专题05指数函数与对数函数（教师版）

专题05指数函数与对数函数（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布指数函数与对数函数近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（文科），第16题,5分对数型函数奇偶性求参2022年全国乙（理科），第16题,5分指数型函数根据极值求参2022年全国甲（文科），第12题,5分指数、对数型函数比大小不等式2022年全国甲（理科），第5题,5分指数型函数图象三角函数2022年全国甲（理科），第6题,5分对数型函数导函数2023年全国甲（文科），第8题,5分指数型函数求切线2023年全国乙（文科），第5题,5分指数型函数奇偶性奇偶性2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考必考点，考查指数、对数型函数的性质、图象等；2.和幂函数一起考查比较大小。【备考策略】1.了解有理数指数幂的含义，能根据实数指数幂的运算性质进行计算；2.会画指数函数的图象，知道图象与函数之间的对应关系；3.掌握指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；4.会进行对数的运算；会画对数函数的图象，理解对数函数和图象之间的对应.5.了解指数函数与对数函数互为反函数；6.掌握对数函数的性质与应用。【命题预测】1.利用指数、对数型函数的性质比较大小；2.函数解析式中含有指数、对数型函数，求切线、求极值、求参数；3.根据指数、对数型函数的性质找出正确的函数图象。知识讲解一、根式1.根式的概念若xn=a,则x叫作a的n次方根,其中n>1且n∈N*.na叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数2.a的n次方根的表示xn=a⇒x二、有理数指数幂1.幂的有关概念(1)正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,n∈N*,(2)负分数指数幂:a-mn=1nam(a>0,m,n∈N(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

2.实数指数幂的性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).

三、指数函数的图象与性质函数y=ax(a>0,且a≠1)a>10<a<1图象图象特征在x轴上方,过定点(0,1)

当x逐渐增大时,图象逐渐上升当x逐渐增大时,图象逐渐下降性质定义域R值域(0,+∞)

单调性单调递增

单调递减

函数值变化规律当x=0时,y=1

当x<0时,0<y<1;

当x>0时,y>1

当x<0时,y>1;

当x>0时,0<y<1

1.指数函数图象的画法画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个特殊的点:(1,a),(0,1),-1,12.指数函数的图象与底数大小的比较指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象离x轴越远,底数越大.3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意分a>1与0<a<1来研究.1.指数幂的运算先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.应用指数函数图象的3个技巧:(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a)，(0,1)，.(2)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到的.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.比较指数式大小的方法:(1)当底数相同,指数不同时,构造指数函数比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,构造幂函数比较大小.(3)当底数不同,指数也不同时,常借助1,0等中间量进行比较.1.解指数方程或不等式的依据:①af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).2.解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解.在研究指数型函数的单调性时,一要考虑复合函数的单调性:同增异减;二要注意当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数的相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,一般要借助“同增异减”这一性质分析判断.四、对数概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式结论对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=logaN

loga1=0,logaa=1,alogaN=运算性质loga(M·N)=logaM+logaN

a>0,且a≠1,M>0,N>0logaMN=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)

换底公式logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>0;c>换底公式的三个重要结论(1)logab=1lo(2)logambn=nmlog(3)logab·logbc·logcd=logad.五、对数函数的图象与性质函数y=logax(a>0,且a≠1)a>10<a<1图象图象特征在y轴右侧,过定点(1,0)

当x逐渐增大时,图象是上升的

当x逐渐增大时,图象是下降的

性质定义域(0,+∞)值域R单调性在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

函数值变化规律当x=1时,y=0

当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0

当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0

对数函数图象的特点(1)对数函数y=logax的图象恒过点(1,0),(a,1),1a,-1,(2)函数y=logax与y=log1ax(a>0,且a≠1)的图象关于x(3)对数函数的图象与底数大小的比较.如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.六、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想;(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较解对数不等式的类型及方法:①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论;②形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解.已知f(x)=loga[g(x)]在区间[m,n]上是单调递增函数,对于这类问题,应从两个方面考虑:一是根据a与1的大小关系确定g(x)在[m,n]上的单调性;二是g(x)>0在x∈[m,n]时恒成立,此时只需g(x)min>0即可.利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.考点一、指数幂运算1．(2023年杭州模拟)化简的结果是（

）.A． B．C． D．【答案】B【详解】2．（2023年浙江省模拟）已知函数，则________，________.【答案】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以，所以.1．(1)计算:

.【答案】【详解】原式.(2)若,则.

【答案】【详解】由,两边平方得,再平方得,∴.又∵,∴.2．化简求值:(1)；(2)（，）.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.【详解】（1）.（2）3．（2023年浙江省模拟）设函数，若，则__________.【答案】【分析】分段求解方程和指数方程，则问题得解.【详解】当时，，，当时，，(舍)．．考点二、指数函数的性质及应用1．（2023年陕西省部分名校模拟）已知函数,若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案.【详解】作出的图象，如图所示：由，可得，则，令，则，故．2．（2023年朔州市名校模拟）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先，对勾函数和都是递增函数，当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.【详解】当时，函数单调递增，所以当时，是单调递增函数，所以，所以当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以，解之得：，综上所述：实数a的取值范围是3．（2023年高考全国甲卷（文科）真题）已知函数．记，则（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.1．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．【详解】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.2．若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】根据已知条件得出不等式组，求解即可得出答案.【详解】要使函数为R上的增函数，应有，解得.3．已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的单调性可得，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.【详解】因为函数在R上单调递减，，所以，因为函数在R为增函数，所以，又在上单调递增，所以，综上，.考点三、对数的运算1．(1)(2020年全国Ⅰ卷)设,则（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得,所以,所以.(2)计算:.

【答案】2【详解】原式.(3)计算:.

【答案】6【详解】.2．(2022年浙江卷)已知,,则（

）.A．25 B．5 C． D．【答案】C【详解】因为,,即,所以.3．（2023年浙江省模拟）已知函数，则_______，_________.【答案】//【分析】利用函数的解析式可求得的值，计算出的范围，根据函数的解析式可求得的值.【详解】因为，则；因为，所以，，所以，.1．计算：（1）；（2）.（3）.【答案】（1）0；（2）；（3）2【分析】（1）（2）（3）根据指数幂和对数的运算法则直接计算；【详解】（1）原式；（2）＝＝＝＝（3）=22．（2023年北京高考数学真题）已知函数，则____________．【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.3．已知函数．则______；若，则实数m的值为______．【答案】或【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，对参数的取值范围进行分类讨论，结合函数解析式和函数值，即可求得结果.【详解】因为，所以，当时，，解得，满足题意；当时，，解得，满足题意；综上：的值为或.考点四、指数、对数函数的图象1．(2023年宁波适应性考试)若,则函数的图象大致是（

）.ABCD【答案】C【详解】∵,且,∴指数函数为减函数,∴,∴对数函数上为减函数.在该函数图象的基础上向右平移1个单位长度得到函数的图象,因此,C选项中的图象为函数的图象.2．（2022年全国高考甲卷（理）高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.3．(2023年山东二模)已知函数的图象如图所示,则a,b满足的关系是（

）.A．B．C．D．【答案】A【详解】由函数图象可知,为增函数,故.函数图象与轴的交点坐标为,由函数图象可知,解得.综上,.1．(2023年山东滕州模拟)函数的图象大致为（

）.ABCD【答案】A【详解】由函数的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于轴对称.设,先画出当时的图象,然后根据的图象关于轴对称画出当时的图象,最后由函数的图象向上整体平移1个单位长度即得的图象,结合图象知选A.2．（2023年新高考天津数学高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；3．已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，且当时，，可得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.考点五、对数函数的性质及应用1．（2023年陕西省模拟）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用解绝对值不等式和对数函数的性质可得集合，根据集合的交集运算即得答案.【详解】由题意可得集合，，故.2．(2023年四川绵阳三模)已知,,,则,,的大小关系为（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】因为,所以,.又因为为增函数,,所以.3．（2023年浙江省模拟）函数的单调递增区间为（

）A． B．C．和 D．和【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，在分析内、外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断即可.【详解】对于函数，令，解得且，所以函数的定义域为，又函数，所以在，上单调递增，在，上单调递减，又函数在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，可知的单调递增区间为和.1．设函数是定义在上的偶函数,当时,,则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【答案】D【详解】当时,由,得.又因为函数为偶函数,所以不等式的解集为.2．已知,,,则（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】又∵,∴.3．设函数在上是增函数,则的取值范围是（

）.【答案】【详解】令,由上是减函数可得在上是减函数,且在上恒成立又,∴，解得.考点六、指数、对数函数的综合应用1．若函数有最小值,则实数的取值范围是.

【答案】(1,2)【详解】令,则有最小值,欲使函数有最小值,则有，解得1<a<2,即实数a的取值范围为(1,2).2．（2023重庆市名校模拟）已知正数、满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合对数恒等式对题给式子进行变形，进而构造函数，根据函数的单调性解最值.【详解】正数、满足，所以，即，因为，所以，利用对数恒等式有，令，，因为恒成立.所以函数在上单调递增，所以，即，则，构造函数，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故当时，有最小值即，所以的最小值为.3．（2023昆明市名校模拟）已知函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.【详解】，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，因为，所以，故，因为所以，即.1．设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证.【详解】画出函数图象，如图，

因为，且，.所以.且即.对A，因为，所以，故A成立；对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B成立；

对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，,因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不成立；对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则.因为函数在上单调递减，所以，故D成立.2．甲、乙两人解关于x的方程,甲写错了常数b,得到的根为,乙写错了常数c,得到的根为,则原方程的根为().A． B．C． D．【答案】D【详解】令,则方程可化为,即,甲写错了常数,所以是方程的两根,所以,乙写错了常数,所以是方程的两根,所以,则可得原方程可化为,解得,所以原方程的根为.3．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】观察的形式构造函数，判断函数的单调性来比较大小.【详解】，，.构造函数，则,当时，,函数递增;当时，,函数递减；因为,所以考点七、情景设置1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即，所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；2．（2023湖南省名校模拟）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（

）A．17天B．19天 C．23天 D．25天【答案】C【分析】根据题意得，根据对数的运算性质即可求解.【详解】经过x天后，“进步”与“落后”的比，所以，两边取以为底的对数得，又，，所以，解得，所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍.3．（2020年新课标Ⅲ（理科）高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I(时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.1．苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成，则，这样我们可以知道N的位数.已知正整数是35位数，则M的值为（）N23451112131415A．3B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根据给定条件，列出不等式，再取常用对数即可判断作答.【详解】因为，则，所以，两边取常用对数得，于是，即，所以.2．（2023年重庆市部分名校模拟）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（

）（参考数据：取）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】设石片第次“打水漂”时的速率为，则，由于，可得，再结合对数公式，即可求解．【详解】设石片第次“打水漂”时的速率为，则，，，则，即，解得，故至少需要“打水漂”的次数为10．3．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论的取值，计算的值域.【详解】当时,，∴，当时,，∴，∴函数的值域为.【基础过关】1．（2023年安徽省部分名校模拟）集合，集合，全集，则为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数的性质以及根式的性质可化简集合，即可由集合的交并补运算求解.【详解】对于集合A,由于或，所以,，,故.2．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（

）A．倍B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【分析】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为，由题意可推得，根据对数的运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案.【详解】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为，由题意可知，，即，所以.3．（

）. 【答案】B【详解】因,,,所以原式.4．（2023河南省部分名校模拟）设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得出，，进而即可得到，，的大小关系．【详解】由，且，即，又，所以c＜b＜a．5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（

）（参考数据：）A．39分钟B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟【答案】B【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.【详解】由题知，，，，，，，.6．（2023年浙江省部分名校模拟）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，以及正弦函数的性质求解.【详解】因为，所以，7．（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期5月八模文科数学试题）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先得到函数的奇偶性，排除AC，再比较出，排除B，得到正确答案.【详解】由题知，的定义域为，因为，∴是奇函数，排除A，C，因为，排除D.8．（2002年普高招生考试理科（大纲卷））函数在上的最大值与最小值的和为3，则______________．【答案】2【分析】由的单调性，可得其在和时，取得最值，列出方程求出的值【详解】根据题意，由函数的性质，可知其在上是单调函数，即当和时，取得最值，∴，由，可得，即.9．函数的值域为______．【答案】．【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.【详解】设，则，换元得，显然当时，函数取到最小值，所以函数的值域为．10．已知函数,,则（

）. D.-3【答案】B【详解】(法一)根据对数函数的运算性质和奇函数的定义可知,是奇函数,所以是奇函数,故,所以,即.(法二)根据对数函数和函数图象对称的知识可知,函数的图象关于点对称,所以,即.11．（2023年广西河池市模拟）已知函数其中，若函数无最大值，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】结合对数函数的性质与反比例函数的性质分段确定函数的取值情况，满足函数无最大值列不等式，即可求得实数a的取值范围．【详解】因为，所以当时，在区间上单调递增，所以此时；当时，在区间上单调递减，所以此时，若函数无最大值，则，解得，又，所以a的取值范围为.12．（2023年天津市部分名校模拟）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】注意到，，后利用指数函数，幂函数单调性可比较大小.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，则，，.又函数在上单调递增，则，又，则.综上，.13．（2023太原市名校模拟）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．【详解】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.【能力提升】1．(2023年陕西西安模拟)已知函数,则是（

）.A．非奇非偶函数,且在上单调递增B．奇函数,且在上单调递增C．非奇非偶函数,且在上单调递减D．偶函数,且在上单调递减【答案】A【详解】要使函数有意义,需使,即,即,解得,所以函数的定义域为,定义域不关于原点对称,所以是非奇非偶函数.因为是增函数,所以是增函数,又y=lgx是增函数,所以函数在定义域上单调递增.2．（2023河南省名校模拟）已知函数的最大值为0，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对a作分类讨论，根据题意求解.【详解】若，即当时，∴的最大值为0，满足题意；若，当时，，不满足题意；若，当时，当时，当时等号成立，满足题意；若，当时，，当时，，当时等号成立，满足题意；若，当时，，当时，，不满足题意；所以；3．（2023年河南省部分名校模拟）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可得，而，则可得，再由，易得，则可知，由此即可选出答案.【详解】，由，有，可得．又由，有，有，可得．4．如图所示，函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.【详解】∵，∴时，，当时，函数为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，5．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得的大小关系，可得答案.【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，因为当时，，由，则，即，所以在上单调递增，则在上单调递减，由，由，根据函数在上单调递增，则；由，根据函数在上单调递增，则.由函数在上单调递减，则，即.6．（2023年浙江省部分名校联考试题）已知实数，其中，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数函数的值域与对数函数的性质判断得；利用指数与对数的互换判断；利用对数的运算法则与对数函数的性质判断得；从而得解.【详解】因为，，所以，则；因为，所以，且，所以；因为，所以；综上：.7．（2023江苏省部分名校模拟）已知函数若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的性质，整理的方程，可得的值；根据三角函数的对称性，可得的值，可得答案.【详解】当时，，则，当时，，则；由题意，可得，则.由，则，即此时函数的图象关于直线对称，根据题意可得，则，故.8．（2001年普高招生考试（广东卷））若定义在区间内的函数满足，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，讨论、，结合对数函数的性质确定参数的范围.【详解】由题意，当，即时，在上，满足要求；当，即时，在上，不满足要求.综上，.9．（2023海南省模拟）下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用题给函数在上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C；利用当时题给函数值为负值排除D；而选项B均符合以上要求.【详解】当时，，.排除A；由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；当时，.排除D；为奇函数，且当时，，当时，.B均符合题给特征.10．已知是定义在上的奇函数．（1）求实数的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据奇函数即可求出结果；（2）根据的奇偶性和单调性即可求出结果.【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，所以，所以．此时，经验证，，故．（2）由（1）可知，任取，则，因为，则，，所以，所以是上的增函数．由恒成立，得恒成立，则，所以恒成立，因为，所以．实数的取值范围为：．11．（2005年普高招生考试（文）（北京卷））对于函数定义域中任意的，有如下结论：①；②；③；④当时，上述结论中正确结论的序号是________．【答案】②③【分析】根据对数的运算法则计算得到①不正确，②正确，根据对数函数的单调性得到③正确，代入计算结合均值不等式得到④不正确，得到答案.【详解】，，则①不正确；，，故②正确；在上单调递增，则当时，，则，同理时成立，故③正确；，，，则，故④不成立.故答案为：②③12．（2023浙江省名校模拟）设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根据复合函数的单调性可知，内层函数在上为减函数，结合二次函数的单调性可得出实数的取值范围.【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数在上为减函数，函数在区间上为增函数，所以，内层函数在上为减函数，故.13．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.【详解】∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，【真题感知】1．(2021年全国甲卷高考真题)下列函数中是增函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由一次函数的性质可知在上是减函数,不符合题意;由指数函数的性质可知在上是减函数,不符合题意;由二次函数的性质可知在上不单调,不符合题意;根据幂函数的性质可知在上单调递增,符合题意.2．（2022年北京市高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；3．（2023年新课标全国Ⅰ卷真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.4．（2023年北京高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为