微专题等式与不等式的问与答讲义-上海市高考数学一轮复习

微专题微专题有关《第2章等式与不等式》的问与答【学生版】知识梳理学习笔记知识梳理学习笔记“微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升；数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式和不等式则是表示相应数量关系的基本工具．等式与不等式的知识在日常生活中也有着广泛的应用；等式与不等式，作为初中数学向高中数学的过渡内容，起着承上启下的作用．同时，不等式知识又是深入学习后续高中数学内容的基础和工具，属于高中数学预备知识板块，对于提高学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等素养具有基础性作用；典问典问详答【问题】表示不等关系的符号有哪些？【解析】不等式中的数学符号文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于等于不少于小于等于不多于【说明】遇题认真阅读理解，规范表示；不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是指“a<b和a＝b中有一个成立即可”；等价于“a不大于b”，即若a<b和a＝b中有一个成立，则a≤b成立；【问题】比较实数大小的依据是什么？【解析】两个实数比较大小的方法（1）作差法（2）作商法【说明】注意作差与作商比较的前提、标准与适用范围；【问题】不等式的性质有哪些？【解析】不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性可开方性【问题】小明同学做题时进行如下变形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，学习笔记学习笔记∴－2<eq\f(a,b)<4.你认为正确吗？为什么？【解析】【问题】由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？【解析】【说明】一定注意“依据不等式性质”进行等价变形；【问题】你知道下面的推理、变形错在哪吗？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.这怎么与－2<a＋b<2矛盾了呢？【解析】学习笔记【问题】一元二次不等式的最高次数是什么？学习笔记【解析】【说明】注意“形如”与“a≠0”；否则就要分类讨论；【问题】一元二次不等式的解是什么？【解析】【问题】一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；【解析】判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集【说明】1、利用数形结合法解一元二次不等式．在熟悉图像的前提下，关键是迅速求解对应的一元二次方程．求解时优先考虑因式分解法，其次才是公式法；2、特别地，若a<0时，应先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式；3、当判别式Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与ax2＋bx＋c≥0(a>0)的解集不同；【问题】怎样解分式不等式？【解析】学习笔记【说明】关键是等价转化；学习笔记【问题】怎样解一元高次不等式？【解析】【问题】基本不等式的内容是什么？【解析】【问题】两个正数满足什么条件时其积有最大值、最大小值？【解析】【说明】利用基本不等式求最值1、x,y一定是正数；2、求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，看积xy是否为定值；3、等号是否能够成立；【问题】利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？【解析】【问题】方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【解析】【问题】由x2＋y2≥2xy知xy≤eq\f(x2＋y2,2)，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是eq\f(x2＋y2,2)吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？【解析】【问题】小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋eq\f(1,x)的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？【解析】学习笔记【问题】已知x≥3，求y＝eq\f(x2＋4,x)的最小值，下列求解可以吗？为什么？学习笔记“解：∵y＝eq\f(x2＋4,x)＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，∴当x≥3时，y＝eq\f(x2＋4,x)的最值为4.”【解析】【问题】不等关系的性质，与相等关系的性质相比有哪些异同？【解析】【问题】不等式的其他性质各有什么名称？【解析】【问题】证明不等式可运用哪些常用的数学方法？【解析】【问题】什么是数学方法？中学数学有哪些常用的基本数学方法?【解析】【问题】如何将证明不等式的方法交叉运用?【解析】【问题】解不等式时，如何运用化归这一基本数学思想？【解析】学习笔记【问题】解无理不等式时，应要求学生注意些什么？学习笔记【解析】【问题】解含有绝对值的不等式时，关键应该是什么？【解析】【问题】解一元二次不等式组与一元二次方程之间有什么联系？【解析】【问题】当为常数，且时，怎样在最小时，求的最小值？【解析】通过相等关系和不等关系的类比，提高观察、比较、归纳、概括的能力；通过正确表示方程和不等式的解集以及建立不等式的过程，发展数学抽象的核心素养；通过解方程和求解不等式的过程，理解等价转化、分类讨论、化归思想的重要作用，落实数学运算核心素养；通过证明不等式发展逻辑推理能力，通过学习基本不等式理解相等与不等关系的相互转化，树立辩证思维；通过探究与实践活动以及数学史和数学文化的学习，提升兴趣，提高素养促进发展；学习笔记巩固练习学习笔记巩固练习1、若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是（）A．M>－5B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－52、不等式6x2＋x－2≤0的解集为（）A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)))))3、已知－1<2x－1<1，则eq\f(2,x)－1的取值范围是____________．4、若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则实数a+b＝________5、已知a>0，b>0，且a≠b，则eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)与a＋b的大小为：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)a＋b6、在R上定义运算：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(ab,cd))))＝ad－bc．若不等式eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do18(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do18(x))))≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为7、若正实数x，y满足x＋y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝5，则x＋y的最大值为8、若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，则实数a的取值范围为9、设函数f(x)＝x＋eq\f(a,x＋1)，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)).（1）当a＝2时，求函数f(x)的最小值；（2）当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．学习笔记10、若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,2x2＋2k＋5x＋5k<0))的整数解只有－2，求k的取值范围．学习笔记微专题有关《第2章等式与不等式》的问与答【教师版】知识梳理学习笔记知识梳理学习笔记“微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升；数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式和不等式则是表示相应数量关系的基本工具．等式与不等式的知识在日常生活中也有着广泛的应用；等式与不等式，作为初中数学向高中数学的过渡内容，起着承上启下的作用．同时，不等式知识又是深入学习后续高中数学内容的基础和工具，属于高中数学预备知识板块，对于提高学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等素养具有基础性作用；典问典问详答【问题】表示不等关系的符号有哪些？【解析】不等式中的数学符号文字语言数学符号文字语言数学符号大于>至多≤小于<至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤【说明】遇题认真阅读理解，规范表示；不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是指“a<b和a＝b中有一个成立即可”；等价于“a不大于b”，即若a<b和a＝b中有一个成立，则a≤b成立；【问题】比较实数大小的依据是什么？【解析】两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a_>__b,a－b＝0⇔a_＝__ba，b∈R,a－b<0⇔a_<__b))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a_>__b,\f(a,b)＝1⇔a_＝__ba∈R，b>0,\f(a,b)<1⇔a_<__b))学习笔记【说明】注意作差与作商比较的前提、标准与适用范围；学习笔记【问题】不等式的性质有哪些？【解析】不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒_a>c⇒可加性a>b⇔_a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c<b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0_an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同为正数【问题】小明同学做题时进行如下变形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你认为正确吗？为什么？【解析】不正确；因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负．故不能将eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)与－6<a<8两边分别相乘；只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘；【问题】由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？学习笔记【解析】不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质；学习笔记【说明】一定注意“依据不等式性质”进行等价变形；【问题】你知道下面的推理、变形错在哪吗？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.这怎么与－2<a＋b<2矛盾了呢？【解析】利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．【问题】一元二次不等式的最高次数是什么？【解析】形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式；【说明】注意“形如”与“a≠0”；否则就要分类讨论；【问题】一元二次不等式的解是什么？【解析】一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；【问题】一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；【解析】判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝学习笔记x2＝－eq\f(b,2a)学习笔记没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|x<x1))或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x1<x<x2))∅∅【说明】1、利用数形结合法解一元二次不等式．在熟悉图像的前提下，关键是迅速求解对应的一元二次方程．求解时优先考虑因式分解法，其次才是公式法；2、特别地，若a<0时，应先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式；3、当判别式Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与ax2＋bx＋c≥0(a>0)的解集不同；【问题】怎样解分式不等式？【解析】分母含有未知数的不等式，叫作分式不等式．解该类不等式的关键是先把不等式的右边化成0，再把它转化成整式不等式；【说明】关键是等价转化；【问题】怎样解一元高次不等式？【解析】穿针引线法解一元高次不等式的步骤1、将f(x)最高次项的系数化为正数；2、将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3、将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；4、根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．【问题】基本不等式的内容是什么？【解析】1、概念：如果a，b都是非负数，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，其中eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为a，b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式．2、文字叙述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．学习笔记3、意义：学习笔记①几何意义：半径不小于半弦．②数列意义：两个非负数的等差中项不小于它们正的等比中项；【问题】两个正数满足什么条件时其积有最大值、最大小值？【解析】已知x，y都是正数，则1、若x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当x＝y时，积xy取得最大值eq\f(s2,4)；2、若xy＝p(积为定值)，则当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq\r(p).【说明】利用基本不等式求最值1、x,y一定是正数；2、求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，看积xy是否为定值；3、等号是否能够成立；【问题】利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？【解析】y＝x2－2x－3的图象如图所示．函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1<x<3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．【问题】方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【解析】方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．这说明：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a)，))即不等式的解集的端点值是相应方程的根．学习笔记学习笔记【问题】由x2＋y2≥2xy知xy≤eq\f(x2＋y2,2)，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是eq\f(x2＋y2,2)吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？【解析】最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用均值不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．【问题】小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋eq\f(1,x)的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？【解析】不正确；因为利用均值不等式求最值，必须满足x与eq\f(1,x)都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”均值不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x×\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取“＝”，y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2；当x<0时，y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,x)))≤－2eq\r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x))))＝－2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋eq\f(1,x)的最大值是－2；【问题】已知x≥3，求y＝eq\f(x2＋4,x)的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y＝eq\f(x2＋4,x)＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，∴当x≥3时，y＝eq\f(x2＋4,x)的最值为4.”【解析】不可以，因为在利用基本不等式求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”“定”“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋eq\f(4,x)的单调性求解．【问题】不等关系的性质，与相等关系的性质相比有哪些异同？【解析】1、相等关系的第一条性质是“自反性”：任何一个数量都等于它自身，即。不等关系“”“”没有自反性，但不等关系“”与“非严格的”不等关系“”、“”具有自反性。学习笔记2、相等关系的第二条性质是“对称性”：的充要条件是。不等关系“”、“”没有对称性(例如的充要条件不是)，但有“反对称性”(例如的充要条件是)；不等关系“”与非严格的不等关系“”、“”具有对称性，其中“”、“”显然同时具有反对称性。学习笔记3、相等关系的第三条性质是“传递性”：如果，且，那么。不等关系“”、“”与非严格的不等关系“”、“”也有传递性，但不等关系“”没有传递性(例如2≠3，且3≠2，但2=2)。【问题】不等式的其他性质各有什么名称？【解析】1、性质“”可称为不等式的加法保序性。2、性质“，且”可称为不等式的乘正数保序性。性质“，且”可称为不等式的乘负数反序性。3、性质“”可称为不等式对正数次方根的保序性。4、“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理(即“，且)也可称为均值不等式(大纲不要求扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理)。【问题】证明不等式可运用哪些常用的数学方法？【解析】（1）分析法从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一充分条件，如此逐步往前追溯（执果索因)，一直追溯到已知条件或一些真命题为止。例如要证，我们通过分析知道，的某一充分条件是，即，因此只要证明就行了。由于是真命题，所以成立。分析法的证明过程表现为一连串的“要证……只要证……”，最后推至已知条件或真命题。（2）综合法从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立。例如要证，我们从，得，移项得。综合法的证明过程表现为一连串的“因为……所以……”，可用一连串的“”来代替。学习笔记综合法的证明过程是分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。当我们不易找到作为出发点的不等式来证明结论时，通常改用分析法来证明。学习笔记（3）比较法根据与等价，所以要证甲式大于乙式，只要证明甲式减去乙式所得的差式在两式中的字母的可取值范围内取正值就可以了。这就是比差法。还有一种比较法是比商法，例如已知甲式、乙式在其中字母的可取值范围内均取正值，那么要证甲式大于乙式，只要证明甲式除以乙式所得的商式在这一字母取值范围内均取大于的值就可以了。比商法较为复杂，使用时务必注意字母的取值范围。（4）逆证法这是分析法的一种特殊情况，即从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的充要条件，如此逐步往前追溯，一直追溯到已知条件或一些真命题为止。逆证法的证明过程表现为一连串的“即”，可用一连串的“”来代替，最后推至已知条件或真命题。（5）放缩法这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等关系的传递性——，则，所以要证，只要证明“大于或等于”的就行了。例如证明当、是大于的整数时，，我们可以用放缩法的一支——“逐步放大法”，证明如下：.有时要证，我们可以用放缩法的另一支——逐步缩小法”，即证明。放缩法在高等数学中经常使用。在中学仅供学有余力的学生研究。（6）反证法先假定要证的不等式的反面成立，然后推出与已知条件(或已知的真命题)相矛盾的结论，从而断定反证假定是错误的。因而要证的不等式一定成立。（7）穷举法对要证的不等式按已知条件分成各种情况一一加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况)。要让学生注意：在证明不等式时，应灵活运用上述方法，并通过运用多种方法来提高他们的思维能力。学习笔记学习笔记【问题】什么是数学方法？中学数学有哪些常用的基本数学方法?【解析】所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是逻辑的严密性及结论的确定性，三是应用的普遍性和可操作性。数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁确定的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具。现代科学技术特别是电子计算机的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。在中学数学中经常用到的基本数学方法，大致可以分为以下三类：（1）逻辑学中的方法例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要尊重逻辑学中的基本规律和法则，又因为运用于数学之中而具有数学的特色。（2）数学中的一般方法例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法，在代数中常称图象法，在学生今后要学习的解析几何中常称坐标法)、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。（3）数学中的特殊方法例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用，对于某一类问题也都是一种通法。【问题】如何将证明不等式的方法交叉运用?【解析】一般来说，学生单独运用一种方法证不等式是比较容易的，如果要求交叉运用两种方法，就有些难度了。这时可先训练从分析法入手的证明题。例如，已知是正整数，求证。学习笔记事实上，运用分析法，要证原式，只需证学习笔记即证，也即证运用比较法，要证式，只需证=因为式显然成立，故原式得证。此题交叉采用分析法与比较法证明不等式，灵活性较强，变化也较多。其中将根式变形，时而将分子有理化，时而又将分母有理化，这种变形都是根据需要进行的，要求学生有较熟练的基本功。【问题】解不等式时，如何运用化归这一基本数学思想？【解析】一元一次不等式(组)和一元二次不等式的解法，是解各种不等式(组)的基础，应该让学生熟练掌握。解其他各种类型的不等式时，关键是善于根据有关的性质或定理，把它等价化归(即等价变形)为一次、二次不等式(组)。一般说来：（1）如果不等式是超越不等式或含有绝对值的不等式，则可把它等价化归成代数不等式；（2）如果代数不等式是无理不等式，则把它等价化归成有理不等式；（3）如果有理不等式是分式不等式，则可把它等价化归成整式不等式；（4）如果整式不等式是高次不等式，则可把它等价化归成一次、二次不等式(组)。【问题】解无理不等式时，应要求学生注意些什么？学习笔记【解析】应让学生通过实例记住以下三点：学习笔记（1）偶次根号下的式子必须取非负值；（2）当且仅当不等式的两边都非负时可以将两边平方；（3）注意不重不漏。例如，解不等式此不等式可以等价化归成下列不等式组：（Ⅰ）或（Ⅱ）解不等式，得解集；解不等式，得解集；解不等式，得解集.故不等式组（Ⅰ）的解集为.解不等式组（Ⅱ），得解集.因此，原不等式的解集为，也就是开区间学生在化归时，往往遗漏了不等式组（Ⅱ），通过此例可引起他们注意.【问题】解含有绝对值的不等式时，关键应该是什么？【解析】关键是把绝对值符号去掉，把它等价化归成不含绝对值的代数不等式(组)。例如，解不等式组此不等式组可以等价化归成不等式组即所以原不等式组的解集为学习笔记（或）.学习笔记【问题】解一元二次不等式组与一元二次方程之间有什么联系？【解析】要让学生注意一元二次方程根与系数的关系所起的作用，并学会运用它们.例如，求使关于的一元二次方程有实数根，且二根的绝对值都小于1的系数的值。对此，可设原方程的二实根为，则由得，或由得，即得由得，由根与系数关系，代入有，得或综合取交集，得.【问题】当为常数，且时，怎样在最小时，求的最小值？【解析】举一个例子：求函数的最小值，∵∴学习笔记其中当且仅当时取等号，学习笔记将、式两边分别相减，有,所以.于是，由，可知，即当且仅当时，y取得最小值.注意，学生如果直接运用算术平均数与几何平均数的不等式，得出，应告诉他们，因为，所以不能据此取得最小值2.通过相等关系和不等关系的类比，提高观察、比较、归纳、概括的能力；通过正确表示方程和不等式的解集以及建立不等式的过程，发展数学抽象的核心素养；通过解方程和求解不等式的过程，理解等价转化、分类讨论、化归思想的重要作用，落实数学运算核心素养；通过证明不等式发展逻辑推理能力，通过学习基本不等式理解相等与不等关系的相互转化，树立辩证思维；通过探究与实践活动以及数学史和数学文化的学习，提升兴趣，提高素养促进发展；巩固练习巩固练习1、若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是（）A．M>－5B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－5【答案】A；【解析】M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0，故M>－5；2、不等式6x2＋x－2≤0的解集为（）学习笔记A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))学习笔记C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)))))【答案】A；【解析】因为6x2＋x－2≤0⇔(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))))).3、已知－1<2x－1<1，则eq\f(2,x)－1的取值范围是____________．【答案】(1，＋∞)；【解析】－1<2x－1<1⇒0<x<1⇒eq\f(1,x)>1⇒eq\f(2,x)>2⇒eq\f(2,x)－1>1；4、若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则实数a+b＝________【答案】0；【解析】由题意可知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝－\f(b,a)，,－1×2＝\f(2,a)，))解得a＝－1，b＝1；5、已知a>0，b>0，且a≠b，则eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)与a＋b的大小为：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)a＋b【答案】>；【解析】因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,a)))－(a＋b)＝eq\f(a2,b)－b＋eq\f(b2,a)－a＝eq\f(a2－b2,b)＋eq\f(b2－a2,a)＝(a2－b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,a)))＝(a2－b2)eq\f(a－b,ab)＝eq\f(a－b2a＋b,ab)，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,a)))－(a＋b)>0，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)>a＋b．6、在R上定义运算：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(ab,cd))))＝ad－bc．若不等式eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do18(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do18(x))))≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为学习笔记【答案】eq\f(3,2)学习笔记【解析】原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，x2－x－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)≥－eq\f(5,4)，所以－eq\f(5,4)≥a2－a－2；－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)；7、若正实数x，y满足x＋y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝5，则x＋y的最大值为【答案】4.【解析】∵xy≤eq\f(x＋y2,4)，x>0，y>0，∴eq\f(1,xy)≥eq\f(4,x＋y2)，eq\f(x＋y,xy)≥eq\f(4,x＋y)，∴x＋y＋eq\f(4,x＋y)≤5.设x＋y＝t，即t＋eq\f(4,t)≤5，得到t2－5t＋4≤0.解得1≤t≤4.∴x＋y的最大值为4；8、若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，则实数a的取值范围为【答案】(－∞，2－2eq\r(2)].；【解析】方法1：令2x＝t，则t＞0，方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解转化为方程t2＋at＋a＋1＝0在(0，＋∞)上有实数解．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.①若方程t2＋at＋a＋1＝0有一正一负两根，则必须只需f(0)＜0，即a＋1＜0，a＜－1；②若方程t2＋at＋a＋1＝0有两个正根，则必须且只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f0＞0，,－\f(a,2)＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a－4≥0，,a＋1＞0，,a＜0，))解得－1＜a≤2－2eq\r(2)；③若方程t2＋at＋a＋1＝0有零根，则a＝－1，方程变为t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，2－2eq\r(2)]．方法2：令2x＝t＞0，原方程化为t2＋at＋a＋1＝0.所以a＝－eq\f(t2＋1,1＋t)＝－eq\f(t2－1＋2,t＋1)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t－1＋\f(2,t＋1)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t＋1＋\f(2,t＋1)－2))≤－2eq\r(2)＋2＝2－2eq\r(2).当且仅当t＋1＝eq\f(2,t＋1)，即t＝eq\r(2)－1时，取等号，所以实数a的取值范围是(－∞，2－2eq\r(2)].学习笔记9、设函数f(x)＝x＋eq\f(a,x＋1)，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)).学习笔记（1）当a＝2时，求函数f(x)的最小值；（2）当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．【提示】（1）将原函数变形，利用均值