新北师大版七年级下册第三章三角形同步练习题

新北师大版七年级下册第三章三角形同步练习题3.1认识三角形A.知识导航1.三角形的有关概念三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形。组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，两条边相接的点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角。2.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3.三角形的角平分线、中线、高在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线。连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。2.如果三角形的一边为5cm，一边为7cm，则第三边的取值范围是？根据三角形的三边关系，第三边的取值范围为5+7<第三边<7-5，即2<第三边<12。3.三角形三个内角中，最多有（）个直角，最多有（）个钝角，最多有（）个锐角，至少有（）个锐角。最多有1个直角，最多有2个钝角，最多有3个锐角，至少有1个锐角。4.在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=_______度。由角平分线的性质可知，∠BOC=∠A/2+∠C/2，又∠BOC=132°，∠C=∠B，代入可得∠A=72°。5.已知a，b，c是△ABC的三边，a=2，b=5，且三角形的周长是偶数，求c=______；判断△ABC的形状为__________。由周长为偶数可知，c为偶数，而且c的取值范围为3<c<7。因为a和b的和小于c，所以△ABC为非常规三角形。6.三角形中，若最大内角等于最小内角的2倍，最大内角又比另一个内角大20°，则此三角形的最小内角的度数是________。设最小内角为x，则最大内角为2x，另一个内角为y，则2x=y+20°，解得x=40°。7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:2，则这个等腰三角形的顶角为________。设等腰三角形的顶角为x，则底角为(180°-x)/2，根据条件可得x/(180°-x)=1/2，解得x=60°，所以等腰三角形的顶角为60°。8.在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=_______度。同题4。9.已知△ABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8cm和3cm时，它的周长为_____；②如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为_____。①根据等腰三角形的性质，可知另一条边也为8cm，周长为8+8+3=19cm。②根据等腰三角形的性质，可知另一条边也为6cm，周长为4+6+6=16cm。10.若设a，b，c是△ABC的三边，则a+b+c+a-b-c=2a，化简可得2a=2a，恒成立。二、判断题。1.有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。(错误)2.一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角都是60°。(错误)3.两个内角和是90°的三角形是直角三角形。(正确)4.一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角。(正确)5.在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°。(正确)6、已知一个三角形的两个内角分别为85度和25度，可以确定这个三角形是钝角三角形。三、选择题：1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4，则它可能是钝角或直角三角形。2.如果三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是直角三角形。三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。三角形内角和与外角和定理：1.三角形三个内角的和等于180度。2.直角三角形两锐角互余。3.三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。4.三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。5.三角形三个外角的和等于360度。6.认识直角三角形：直角三角形的表示方法、性质：直角三角形两锐角互余。B.同步练习一、填空题：1.在△ABC中，∠A=40度，∠B=∠C，则∠C=100度。3.等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，则腰长AC的长为6cm。4.在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是5cm。5.已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形是直角三角形。6.已知三角形的三边分别为2、a、4，那么a的范围是1＜a＜5。三、解答题：1.（1）画出∠C的平分线CD。（2）画出BC边上的中线AE。（3）画出△ABC的边AC上的高BF。2.∠EDF=22度。3.∠F的度数为34度。4.如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠C=32°，∠D=28°，求∠P的度数。答案：∠P=68°6.已知在△ABC中，∠A＝62°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且BO、CO相交于O，求∠BOC的度数。答案：∠BOC=58°7.如图，已知在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，求BC的长。答案：BC=83.2图形的全等A.知识导航1.两个能够重合的图形称为全等图形。2.全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。B.同步练习一、选择题1.全等图形是指两个图形（C）。A.大小相同B.形状相同C.能够重合D.相等2.下面不是全等图形的性质特征的是（C）。A.大小相同B.形状相同C.颜色相同D.周长相同3.两个全等图形中可以不同的是（A）。A.位置B.长度C.角度D.面积4.一个正方形的侧面展开图有（C）个全等的正方形。A.2个B.3个C.4个D.6个5.下列各组中可能不是全等形的是（D）。A.两条长度相等的线段B.两个大小相等的角C.两条长度相等的圆弧D.两条互相垂直的直线二、填空题6.请你写出生活中的一组全等图形。答案：两张相同的邮票、两个相同的饼干等。7.两个正方形具有条件时能成为全等图形。答案：两个正方形的边长相等。8.把2张纸叠在一起，用剪子随意剪出一个图形，把剪得的2个图形摆放在桌面上，比较一下，它们全等吗？能够重合的两个图形叫全等图形，由此可知，全等图形的形状一定相同，大小一定相同。9.请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形。三、解答题10.找出下列图中的全等图形。答案：(1)△ABC≌△DEF(2)△ABC≌△PQR11.把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来。答案：略12.把一个正方形划分成四个全等的部分，这个问题对于各位同学来说易如反掌，图1和图2是小明和小彬的分划图，但请他们将正方形分成五个全等的部分时，他们一时感到为难，你会吗？答案：略13.如图，把这个丁字形分成四个全等的部分，试试看。答案：略1.如图1，已知AC=BD，要使得△ABC≌△DCB，还需要增加一个条件，即∠ABC=∠DCB。2.如图2，(1)连接AD后，当AD=BD，AB=AC，BD=CD时，可以用“SSS”得到△ABD≌△DCA。(2)连接BC后，当AB=DC，BC=AC，AC=BD时，可以推得△ABC≌△DCB。3.如图4，若AB=CD，AD=CB，∠B=25°，则∠D=65°。1.三角形的判定和性质可以分为边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、定角角边（AAS）、斜边和一条直角边（HL）以及边边边（SSS）等。全等三角形必须有一组边对应相等，同时全等三角形的面积也相等。2.证题的思路可以根据已知条件来找夹角、直角和第三边等，也可以根据已知边和角来找已知角的另一边或已知边的对角等。4.如图5，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=90°。5.选项A、B、C中都可以判定△ABC与△DEF全等，选项D不能判定。6.如图6，AB=CD，AC=BD，可以用“SAS”证明△ABC≌△DCB。7.如图7，根据平行线性质，可以得到三角形ABD与三角形CFD相似，因此可以列出比例式9/BD=5/(BD+EF)，解得BD=15/7。1.如图8，△ABC是等边三角形，若在它的边上有一点与这条边所对的角的顶点的连线恰好将△ABC分成两个全等三角形，则这样的点共有（）。A.1个B.3个C.4个D.9个2.如图9，小民用五根木条钉成如图所示的两个三角形，且AB=AC，BD=CD，若△ABD为锐角三角形，则△ACD中的最大角a的取值范围是（）。A.30°≤a<60°B.45°≤a<60°C.45°≤a<90°D.60°≤a<90°3.如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB，那么AE=CE吗？4.如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC，能否找出与AB+AD相等的线段，并说明理由。5.如图所示，BC=DE，BE=DC，求证：（1）BC∥DE；（2）∠A=∠ADE。6.已知如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，点E在DC上，求证：AD+BC=AB。解答题：1.已知AB=CD，AE=CE，AD=BC（如下图），∠A=∠C吗？为什么？2.如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE=CF，BD与DC相等吗？为什么？能力提升：全等三角形问题中常见的辅助线的作法一、倍长中线（线段）造全等1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE。二、截长补短2.如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC。四、借助角平分线造全等5.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：AOE=OD。注：文章中的格式错误已被删除，段落已经调整，每段话也进行了小幅度的改写。五、旋转在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且BE+DF=EF，求∠EAF的度数。解法：将△BEF绕点F逆时针旋转90°，得到△DFG，其中G在AD上。由于BE+DF=EF，所以△BEF和△DFG的两条直角边分别相等，即∠EBF=∠FDG，∠BEF=∠GDF。又因为ABCD是正方形，所以∠ABD=45°，∠FDC=45°，∠GDC=90°，∠GDF=45°，所以∠EAF=∠EBF+∠ABD+∠FDC+∠GDC+∠GDF=45°+45°+45°=135°。三、平移变换在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE。解法：作平移变换，将△ABD平移到△ACE上，使点A重合。则D、E分别平移到D'、E'，且D'E'=DE。由于BD=CE，所以AD'=AE'，所以AD+AE=AD'+AE'=D'E'<AB+AC，所以AB+AC>AD+AE。七、尺规作图已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m。解法：先作出△ADC，使DC=b，然后作出中线AE，使AE=m。以E为圆心，AE为半径作圆，与线段DC交于点F。连接BF，交线段AD于点G，则△ABC即为所求。3.5利用三角形全等测距离A.知识导航利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。运用全等三角形解决实际问题的步骤：先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；根据实际问题抽象出几何图形；结合图形和题意分析已知条件；找到解决问题的途径。B.同步练习一、训练平台1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）B．用尺规作一个角等于已知角2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．如图所示，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=36°，∠C=44°，•请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形，不写画法，但要在所画的三角形中标出用到的数据，并说明符合条件的三角形共有多少个．选择数据：a=5cm，b=3cm，∠B=36°，∠C=44°符合条件的三角形共有两个。二、填空题4．如图，使用直尺作图，看图填空：(1)过点A和B作直线AB；（2）连接线段BC；（3)以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交∠AOB两边于点C，D．三、解答题6．如图所示，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，夹这个角的两边分别为2a和a．作法：以a为半径作圆，以∠α为圆心角作弧，分别交圆上两点B、C，以B、C为顶点，a为底边作等腰三角形ABC，则∠BAC=∠α，AB=AC=2a。7．如图，已知线段a，用尺规作△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．作法：以a为半径作圆，以A为圆心作弧，分别交直线AB、AC于点D、E，连接DE，以DE为底边，BC为等腰边作等腰三角形BCE，则AB=BC=2a，AC=2BC=a+2a=3a。四、作图题8．如图所示，已知∠α和线段L，求作等腰三角形ABL，使其底角∠B=∠α，腰长AB=L．作法：以L为底边，以∠α为顶角作等腰三角形ALB，则∠BAL=∠ABL=∠α。如图所示，找到一点P，使得AP=PD，BP=PC，并且CD=35m。这时候可以发现，AB也等于35m。这是因为A