高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。2.复数就像向量，有大小和方向。3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。③方程ax²＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0(a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0。④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。其中类比得到的结论正确的是：A.①③B.②④C.②③D.①④2.删除明显有问题的段落。3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1。12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4。13.第n个正方形数是n²。14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。4.解答题：15.(1)F(x)的单调区间为(-∞,0)和(2,+∞)。(2)F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9。16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。将两个式子相加得到AB²+AC²=2AD²+DB²+DC²。因为AB=BC，所以AB²=BC²，代入得到BC²+AC²=2AD²+DB²+DC²。因为AD⊥BC，所以AD²=DB·DC。代入得到BC²+AC²=2AD²+AD²，即BC²+AC²=2AB²。所以结论成立。在四面体A-BCD中，类比上述结论，可以得到AB²+AC²+AD²=2BC²+2CD²+2BD²，即AB²+AC²+AD²=4(BD²+CD²)。17.已知函数f(x)=x^3+ax^2-3x(a∈R)。(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，则a的取值范围为a≤-2。(2)若x=是函数f(x)的极值点，是否存在实数b，使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由。不存在。因为函数f(x)的极值点为x=，而f(x)的导数f'(x)=3x^2+2ax-3=3(x-)(x+a/3+1)。当x<-a/3-1或x>时，f'(x)>0，故函数f(x)在(-∞,-a/3-1)和(,∞)上均单调递增，不存在与函数g(x)=bx的图像恰有3个交点的情况。18.已知数列{an}满足a1=a，an+1=。(1)求a2，a3，a4；a2=a+，a3=a+，a4=a+。(2)猜想数列{an}的通项公式为an=a+(-1)n-1n(a-1)，其中n∈N*。证明：当n=1时，a1=a+(-1)^0×1×(a-1)=a，命题成立。假设当n=k(k∈N*，且k≥1)时，命题成立，即ak=a+(-1)k-1k(a-1)。则当n=k+1时，ak+1=ak+(-1)k=a+(-1)k-1k(a-1)+(-1)k=a+(-1)kk+1(a-1)。故当n=k+1时，命题也成立。由数学归纳法可知，对于任意的n∈N*，都有an=a+(-1)n-1n(a-1)，即数列{an}的通项公式为an=a+(-1)n-1n(a-1)。8.选D②中，当$z^2$为实数时，$|z|^2$为实数，但$z^2$不一定是实数。③中，复数集不能比较大小，也不能用$b^2-4ac$来确定根的个数。9.选C。根据题意，$x+y/x+y+x+y/x+y+x+y/x+y=1+x/1+y+1+x/1+y+1+x/1+y$。因此，$1+x/1+y+1+x/1+y+1+x/1+y>1$，即$x+y/x+y+x+y/x+y+x+y>x+y/1+y+x+y/1+y+x+y/1+y$，即$x+y/1+y<x+y/x+y+x+y$。因此，$x+y/1+y<x+y$，即$x+y/xy<1$，即$x+y/xy-1<0$，即$(x-1)(y-1)<0$，即$x>1,y<1$或$x<1,y>1$。10.选C。由题意可得，$f(x)$在$x=-2$处取得极小值，因此$x<-2$或$x>-2$时，$f(x)$单调递增或递减，$x=-2$时，$f(x)$取得极小值。又因为$f'(x)<0$时$f(x)$单调递减，$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增，因此当$x<-2$时，$f'(x)<0$，$xf'(x)>0$；当$-2<x<0$时，$f'(x)>0$，$xf'(x)<0$；当$x>0$时，$f'(x)>0$，$xf'(x)>0$。11.解析：由题意可得，$z=-i=-i^2-3i-i=1-4i$，因此$|z|=\sqrt{1^2+4^2}=17$。12.解析：由题意可得，直线$y=kx+1$与曲线$y=x^3+ax+b$相切于点$A(1,3)$，因此$k=3+a$，$3=1+a+b$，$k=3a^2$。解得$a=-1,b=3$，因此$2a+b=1$。13.解析：观察前5个正方形数，发现它们恰好是序号的平方，因此第$n$个正方形数为$n^2$。14.解析：根据面积公式，在$\triangleABC$中，$S_{\triangleOBC}=1-\frac{OA'}{AA'}$，$S_{\text{四边形}ABOC}=\frac{S_{\triangleABC}}{3}$。因此，$S_{\triangleOBC}+S_{\triangleOAC}+S_{\triangleOAB}=3-\frac{S_{\triangleABC}}{3}=2S_{\triangleABC}$。根据体积分割方法，同理可得在四面体$ABCD$中，$V_{\text{四面体}ABCD}=4V_{\triangleABCD}-V_{\triangleABC}$，因此$V_{\text{四面体}ABCD}+V_{\text{四面体}AA'BB'CC'DD'}=3V_{\triangleABCD}=2V_{\text{四面体}ABCD}$。解得$V_{\text{四面体}ABCD}=2V_{\triangleABCD}=2/3V_{\triangleABC}=2/3(3/4S_{\triangleABC})=1/2S_{\triangleABC}=2$。15.解：$F(x)=\int_{-1}^x\frac{3t-2t^2}{t^2-4t}dt=\int_{-1}^x\frac{3(t-2)-6}{t-4}dt=3\int_{-1}^x\frac{dt}{t-4}-2\int_{-1}^x\frac{dt}{t-2}=\frac{3}{2}\ln|t-4|-2\ln|t-2|+C$。因此，$F'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-4}-\frac{2}{x-2}$。当$F'(x)>0$时，$x<2$或$x>4$；当$F'(x)<0$时，$2<x<4$。因此，$F(x)$的单调递增区间为$(-\infty,2)$和$(4,+\infty)$，单调递减区间为$(2,4)$。又因为$F(1)=\frac{1}{3}\int_{-1}^1\frac{3t-2t^2}{t^2-4t}dt=\frac{1}{3}\int_{-1}^1\frac{3(t-2)-6}{t-4}dt=-2$，因此$F(5)=F(1)+\int_1^5F'(x)dx=-2+\int_1^4\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-4}-\frac{2}{x-2}\right)dx=-\frac{11}{3}$。因此，$F(5)=\frac{1}{3}(3-F(1))=\frac{7}{3}$。18.解：(1)由$a_{n+1}=\frac{2}{2-a_n}$可得$$a_2=\frac{2}{2-a_1},\quada_3=\frac{2}{2-a_2}=\frac{2}{2-\frac{2}{2-a_1}},\quada_4=\frac{2}{2-a_3}=\frac{2}{2-\frac{2}{2-\frac{2}{2-a_1}}},\cdots$$推导可得$$a_n=\frac{2^n-2^{1-n}}{2^n+2^{1-n}}=\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{2^n}}$$(2)略。下面使用数学归纳法证明：对于任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$n-(n-1)a=\frac{a}{n}$。当$n=1$时，左边为$a$，右边为$\frac{a}{1}=a$，结论成立。假设当$n=k$时等式成立，即$k-(k-1)a=\frac{a}{k}$，则当$n=k+1$时，有：\begin{align*}&(k+1)-ka\\=&(k+1)-(k-(k-1)a)a\\=&(k+1)-(k+1)a+(k-1)a^2\\=&\frac{a}{k}-(k+1)a+(k-1)a^2\\=&\frac{a}{k}-ka+a-2a+(k-1)a^2\\=&\f