八年级数学竞赛讲座等腰三角形的性质附答案

八年级数学竞赛讲座等腰三角形的性质附答案第十一讲：等腰三角形的性质等腰三角形是一类特殊的三角形，根据边或角是否相等进行分类，其中两边或两角相等的三角形属于等腰三角形。等腰三角形具有以下性质：两底角相等，是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合（即三线合一）。特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°。在解决与等腰三角形相关的问题时，全等三角形仍然是重要的工具。但更多的是思考如何运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据。因此，我们应该重视全等三角形的运用，同时也要善于运用等腰三角形的性质，探求新的解题途径。例题求解：例1：题目描述一座钢架，需要在其内部添加一些钢管，使其更加坚固。已知钢架底角∠AOB为10°，添加的钢管长度都与OE相等，问最多能添加多少根钢管。解题思路：通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值。在三角形中，角度是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富。等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系。因此，我们可以运用这些知识来解决这道问题。例2：题目描述一个三角形ABC，已知AB=AC，BG=BH，AK=KG，求∠BAC的度数。解题思路：图中有很多相关的角，我们可以用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程。例3：题目描述一个直角三角形ABC，已知AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB=∠CDF，请说明理由。解题思路：本例是探索条件的问题，我们可以先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件。若∠ADB=∠CDF，这一结论如何用？因为∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，所以我们需要构造全等三角形。作顶角的平分线或底边上的高（中线）是等腰三角形中一条常用辅助线。例4：题目描述一个直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BE。证明：BD是∠ABC的角平分线。解题思路：我们可以先证明△ABE≌△CED，再证明∠ABD=∠CBD。通过等腰三角形的性质，我们可以得到AE=BE=CE，从而得到△ABE≌△CED。接着，我们可以利用直角三角形中的内角和定理和外角定理，证明∠ABD=∠CBD。最终，我们可以得出结论：BD是∠ABC的角平分线。【例5】在△ABC中，已知∠C＝60°，AC>BC，且△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，BC＝DC，点D在AC上。(1)证明：△C′BD≌△B′DC；(2)证明：△AC′D≌△DB′A；(3)从面积大小关系上，得出结论。解析：(1)由于BC＝DC，且∠C＝∠B′DC，因此△C′BD≌△B′DC（SAS）。(2)因为△ABC′、△BCA′、△CAB′都是等边三角形，所以AC′＝BC，CA′＝AB，BA′＝AC。又因为∠C＝∠B′DC，所以∠C′BD＝∠BDC，∠B′CD＝∠BCD，∠AC′D＝∠ABD。因此，根据ASA准则，可得出△AC′D≌△DB′A。(3)因为△ABC′、△BCA′、△CAB′都是等边三角形，所以它们的面积相等。又因为AC>BC，所以△ABC的面积大于△ABC′、△BCA′、△CAB′的面积之和。学力训练：1.添加的条件为∠BAC=60°。2.底边长为21cm。3.∠DPF=70°。4.∠ABC的大小为60°。5.D．80°或140°。6.三个结论正确。7.在三角形ABC中，角ACB为直角，AC=AE，BC=BF，则角ECF的度数为30°。8.在等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则角APE的度数为75°。9.在三角形ABC中，已知AB=AC，且过三角形ABC某一顶点的直线可将三角形ABC分成两个等腰三角形，求三角形ABC各内角的度数。答案为60°。10.(1)FE、GH、BC共线；GH、AD、BE共线；FE、AD、BC共线。(2)由于FE、GH、BC共线，所以它们的位置关系是共线的。证明略。11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为DC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F。证明：AB垂直平分DF。12.在等边三角形ABC内，点O满足BD=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，则∠BED的度数为60°。13.在三角形ABC中，AA'、BB'分别是∠EAO、∠DBC的平分线，若AA'=BB'=AB，则∠BAC的度数为120°。14.周长为100，边长为整数的等腰三角形共有9种。15.已知等腰三角形的两边a、b满足2a-3b+5+(2a+3b-13)^2=0，则此等腰三角形的周长为10。16.在三角形ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是30°。17.在等腰直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互