D(x)=

D(–

x)=03.

周期性.设f

(x)的定义域为D(f

).若存在常数T„0,使"

x˛

D(f

).

有x–T˛

D(f

).

且

f(x–T)=f

(x).则称f

(x)为周期函数.T为f

(x)的周期.由于周期函数的函数值是呈周期变化.因此,周期函数的图形也是呈周期性变化.会周而复始的重复出现.如y=sinx,y=cosx.画周期函数图形可以先在一周期内画好,然后向数轴两端平移.易见,若T为f(x)的周期,则nT均为f(x)的周期,n=1,2,…,通常称最小正周期为f

(x)的周期.如y=sinx,2np都是sinx的周期,其中n=1,2,…,它的最小正周期为2p.又如,

y

=

sin

2

x

=

1

-

cos

2x

是周期函数,2它的周期为np,

n=1,2,…最小正周期为p.有些周期函数没有最小正周期.如常数函数y=f(x)=c(常数),是一个周期函数.任何一个大于0的常数T都是它的一个周期.这是因为

f

(x)=

c=

f

(x+T)在这无穷多个大于0的周期T中,找不到一个最小的正周期T.又如,狄利克莱函数D(x)也是周期函数.任何一个大于0的有理数T都是D(x)的周期.因为(i)若x为有理数,则x+T也是有理数.从而

D(x)

=

1

=

D(x+T

)(ii)若x为无理数,则x+T也是无理数.从而

D(x)

=

0

=

D(x+T

)所以,

总有D(x)

=

D(x+T

).

即T是D(x)的周期.但是在这无穷多个大于0的有理数T中,找不到一个最小的T.几何意义：由于|

f

(x)|£M

-M£

f

(x)£M.因此,f(x)在(a,b)内有界.就表示了

f

(x)的图形夹在两平行直线

y

=–M

之间.xo

ab-MyM4.

有界性定义4.设f(x)在(a,b)有定义,若存在常数M>0,使

"x˛(a,b),有|

f(x)|£M.则称f

(x)在(a,b)内有界.否则,称f(x)在(a,b)内无界.若$M

,使"x˛(a,b),1有f

(x)£

M1,则称f

(x)在(a,b)内有上界.M1称为它的一个上界,看图.若$M2,使"x˛(a,b),有M2

£

f(x),则称f(x)在(a,b)内有下界.M2称为它的一个下界,看图.xyo

abM2xoabyM1f

(x)在(a,

b)有界