考研数学（一）历年真题与模拟试题详解

第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1设函数则f′（x）的零点个数为（）。A．0B．1C．2D．3【答案】B查看答案【考点】函数求导公式【解析】由题意得f′（x）＝2xln（2＋x2），且ln（2＋x2）≠0，所以x＝0是f′（x）的唯一零点，故应选B项。2函数f（x，y）＝arctan（x/y）在点（0，1）处的梯度等于（）。A．i(→)B．－i(→)C．j(→)D．－j(→)【答案】A查看答案【考点】梯度的定义和求法【解析】由梯度定义得3在下列微分方程中，y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3是任意常数）为通解的是（）。A．y‴＋y″－4y′－4y＝0B．y‴＋y″＋4y′＋4y＝0C．y‴－y″－4y′＋4y＝0D．y‴－y″＋4y′－4y＝0【答案】D查看答案【考点】齐次线性微分方程的特征多项式、特征值、通解【解析】因为y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3是任意常数）为通解，所以微分方程的特征值为1，±2i，于是特征多项式为（λ－1）（λ－2i）（λ＋2i）＝0，即λ3－λ2＋4λ－4＝0。故微分方程为y‴－y″＋4y′－4y＝0。4设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（）。A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛C．若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛D．若{f（xn）}单调，则{xn}收敛【答案】B查看答案【考点】极限收敛的单调有界定理【解析】对于B项，若{xn}单调，而由题设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界知，{f（xn）}单调有界，从而收敛。故选择B项。5设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则（）。A．E－A不可逆，E＋A不可逆B．E－A不可逆，E＋A可逆C．E－A可逆，E＋A可逆D．E－A可逆，E＋A不可逆【答案】C查看答案【考点】矩阵可逆的定义及矩阵的运算法则【解析】由A3＝O得，A3＋E＝E⇒（A＋E）（A2－A＋E）＝E，所以A＋E可逆。由A3＝O得，A3－E＝－E⇒（E－A）（A2＋4＋E）＝E，所以E－A可逆。因此，选择C项。6设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图1所示，则A的正特征值的个数为（）。图1A．0B．1C．2D．3【答案】B查看答案【考点】考查双叶双曲面，特征值与标准型的关系【解析】图1为双叶双曲面，其方程的标准型为在题设条件下，矩阵A的正特征值的个数就是标准方程中正项的项数，故A的正特征值的个数为1。7设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（）。A．F2（x）B．F（x）F（y）C．1－[1－F（x）]2D．[1－F（x）][1－F（y）]【答案】A查看答案【考点】分布函数的定义与求法，相互独立的随机变量的性质【解析】由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为FZ（x），则FZ（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F2（x）8设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρXY＝1，则（）。A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1【答案】D查看答案【考点】考查相关系数的相关概念【解析】方法一：已知1＝ρXY，则X，Y正相关，排除A、C两项。由题意知EX＝0，EY＝1，又E（ax＋b）＝aEx＋b＝1，1＝2×0＋b＝1，可得b＝1，因此排除B项。因此，选择D项。方法二：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρXY＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝ax＋b}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1。而得a＝2，因此，选择D项。二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）9微分方程xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解是y＝______。【答案】1/x查看答案【考点】用分离变量法求解微分方程【解析】xy′＋y＝0⇒y′/y＝－1/x，两边积分得y＝C/x，C为任意常数。将y（1）＝1代入得C＝1，故y＝1/x。10曲线sin（xy）＋ln（y－x）＝x在点（0，1）处的切线方程是______。【答案】y＝x＋1查看答案【考点】切线方程的求法及隐函数的求导【解析】在sin（xy）＋ln（y－x）＝x两边对x求导，将y看成x的函数，得cos（xy）（y＋xy′）＋（y′－1）/（y－x）＝1。则y′（0）＝1，所以在点（0，1）处切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1。11已知幂级数在x＝0处收敛，在x＝－4处发散，则幂级数的收敛域为______。【答案】（1，5]查看答案【考点】考查幂级数的收敛域及级数的收敛性【解析】因为幂级数在x＝0处收敛，在x＝－4处发散，则级数收敛，发散，从而幂级数的收敛域为（－2，2]。故幂级数的收敛域为（－2＋3，2＋3]，即（1，5]。12设曲面∑是的上侧，则______。【答案】4π查看答案【考点】考查高斯公式的条件和利用高斯公式求曲面积分【解析】添加曲面∑1：z＝0，x2＋y2≤4，取下侧，记D＝{（x，y）|x2＋y2≤4}，则可应用高斯公式13设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，Aα1＝0，Aα2＝2α1＋α2，则A的非零特征值为______。【答案】1查看答案【考点】相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值【解析】已知Aα1＝0，Aα2＝2α1＋α2，则令P＝（α1，α2），因为α1，α2线性无关，所以P可逆，故即A，B相似。故A与B有相同的特征值，易求出B的特征值为0，1，所以A的非零特征值为1。14设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P（X＝EX2）＝______。【答案】1/（2e）查看答案【考点】泊松分布的定义，期望的性质【解析】因为随机变量X服从参数为1的泊松分布，则X的概率分布为P（X＝i）＝e－1/i!，则EX2＝DX＋（EX）2＝1＋1＝2，故P{X＝EX2}＝P{X＝2}＝e－1/2＝1/（2e）。三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15（本题满分9分）求极限【考点】考查洛必达法则，等价替换解：16（本题满分9分）计算曲线积分，其中L是曲线y＝sinx上从点（0，0）到点（π，0）的一段。【考点】曲线积分的求法公式及定积分的求法解：17（本题满分11分）已知曲线求曲线C上距离xOy面最远的点和最近的点。【考点】考查点到直线的距离公式，函数的极值解：设曲线上的任意一点为（x，y，z），则（x，y，z）到xOy面的距离为|z|，等价于求函数H＝z2在条件x2＋y2－2z2＝0与x＋y＋3z＝5下的最大值点和最小值点。设F（x，y，z，λ，μ）＝z2＋λ（x2＋y2－2z2）＋μ（x＋y＋3z－5）。由解得或根据几何意义得，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，因为点（－5，－5，5）和（1，1，1）到xOy面的距离分别为5和1。所以，（－5，－5，5）为最远点，（1，1，1）为最近点。18（本题满分10分）设函数f（x）连续，（Ⅰ）利用定义证明函数可导，且F′（x）＝f（x）；（Ⅱ）当f（x）是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数。【考点】可导的定义、周期函数的定义解：（Ⅰ）证明：对任意x，由于函数f连续，所以其中ξ介于x与x＋Δx之间。由可知函数F（x）在x处可导，且F′（x）＝f（x）。（Ⅱ）证明：由于f（x）是以2为周期的周期函数，所以对于任意的x，都有f（x＋2）＝f（x），于是即G（x）也是以2为周期的周期函数。19（本题满分11分）将函数f（x）＝1－x2（0≤x≤π），展开成余弦级数，并求级数的和。【考点】函数的傅立叶展开，级数的和解：由于f（x）为偶函数，于是bn＝0（n＝1，2，…）。计算得当n＝1，2，…时，所以f（x）的余弦展开为令x＝0，则又f（0）＝1，可求得20（本题满分10分）设α，β是3维列向量，矩阵A＝ααT＋ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明：（Ⅰ）r（A）≤2；（Ⅱ）若α，β线性相关，则r（A）＜2。【考点】矩阵秩的性质：r（A＋B）≤r（A）＋r（B）；r（AB）≤min（r（A）＋r（B）证明：（Ⅰ）设B，C是任意m×n矩阵，则r（B＋C）≤r（B）＋r（C）。利用这个结论，有r（A）＝r（ααT＋ββT）≤r（ααT）＋r（ββT）。又由于α，β均为3维列向量，即它们都是3×1矩阵，所以r（ααT）≤r（α）≤1r（ββT）≤r（β）≤1因而r（A）≤r（α）＋r（β）≤2。（Ⅱ）当α，β线性相关，不妨设β＝kα，于是A＝ααT＋ββT＝（1＋k2）ααT。故r（A）＝r[（1＋k2）ααT]＝r（ααT）≤r（α）≤1＜2。21（本题满分12分）设n元线性方程组Ax＝b，其中x＝（x1，x2，…，xn）T，b＝（1，0，…，0）T。（Ⅰ）证明行列式|A|＝（n＋1）an；（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。【考点】用数学归纳法求行列式；线性方程组有唯一解的条件；线性方程组有无穷解的条件及通解的求法解：（Ⅰ）现用数学归纳法证明。当n＝1时，D1＝2a，结论成立。当n＝2时，显然结论成立。假设当n≤k时，结论成立，即Dk＝（k＋1）ak；则当n＝k＋1时，有Dk＋1＝2aDk－a2Dk－1＝2a（k＋1）ak－a2kak－1＝（k＋2）ak＋1，即当n＝k＋1时，结论成立。综上可得，|A|＝（n＋1）an。（Ⅱ）|A|＝（n＋1）an≠0，即当a≠0时，方程组有唯一解。设将A的第一列用b替换后所得矩阵为A1，根据克莱姆法则可得（Ⅲ）当a＝0时，方程组有无穷多解。此时则A＝b的同解方程组为易求得Ax＝b的基础解系为（1，0，…，0）T。又方程组Ax＝b的一个特解为（0，1，…，0）T，所以方程组Ax＝b的通解为x＝k（1，0，…，0）T＋（0，1，…，0）T，其中k为任意常数。22（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1），Y的概率密度为记Z＝X＋Y。（Ⅰ）求P{Z≤1/2|X＝0}；（Ⅱ）求Z的概率密度fZ（z）。【考点】条件概率计算公式，相互独立随机变量的性质，分布函数与密度函数的定义和求法解：（Ⅰ）由已知及条件概率计算公式得（Ⅱ）设z的分布函数为FZ（z），则其值为非零时z的取值区间为[－1，2]。当z≤－1时，FZ（z）＝0；当z≥2时，FZ（z）＝1；当－1＜z＜2时，FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z}＝P{X＋Y≤z|X＝－1}P{X＝－1}＋P{X＋Y≤z|X＝0}P{X＝0}＋P{X＋Y≤z|X＝1}P{X＝1}＝[P{Y≤z＋1}＋P{Y≤z}＋P{Y≤z－1}]/3＝[FY（z＋1）＋FY（z）＋FY（z－1）