山东省临沂市沂蒙中学高三数学文联考试卷含解析

山东省临沂市沂蒙中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或25参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义，列出方程组，求出a1=﹣1，d=2，由此能求出数列{an}的前5项的和．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴数列{an}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前五项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2.已知命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知集合A＝{1，2，4}，则集合B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A}中元素的个数为A．3

B．6

C．8

D．9参考答案：D4.下面有关函数的结论中，错误的是（

）A.的周期为

B.在上是减函数

C.的一个对称中心是D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象.参考答案：D5.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___B____A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：Bz=i·(1+i)=i–1.所以对应点(-1,1).选B6.设平面向量，若，则实数的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得=1，∴，故选：B．8.对于函数下列命题中正确的个数有①过该函数图象上一点的切线的斜率为；②函数的最小值为；③该函数图象与轴有4个交点；

④函数在上为减函数，在上也为减函数..1个

.2个

.3个

.4个参考答案：C略9.若复数z满足z=1﹣（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．0 B．1 C． D．2参考答案：C【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=1﹣=1﹣=1+i，则|z|=．故选：C．10.若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点（a，b）在两直线y=x﹣1和y=x﹣3之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+4a﹣4b的最小值为__________．参考答案：5考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件y=x﹣1和y=x﹣3的平面区域，又由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+4a﹣4b=（a﹣b）2+4（a﹣b），我们只要求出（a﹣b）的取值范围，然后根据二次函数在定区间上的最值问题即可求解．解答：解：由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+4a﹣4b=（a﹣b）2+4（a﹣b），又点（a，b）在两直线y=x﹣1和y=x﹣3之间的带状区域内（含边界）如下图所示：得1≤（a﹣b）≤3，根据二次函数在定区间上的最小值知f（a，b）=a2﹣2ab+b2+4a﹣4b的最小值为5．故答案为：5点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案12.一个算法的程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的结果是

．

参考答案：13.等比数列中，，则的前项和为___________.参考答案：120略14.等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式

．参考答案：15.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为_______．参考答案：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线与圆有公共点，即，的数组有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，……，(6,6)，共种，因此所求的概率等于．16.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.参考答案：—8本题考查任意角的三角函数的定义，利用坐标处理象限角的三角函数值，立意本原，回归基本定义。难度不大。根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角。=17.已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，凸多面体ABCED中，⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，CE=2，F为BC的中点．（1）求证：AF∥面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面BCE；（3）求VB﹣ACED．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（I）作BE的中点G，连接GF，GD，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形GFAD为平行四边形，进而AF∥GD，再由线面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；（Ⅱ）由AB=AC，F为BC的中点可得AF⊥BC，结合GF⊥AF及线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE进而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE．（Ⅲ）由已知可判断四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B﹣ACED的高，代入棱锥体积公式可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）作BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，∴GF∥EC∥DA，GF=CE=DA，…∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD，又GD?平面BDE，∴AF∥平面BDE．…（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，…∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．…（Ⅲ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC，…∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B﹣ACED的高，∴VB﹣ACED=?SACED?AB=××（1+CE）×1×1=．…【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是得到四边形GFAD为平行四边形，（II）的关键是证得GD⊥平面BCE，（III）的关键是计算出棱锥的底面面积及高．19.如图是某小区2017年1月到2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

残差平方和0.0005910.000164总偏差平方和0.006050

（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2018年6月份购买该小区平方米的二手房（欲购房者为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（ⅰ）估算该购房者应支付的金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ⅱ）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）附注：根据相关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：契税（买方缴纳）首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%增值税（卖方缴纳）房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征个人所得税（卖方缴纳）首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征

参考数据：，.参考公式：相关数据参考答案：（1）见解析；（2）分析：（1）由所给数据计算出，比较可得；（2）由（1）中较好的模型预测出均价，然后分类计算购房金额，可得结论．详解：（1）设模型和的相关指数分别为和，则，，所以模型拟合的效果好.（2）由（1）知模型拟合的效果好，利用该模型预测可得，这个小区在2018年6月份的在售二手房均价为万平方米设该购房者应支付的购房金额为万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以①当时，契税为计税价格的，故；②当时，契税为计税价格的，故；③当时，契税为计税价格的故；所以点睛：本题考查线性回归直线的应用，考查相关系数，解题中只要利用所给公式计算即可，属于基本题．20.（12分）（2015?钦州模拟）某学校有120名教师，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分组，其频率分布直方图如右图所示．学校为了适应新课程改革，要求每名教师都要参加甲、乙两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．年龄分组甲项培训成绩优秀人数乙项培训成绩优秀人数[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60）43（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全校教师的平均年龄；（2）随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，求这两人中至少有一人在甲、乙两项培训结业考试成绩为优秀的概率．参考答案：【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据频率分布直方图和频率分布表和分层抽样的方法即可求出各年龄段应分别抽取的人数，并可估计全校教师的平均年龄；（2）根据互斥事件的概率公式即可求出答案．解：（1）由频率分布直方图知，年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）的人数的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10…1分∵0.35×40=14，0.40×40=16，0.15×40=6，0.10×40=4…3分∴年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）应取的人数分别为14、16、6、4…4分∵各年龄组的中点值分别为25、35、45、55．对应的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10．则…5分由此估计全校教师的平均年龄为35岁．…6分（2）因为年龄段[20，30）的教师人数为120×0.35=42人，…7分年龄段[30，40）的教师人数为120×0.40=48人，…8分从年龄段[20，30）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为A、B；两项都为优秀的事件记为M．从年龄段[30，40）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为C、D；两项都为优秀的事件记为N．由表知.，，则…9分，，则…10分记这两人中至少有1人在甲、乙两项培训考试成绩为优秀的事件为E．则…12分．【点评】：本题考查频率分布直方图和率以及互斥事件的概率公式，属于中档题．21.直三棱柱，棱上有一个动点满足.（1）求的值，使得三棱锥的体积是三棱柱

体积的；

（2）在满足（1）的情况下，若，，确定上一点，使得，求出此时的值.参考答案：解：（1）根据条件，有，，即点到底面的距离是点到底面距离的，所以；（2）根据条件，易得，则当时，即有

，即时，有，所以

略22.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BDA＝60°.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：解:(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得