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湖南省邵阳市新邵县寸石镇寸石中学高二数学文测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.下列说法错误的是()A.若p:?x∈R,x2﹣x+1=0,则¬p:?x∈R,x2﹣x+1≠0B.“sinθ=”是“θ=30°或150°”的充分不必要条件C.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”D.已知p:?x∈R,cosx=1,q:?x∈R,x2﹣x+1>0,则“p∧(¬q)”为假命题参考答案:B【考点】2K:命题的真假判断与应用.【分析】A,特称命题的否定为全称命题,“=”的否定为“≠”;B,sinθ=时,θ可以取与30°、150°终边相同的角,但θ=30°时,sinθ=;C,命题的否命题,既要否定条件,又要否定结论;D,当x=0时,cosx=1,∴p真;对任意x∈R,x2﹣x+1=(x﹣)2+>0.【解答】解:对于A,特称命题的否定为全称命题,“=”的否定为“≠”,∴A正确;对于B,sinθ=时,θ可以取与30°、150°终边相同的角,但θ=30°时,sinθ=,∴B应是必要不充分条件,故B错;对于C,命题的否命题,既要否定条件,又要否定结论,C显然正确;对于D,当x=0时,cosx=1,∴p真;对任意x∈R,x2﹣x+1=(x﹣)2+>0,∴q真,∴p∧(?q)为假,故D正确.故选:B.【点评】本题考查了命题的真假判定,充要条件的判定,属于基础题.2.已知一几何体的正视图与侧视图均为边长为2的正三角形,俯视图是半径为1的圆,则其表面积为(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案:B3.集合A=∣lgx<1且B={1,2,3,4,5},则=(
)A、{6,7}
B、{6,7,8}
C、{6,7,8,9}
D、{6,7,8,9,10}
参考答案:C略4.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为16,28,则输出的a=()A.0 B.2 C.4 D.14参考答案:C【考点】程序框图.【专题】计算题;图表型;分类讨论;算法和程序框图.【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.【解答】解:由a=16,b=28,不满足a>b,则b变为28﹣16=12,由b<a,则a变为16﹣12=4,由a<b,则,b=12﹣4=8,由a<b,则,b=8﹣4=4,由a=b=4,则输出的a=4.故选:C.【点评】本题考查算法和程序框图,主要考查循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用,属于基础题.5.给出以下四个问题,①,输出它的相反数
②求面积为的正方形的周长
③求三个数中输入一个数的最大数
④求函数的函数值
其中不需要用条件语句来描述其算法的有(
)A
个
B
个
C
个
D
个
参考答案:A略6.在等比数列{an}中,若a3a6=9,a2a4a5=27,则a2的值为()A.2 B.3 C.4 D.9参考答案:B【考点】等比数列的通项公式.【分析】设公比为q,可得=9,=27,两式相除可得答案.【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,由题意可得a3a6===9,①a2a4a5===27,②可得a2=3故选B7.直线与圆的位置关系为(
)A.相离 B.相切 C.相交且经过圆心 D.相交但不经过圆心参考答案:B将圆化为标准形式可得,即圆的圆心为,半径,圆心到直线的距离为,∴直线与圆相切,故选B.
8.如图是一个几何体的三视图(尺寸的长度单位为),则它的体积是(
). A. B. C. D.参考答案:A由三视图知几何体是一个三棱柱,.故选.9.设,,则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件参考答案:B若、皆是实数,则一定不是虚数,因此当是虚数时,则“、中至少有一个数是虚数”成立,即必要性成立;当、中至少有一个数是虚数,不一定是虚数,如,即充分性不成立,选B.考点:复数概念,充要关系10.设x∈R,则|x+1|<1是|x|<2成立的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“"x∈R,x2-x+3>0”的否定是.参考答案:$x∈R,x2-x+3≤012.在平面内,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形按图所标边长,由勾股定理有:设想正方形换成正方体,把截线换成如图所示的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积,那么你类比得到的结论是
_
;参考答案:略13.若向量,,,则
;参考答案:14.(5分)“x3=x”是“x=1”的
条件.参考答案:由x3=x,得x3﹣x=0,即x(x2﹣1)=0,所以解得x=0或x=1或x=﹣1.所以“x3=x”是“x=1”的必要不充分条件.故答案为:必要不充分.利用充分条件和必要条件的定义判断.15.已知复数z=,其中i是虚数单位,则|z|=________.参考答案:略16.观察下列式子
,
……,则可据此归纳出的一般性结论为:________________________________参考答案:17.如图所示,设l1∥l2∥l3,AB∶BC=3∶2,DF=10,则DE=________.参考答案:4三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知圆C圆心在直线上,且经过点A(2,-3)、B(-1,0).(1)求圆C的方程;(2)若圆C被直线l:y=kx截得的弦长为,求k的值.
参考答案:解析:(1)AB的垂直平分线为,与
的交点为(-1,-3),所以圆心坐标为
C(-1,-3),r=|CA|=3,所以圆C的方程为
;(2)由半径r=3,弦长为,则圆心C到直线l的距离为d=,所以=,即,得k=1或k=-7.19.(本小题满分12分)4月10日,2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛浙江赛区在杭州宣布正式启动,并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩;(Ⅱ)如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学,求这名同学考试成绩在80分以上(含80分)的概率;(Ⅲ)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这3名同学中考试成绩在80分以上(含80分)的人数记为,求的分布列及数学期望.(注:频率可以视为相应的概率)参考答案:(Ⅰ),,∴,
………2分估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为:
………4分(Ⅱ)设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A.
答:被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4.
………………6分(Ⅲ)由(2)知,从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为,X可能的取值是0,1,2,3.
;
;
;
.
的分布列为:0123
………………11分所以.
………12分(或,所以.).20.观察等式,,请写出与以上等式规律相同的一个一般化的正确等式,并给予证明.参考答案:解:一般化的正确等式为.…5分证明:
…………8分
…………12分
…………14分略21.(本题满分14分)已知曲线方程为,过原点O作曲线的切线(1)求的方程;(2)求曲线,及轴围成的图形面积S;(3)试比较与的大小,并说明理由。参考答案:解析:(1)设切于由,则………………1分而得……………………3分切线方程为……………………4分(2)依题意得…………6分…………………8分(3)构造函数………………9分令得………10分则在(0,1)为减函数,在(1,)为增函数……11分令那……………………13分当时当且时……………………14分预计平均分100分。22.(本小题14分)如图,四棱锥的底面为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中,,平面底面,是的中点.(1)求证://平面;(2)求与平面BDE所成角的余弦值;(3)线段PC上是否存在一点M,使得AM⊥平面PBD,如果存在,求出PM的长度;如果不存在,请说明理由。
参考答案:(1)取PD中点F,连接AF,EF则,
又,∴
∴
∴四边形ABEF是平行四边形
-------------------2分∴AF∥BE
又平面PAD,平面PAD∴//平面
-------4分(2)过C作DE的垂线,交DE的延长线于N,连接BN∵平面底面,∴平面∴AF
又AF⊥PD,∴AF⊥平面PCD∴BE⊥平面PCD∴BE⊥CN,又CN⊥DE,∴CN⊥平面BDE∴CBN就是直线与平面BDE所成角
------7分令AD=1,,易求得,∴sinCBN=∴cosCBN=故与平面BDE所成角的余弦值为
------9分(3)假设PC上存在点M,使得AM⊥平面PBD
则AM⊥PD,由(2)AF⊥PD∴PD⊥平面AFM,又PD⊥平面ABEF故点M与E重合。
----11分取CD中点G,连接EG,AG易证BD⊥AG,又BD⊥AE∴BD⊥平面AEG∴BD⊥EG∴BD⊥PD,又PD⊥CD∴PD⊥平面BCD从而PD⊥AD,这与⊿PAD是等边三角形矛盾故PC上不存在点M满足题意。
-----------14分向量法:证明:取AD中点O,连接PO∵侧面PAD是等边三角形∴PO⊥AD又∵平面底面,∴PO⊥平面ABCD
……2分设,如图建立空间坐标系,则,,,.
……3分(1),,所以,∵平面,∴平面.
------------------5分(2),设平面的一个法向量为则
求得平面的一个法向量为;……
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