二课时空间向量的数量积（原卷版）

TOC\o"1-3"\h\u题型1数量积的概念 ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小【例题3】（2023·全国·高三对口高考）在三棱锥V−ABC中，VA⊥BC,A．60° B．90° C．30° D．不确定【变式3-1】1．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）如图，三棱锥A−BCD中，AB、CD所成的角为A．cosB．cosC．cosD．cos【变式3-1】2．（多选）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1A．AB．AC．直线AC与直线BDD．BD1【变式3-1】3．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________【变式3-1】4．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥ABCD中，E､F分别在棱AB､AD上，AE:【变式3-1】5.（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．题型4利用空间向量的数量积求距离(线段长度)【方法总结】利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=aa【例题4】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AD

【变式4-1】1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，那么aA．2 B．13C．14 D．6【变式4-1】2．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB

A．25 B．26 C．36【变式4-1】3．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、CDEF都是边长为1

A．2 B．3 C．3−2 D．【变式4-1】4．（多选）（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体P−ABC中，D、E分别为AB、AC上的动点（不包含端点），F为A．DE+EF的最小值为B．DF的最小值为2；C．若四棱锥F−BDEC的体积为24，则D．若BE⋅FE【变式4-1】5.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）正四面体ABCD的棱长为4，中心为点O，则以O为球心，1为半径的球面上任意一点P与该正四面体各顶点间的距离的平方和：PA【变式4-1】6．己知二面角α−l−β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α,β内，(1)试用a,b,(2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值．题型5投影向量【方法总结】类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量AB，在轴l上投影（空间称为射影）的过程已知图形向量AB=a，l为轴，向量e是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则A'B’称为向量AB在轴l上或在e的方向上的正射影；可以证明A’B’=|ABzhuyi注意：轴l上的正射影A'B’AB与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度.【例题5】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为−913A．−91313b B．91313【变式5-1】1．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1【变式5-1】2．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120∘，PA=AB【变式5-1】3．（2022·全国·高三专题练习）在标准正交基i,j,k下，已知向量a=−2i+8j+3【变式5-1】4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=1，AD=2【变式5-1】5．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅题型6最值与范围问题【例题6】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知a，b，c是空间中两两不同的三个单位向量，且a⋅b:【变式6-1】1.（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）在三棱锥D−ABC中，已知AB=2,AC⋅A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】2.（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EFA．−2,0 B．−1,0 C．0,1 D．0,2【变式6-1】3.（2022秋·福建·高二校联考期中）已知正四面体ABCD的棱长为6，P是四面体ABCD外接球的球面上任意一点，则PA⋅A．6−66,6+66C．33−36【变式6-1】4.A−BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC=90°，BD=2ABA．0,3 B．12,3 C．12【变式6-1】5.（2023秋·江西萍乡·高