最值系列之将军饮马 - 解析

最值系列之将军饮马-解析将军饮马将军饮马是一个有趣的数学问题，源自唐代诗人李颀的《古从军行》。问题描述为：将军在点A处，需要带马去河边喝水，然后返回军营，问将军如何走能使路程最短。问题可以简化为：在直线上找一点P，使得PA+PB最小。问题分析这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，难以通过观察图形得出结果。因此，我们需要转化问题，将折线段变为直线段。作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA+PB=PA'+PB。当A'、P、B三点共线时，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）。将军饮马模型系列一定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。M、N分别作点P关于OA、OB的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP''。当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小。例题：在∠AOB=30°，OP=8的情况下，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为8。两定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。M、N分别作点P关于OA、OB的对称点P'、P''，化折线段PM+MN+NQ为P'N+MN+P''M。当P'、N、M、P''共线时，四边形PMNQ的周长最小。如图，在等边三角形ABC中，AB=6，N为AB上一点且BN=2AN，BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是多少？分析：M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值。过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7。重新表述：在等边三角形ABC中，已知AB=6，BN=2AN，BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值为BM+CN，其中CN为BC的高线，且CN=2√7。如图，在直角三角形ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是多少？分析：对称点并不一定总是在已知图形上。重新表述：在直角三角形ABD中，已知AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，BN=2AN，M是AD上的动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值为BM+CN，其中C为点B关于AD的对称点，且C在直线AB上。如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是多少？分析：此处M点为折点，作点N关于BD的对称点N'，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’。因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值。重新表述：在锐角三角形ABC中，已知BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，连接CM，MN，则CM+MN的最小值为CM+CN’，其中N’为点N关于BD的对称点，且N’在直线AB上。如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是多少？分析：此处P为折点，作点M关于AC的对称点M’，恰好在AD上，化折线EP+PM为EP+PM’。重新表述：在菱形ABCD中，已知AC=62，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值为PE+PM’，其中M’为点M关于AC的对称点，且M’在对角线AD上。当E、P、M'共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法求得高为AC·BD/2÷BC。（2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是(0,3)。解法为点E为折点，作点D关于y轴的对称点D’，连接AD，与y轴交点即为所求E点。（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足S△PAB÷S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为35。解法为作出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2），作点B关于MN的对称点B’，化折线PA+PB为PA+PB’。当A、P、B’共线时，取到最小值，选A。（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为105。解法为四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处E为折点，作F关于AB对称点F’，则BF’=BF=DH=CM，MF’=BC=5，MH=DC=10，故选B。（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是3。解法为M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P’、P’’，化△PMN周长为P’N+NM+MP’’。已知将军在图中点A处，需要过两座桥，分别连接B、C两地，桥必须垂直于河岸建造，问：桥应该建在何处才能使将军从A点到达B、C两地的总路程最短？将军AM河BC考虑将问题转化为求将军从A点到达B、C两地的总路程最短的情况下，桥的建造位置．将军AM河BC将B、C两地连线延长至交点N，显然，当桥建在MN上时，总路程最短．将军AM河BCN桥【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】参考将军遛马的作法，我们可以得出如下图形：A——A'||F——H||B——C||B'——D其中，AF+BH=A’H+B’H=A’B’=5。我们可以看到，这个图形是由两个等腰直角三角形拼接而成的。因此，我们可以根据勾股定理，得出AF和BH的长度分别为3和4。同理