浙江大学《概率论与数理统计》（第5版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】

第一部分考研真题精选

一、选择题

 

1设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为（）。[数一2020研]

A．3/4

B．2/3

C．1/2

D．5/12

【答案】D查看答案

【解析】只发生A事件的概率：

只发生B事件的概率：

只发生C事件的概率：

A，B，C中恰有一个事件发生的概率：

故选择D项。

 

2设A，B为随机事件，则P（A）＝P（B）的充分必要条件是（）。[数一2019研]

A．P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

B．P（AB）＝P（A）P（B）

C．P（AB(＿)）＝P（BA(＿)）

D．

【答案】C查看答案

【解析】选项A只能说明事件A与事件B不相容，选项B只能说明事件A与事件B相互独立，并不能说明P（A）＝P（B），对选项D来说，若令B＝A(＿)，等式恒成立，亦不能说明P（A）＝P（B），故选C。

 

3若A，B为任意两个随机事件，则（）。[数一、数三2015研]

A．P（AB）≤P（A）P（B）

B．P（AB）≥P（A）P（B）

C．P（AB）≤（P（A）＋P（B））/2

D．P（AB）≥（P（A）＋P（B））/2

【答案】C查看答案

【解析】由于AB?A，AB?B，按概率的基本性质，有P（AB）≤P（A）且P（AB）≤P（B），从而P（AB）≤（P（A）＋P（B））/2，故选C项。

 

4设事件A，B相互独立，P（B）＝0.5，P（A－B）＝0.3则P（B－A）＝（）。[数一、数三2014研]

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

【答案】B查看答案

【解析】P（A－B）＝0.3＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）－0.5P（A）＝0.5P（A），故P（A）＝0.6，P（B－A）＝P（B）－P（AB）＝0.5－0.5P（A）＝0.2。

 

5设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X－Y|＜1}（）。[数一2019研]

A．与μ无关，而与σ2有关

B．与μ有关，而与σ2无关

C．与μ，σ2都有关

D．与μ，σ2都无关

【答案】A查看答案

【解析】因为X，Y相互独立且都服从N（μ，σ2），记Z＝X－Y，则Z服从N（0，2σ2）分布，P{|Z|＜1}只与σ2有关，因此P{|X－Y|＜1}与μ无关，而与σ2有关，故选A。

 

6设随机变量X的概率密度f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且

则P{X＜0}＝（）。[数一2018研]

A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.5

【答案】A查看答案

【解析】由f（1＋x）＝f（1－x），知f（x）的图像关于x＝1对称，利用特殊值法：将f（x）看成随机变量X～N（1，σ2）的概率密度，根据正态分布的对称性，P{X＜0}＝0.2。

 

7设随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），记p＝P{X≤μ＋σ2}，则（）。[数一2017研]

A．p随着μ的增加而增加

B．p随着σ的增加而增加

C．p随着μ的增加而减少

D．p随着σ的增加而减少

【答案】B查看答案

【解析】因为p＝P{X≤μ＋σ2}＝P{（X－μ）/σ≤σ}＝Φ（σ），所以p的大小与μ无关，随着σ的增大而增大。

 

8设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N（0，1），X2～N（0，22），X3～N（5，32），Pi＝P{－2≤Xi≤2}（i＝1，2，3），则（）。[数一、数三2013研]

A．P1＞P2＞P3

B．P2＞P1＞P3

C．P3＞P1＞P2

D．P1＞P3＞P2

【答案】A查看答案

【解析】由X1～N（0，1），X2～N（0，22），X3～N（5，32），知

P1＝P{－2≤X1≤2}＝P{|X1|≤2}＝2Φ（2）－1

P2＝P{－2≤X2≤2}＝P{－1≤X2/2≤1}＝P{|X2/2|≤1}＝2Φ（1）－1

故P1＞P2，由X3～N（5，32）及概率密度的对称性知，P1＞P2＞P3。

 

9设随机变量X的分布函数为，则P{X＝1}＝（）。[数一，数三2010研]

A．0

B．1/2

C．1/2－e－1

D．1－e－1

【答案】C查看答案

【解析】P{X＝1}＝F（1）－F（1－0）＝1－e－1－1/2＝1/2－e－1。

 

10设随机变量（X，Y）服从二维正态分布N（0，0；1，4；－1/2），下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是（）[数三2020研]

A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案

【解析】由二维正态的性质知X＋Y～N（μ，σ2），因

μ＝E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0

故

又服从二维正态分布，而

故与X不相关，由二维正态的性质知，与X独立。

故应选C项。

 

11设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{X＜Y}＝（）。[数一2012研]

A．1/5

B．1/3

C．2/5

D．4/5

【答案】A查看答案

【解析】已知X～E（1），Y～E（4），故概率密度

从而（X，Y）联合概率密度为

则

 

12设随机变量X，Y不相关，且EX＝2，EY＝1，DX＝3，则E[X（X＋Y－2）]＝（）。[数一2015研]

A．－3

B．3

C．－5

D．5

【答案】D查看答案

【解析】随机变量X，Y不相关，因此E（XY）＝E（X）E（Y），进而得

E[X（X＋Y－2）]＝E（X2＋XY－2X）＝E（X2）＋E（XY）－2E（X）＝D（X）＋E2（X）＋E（X）·E（Y）－2E（X）＝3＋22＋2×1－2×2＝5

故选D项。

 

13设总体X～B（m，θ），X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本，X(＿)为样本均值，则＝（）。[数三2015研]

A．（m－1）nθ（1－θ）

B．m（n－1）θ（1－θ）

C．（m－1）（n－1）θ（1－θ）

D．mnθ（1－θ）

【答案】B查看答案

【解析】根据样本方差的性质，有E（S2）＝D（X）＝mθ（1－θ）。

从而

故选B项。

 

14设连续型随机变量X1，X2相互独立，且方差均存在，X1，X2的概率密度分别为f1（x），f2（x），随机变量Y1的概率密度为，随机变量Y2＝（X1＋X2）/2，则（）。[数一2014研]

A．EY1＞EY2，DY1＞DY2

B．EY1＝EY2，DY1＝DY2

C．EY1＝EY2，DY1＜DY2

D．EY1＝EY2，DY1＞DY2

【答案】D查看答案

【解析】

 

15设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（μ，σ2）（σ＞0）的简单随机样本，令

则（）。[数三2018研]

A．

B．

C．

D．

【答案】B查看答案

【解析】因为

所以

根据抽样定理得：

又X(＿)与S2相互独立，所以

 

16设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（μ，1）的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）。[数一2017研]

A．服从χ2分布

B．2（Xn－X1）2服从χ2分布

C．服从χ2分布

D．n（X(＿)－μ）2服从χ2分布

【答案】B查看答案

【解析】A项，Xi－μ～N（0，1），故

B项

即（Xn－X1）2/2～χ2（1）。

C项，由

D项，（X(＿)－μ）～N（0，1/n），则，所以n（X(＿)－μ）2～χ2（1）。

 

17设X1，X2，X3