2020年高考真题-数学（全国卷III）（理科）

2020年高考真题——数学（全国卷III）（理科）1.已知集合，，则中元素的个数为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：交集按元素的属性分（点集、数集）答案：C解析：由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为故选C.总结：本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解.2.复数的虚部是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：复数的有关概念复数的乘法复数的除法答案：D解析：因为，

所以复数的虚部为故选D.3.在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：方差与标准差答案：B解析：对于A选项，该组数据的平均数为

方差为

对于B选项，该组数据的平均数为

方差为

对于C选项，该组数据的平均数为

方差为

对于D选项，该组数据的平均数为

方差为

因此，B选项这一组的标准差最大

故选B.总结：本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力.4.模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数．当(时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：指数与对数的关系对数型函数模型的应用答案：C解析：，所以，则，

所以，，解得

故选C.总结：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力.5.设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若则的焦点坐标为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：抛物线的定义抛物线的对称性答案：B解析：因为直线​与抛物线​交于​两点，且​，根据抛物线的对称性可以确定​，所以​，

代入抛物线方程​，求得​，所以其焦点坐标为​，故选B.总结：该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标.6.已知向量，满足​，​，​，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：向量的模数量积的运算律向量的数量积的定义向量的夹角答案：D解析：​，​，​，​.​，

因此，​.

故选D.7.在中，，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：余弦定理及其应用答案：A解析：在​中，，​

根据余弦定理：​即，​

可得​

，即，

又，​

故​.

故选A.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：三视图棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积答案：C解析：根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

​

根据立体图形可得：，​

根据勾股定理可得：​

​是边长为的等边三角形

根据三角形面积公式可得：，​

该几何体的表面积是：​.

故选C.总结：本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力.9.已知，则

（

）A.

B.

C.

D.

知识点：两角和与差的正切公式答案：D解析：​，​，

令​，则​，整理得​，解得，即​.

故选D.总结：本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值.10.若直线与曲线和都相切，则的方程为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：导数的几何意义直线和圆相切答案：D解析：设直线在曲线​上的切点为​，则​，

函数​的导数为​，则直线的斜率​，

设直线的方程为​即​，

由于直线与圆​相切，则​，

两边平方并整理得​，解得​（舍），

则直线的方程为​，即​

.

故选D.总结：本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且​．若​的面积为，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：双曲线的离心率三角形的面积（公式）双曲线的标准方程双曲线的定义答案：A解析：​，根据双曲线的定义可得​，​，即，

，​，

，​即​，解得，

故选A.12.已知，．设，，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：基本不等式的综合应用对数式的大小的比较指数（型）函数的单调性指数与对数的关系对数的运算性质对数的换底公式及其推论答案：A解析：由题意可知​，​，​；由​，得，由，得，，可得.

由​，得，由，得，，可得；

综上所述，​.

故选A.总结：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力.13.若，满足约束条件，则的最大值为

​．知识点：简单的线性规划问题答案：7解析：不等式组所表示的可行域如图，因为​，所以​，易知截距越大，则越大，平移直线​，当​经过点时截距最大，此时最大，由​，得​，

所以​故答案为7.​14.的展开式中常数项是

​（用数字作答）．知识点：二项式定理的应用答案：解析：​其二项式展开通项：​

​​

当​，

解得,​的展开式中常数项是：​.

故答案为.总结：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握​的展开通项公式​，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为

​．知识点：与球有关的切、接问题球的体积圆锥的结构特征及其性质答案：解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中​，，且点边上的中点，设内切圆的圆心为，

​

由于​，故​，设内切圆半径为，则：​

​，

解得​，其体积​.

故答案为​.16.关于函数（）

有如下四个命题：

①（）的图象关于轴对称．

②（）的图象关于原点对称．

③（）的图象关于直线对称．

④（）的最小值为．

其中所有真命题的序号是

​．知识点：利用诱导公式化简角与的三角函数值之间的关系函数的最大(小)值角与的三角函数值之间的关系三角函数值在各象限的符号函数奇、偶性的图象特征函数奇、偶性的定义函数的对称性正弦（型）函数的定义域和值域答案：②③解析：对于命题①，，​，则​，

所以，函数（）的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数（）的定义域为​，定义域关于原点对称，

​，

所以，函数（）的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，​，

​，则​，

所以，函数（）的图象关于直线​对称，命题③正确；对于命题④，当​时，​，则​，命题④错误.

故答案为②③.17.设数列满足，．(1)计算，，猜想的通项公式并加以证明；(2)求数列的前项和．知识点：数列的递推公式数学归纳法的应用错位相减法求和*数学归纳法答案：(1)由题意可得​，​，

由数列​的前三项可猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，即​，

证明如下：当时，​成立；

假设时，​成立.

那么​时，​也成立.

则对任意的​，都有​成立；(2)由（）可知，​，①​

​，②由①②得：​​，

即.​解析：(1)利用递推公式得出​，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；(2)由错位相减法求解即可.总结：(2)本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市

天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次

空气质量等级（优）（良）（轻度污染）（中度污染）(1)分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)若某天的空气质量等级为或，则称这天空气质量好；若某天的空气质量等级为或，则称这天空气质量不好．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次人次空气质量好

空气质量不好

附：，

知识点：众数、中位数和平均数独立性检验及其应用用频率估计概率频数分布表和频数分布直方图答案：(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为​，

等级为的概率为​，

等级为的概率为​，

等级为的概率为.​(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为.​(3)​列联表如下：

人次人次空气质量好空气质量不好​，

因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.解析：(1)根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为，，，的概率；(2)利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果；(3)根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论.总结：(3)本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.​​19.如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

(1)证明：点在平面内；(2)若，，，求二面角的正弦值．知识点：立体几何中的四点共面、三点共线基本事实4用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1)在棱上取点，使得，连接、

​​在长方体中，且，且，

​，，且，所以，四边形​为平行四边形，则​且，

同理可证四边形​为平行四边形，​且，​且，则四边形​为平行四边形，

因此，点​在平面​内；(2)以点为坐标原点，、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系​，则，

，,​设平面的法向量为，由​，得​取​，得​，则​，

设平面​的法向量为​，由​，得​，

取​，得​，则​，​

​，

设二面角​的平面角为​，则​，​.

因此，二面角​的正弦值为​.解析：(1)连接​，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；(2)以点为坐标原点，、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系​，利用空间向量法可计算出二面角​的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.总结：(2)本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．(1)求的方程；(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．知识点：椭圆的离心率椭圆的标准方程椭圆的定义直线与椭圆的综合应用三角形的面积（公式）直线与圆锥曲线的其他应用答案：(1)​​，

根据离心率​，解得​或​(舍)，

​的方程为：​，即​；(2)点在上，点在直线上，且​，​，

过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图

​​​

​

又​，​，

根据三角形全等条件“”，可得：​，

​，​，

​，

设点为​，可得点纵坐标为​​

将其代入，可得：​，

解得：​或

点为​或​，

①当点为时，故​，​，​，

可得：点为，画出图象，如图

​

​，

可求得直线的直线方程为：​，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：​，

根据两点间距离公式可得：​，

​面积为：​；

②当点​时，故​，

​，

​，可得：点为，画出图象，如图

​

​，

可求得直线的直线方程为：​，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：​，

根据两点间距离公式可得：​，

​面积为​

综上所述，面积为.解析：(1)因为，可得，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；(2)点在上，点在直线上，且​，​，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得​，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.21.设函数，曲线在点处的切线与轴垂直．(1)求．(2)若有一个绝对值不大于的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．知识点：利用导数求曲线的切线方程（斜率）导数的几何意义利用导数解决函数零点问题答案：(1)因为​，

由题意，​，

即​则​；(2)由（1）可得​，​

令​，得​或；

令，得​，所以​在上单调递减，

在​上单调递增，

且​，，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，

则​或，

即​或.当时，​

又​，

由零点存在性定理知在​上存在唯一一个零点，

即在​上存在唯一一个零点，在​上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当​时，​

又​，

由零点存在性定理知在​上存在唯一一个零点，

即在​上存在唯一一个零点，在​上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，所有零点的绝对值都不大于1.解析：(1)利用导数的几何意义得到​，解方程即可；(2)由（1）可得​，易知​在​上单调递减，在​，上单调递增，且​，，采用反证法，推出矛盾即可.总结：(2)本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于两点．(1)求；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．知识点：简单曲线的参数方程两点间的斜率公式两点间的距离极坐标和直角坐标的互化直线的斜率答案：(1)令​，则​，解得或（舍），

则​，即​

.

令，则​，解得或（舍），

则​，即​

​(2)由（1）可知​，

则直线的方程为​，即​.

由​可得，

直线的极坐标方程为​

.解析：(1)由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出​的值；(2)由的坐标得出直线的直角坐标方