2022-2023学年高三数学新高考一轮复习专题3.7函数与方程含解析

Page133.7函数与方程课标要求考情分析核心素养结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.新高考3年考题题号考点数学抽象逻辑推理直观想象2022(Ⅰ)卷22函数零点、方程根个数2021(Ⅱ)卷22函数零点、方程根个数1.函数的零点（1）函数零点的概念对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数（2）特别提醒：①函数的零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标，也是方程fx②函数零点的存在性定理：只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点.2.三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔3.零点存在性定理（1）如果函y=f(x)①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线；②fa则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个也就是方程（2）特别提醒：连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.4.二分法对于在区间上连续不断且fa∙fb<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数1.若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2.图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3.图象连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．4.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.1.【P155T1】下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(

)A. B.

C. D.2.【P155T2】已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)-4-2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(

)A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)考点一判断函数零点、方程的根所在区间【方法储备】判断函数零点所在区间的方法：充分利用三个等价关系，利用化归与转化思想，将零点问题转化为方程根与图象交点问题解决.【典例精讲】例1.(2021·辽宁省沈阳市期中.多选)若a<b<c，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点所在的区间为(

)A.(-∞,a) B.(a,b) C.(b,c)D.(c,+∞)例2.(2021·浙江省杭州市月考)已知函数f(x)=x-x(x>0)，gx=x+ex，hx=x+lnxx>0A.x1<x2<x【名师点睛】1.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.2.对于函数零点、方程根、图象交点三者的转化，可参照“结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系”，加深理解.【靶向训练】练1-1(2022·湖北省武汉市月考)已知a是函数f(x)=lnx+x2-2的零点，则ea-1+a-5A.正数 B.0 C.负数 D.无法判断练1-2(2022·湖南省长沙市月考)函数f(x)=|lnx|-ax恰有两个零点x1，x2，且x1<x2.A.(0,1e3) B.(考点二函数零点、方程的根的个数【方法储备】判断函数y=f(x)在区间a,b1.直接法：令f(x)=0，方程根的个数，即为2.定理法：①要求函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线；②确定函数在区间a,b上的单调性③每一个单调区间内分别确定端点处函数值是否异号，从而确定是否存在零点；3.图象法：①画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；②将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，令f(x)=0⇔hy=g(x)的图象的交点个数4.性质法：①若函数具有奇偶性：y轴左右两侧零点个数相同；②若函数具有周期性：先确定一个周期内的零点的个数，再扩展到整个区间内.【典例精讲】

例3.(2022·江西省九江市模拟)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且其图象关于直线x=1对称，若当x∈[0,1]时，f(x)=x，则F(x)=f(x)-94x-2-A.4 B.5 C.6 D.8

例4.(2022·湖北省黄冈市月考)已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f'(x)，且xf'(x)=x3ex+2f(x)，若f(2)=4eA.1 B.2 C.3 D.4【名师点睛】判断函数零点个数问题，在导数部分的解答题中经常出现，常用定理法解决：利用导数判断函数单调性，含参数时需讨论单调性；每个单调区间内要利用零点存在性定理判断是否存在零点，形成结论.【靶向训练】练2-1(2022·山东省日照市月考)已知函数f(x)=x2+2x-1,x≤0,lnx-3,x>0,则方程f(x)=-2的实数解的个数为A.0 B.1 C.2 D.3练2-2(2022·辽宁省大连市月考)若函数f(x)=|2x-1|,xA.3 B.4 C.5 D.6考点三求与零点有关的参数的取值范围【方法储备】求与零点有关的参数的取值范围，大致分为三个方向：根据函数零点个数求参、根据函数有无零点求参、根据零点的范围求参.常用的求参数的方法有：【典例精讲】例5.(2021·山东省青岛市联考.多选)若函数f(x)=1+ln(x+a)ex有正零点，则实数a的值可以为A.-1 B.13 C.1e例6.(2022·河北省石家庄市模拟)若关于x的方程2x-x2-mx-3=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A.(-∞,-43) B.(-∞,-32]∪(-4【名师点睛】已知函数零点的个数或有无求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题，要将复杂的方程fx=0通过化简变形为g【靶向训练】练3-1(2022·江苏省南京市月考)方程x2+(m-2)x+5-m=0的两个不等的实根都大于2，则m的取值范围是(

)A.(-5,-4) B.-练3-2(2022·广东省深圳市月考)已知函数f(x)=x22,  x<0lnx,     A.(0,1e2) B.(-核心素养系列函数零点的应用函数与方程思想是高中数学的基本数学思想之一,函数y=f(x)可以看成是二元方程g(x,y)=0.通过函数关系,建立方程或方程组,梳理变量间的等量关系,运用方程的性质去分析问题,运用运动和变化的观点研究问题,运用数形结合思想转化问题,进而解决问题,是高中数学基本的解题方法,也是解决函数零点问题的基本思路与方法.【方法储备】函数零点的应用：①已知零点问题求参：上述考点三.②考查各零点的和或与零点有关的代数式的取值范围：求零点的和，两个函数有相同的对称轴或对称中心，利用对称性求和；求零点有关的代数式的取值范围，确定零点的等量关系，将代数式表示成关于一个零点的函数，求值域；③零点存在性问题：零点的存在性问题有别于零点个数问题,此类问题核心是有,多少并不重要.所以,可以从单调性、解方程、数形结合、极值点、零点化简代换等各层面来思考问题的解决.④解决方程根问题：函数的零点就是该函数对应方程的根,解决方程相关问题时，转化为求解零点问题.⑤嵌套函数的零点：通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图像、性质求解.⑥零点与极值点：原函数的极值点转化为导函数的变号零点，再解决问题.（在专题4.3阐述）⑦借助零点解（证明）某些特殊的不等式：一般做法研究单调性、数形结合确定曲线形态,用观察法、解方程等找零点等,特别是超越不等式用此解决的比较多.（如解不等式lnx-1【典例精讲】例7.(2022·江西省吉安市月考)函数f(x)=|x-2|,x≥02x+1,x<0，若x1<x2A.[0,14) B.(0,14] C.(0,12) D.(0,12]

例8.(2021·陕西省西安市模拟)A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)【名师点睛】函数零点常与其他知识综合考查，渗透函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，在高考压轴题中经常出现,题目难度大，所以要搞清零点的概念,研究零点问题的题型,理清零点问题解题思路十分必要.【靶向训练】练4-1(2022·湖北省武汉市月考)已知函数f(x)=aex-x2有两个极值点，则实数a练4-2.(2022·福建省福州市月考.多选)已知函数f(x)=ex,(x≥0)-x2-4x,(x<0)，方程f2(x)-t⋅f(x)=0有四个实数根x1，x2A.x1x4∈(-6ln2,0]

B.x1+x2【易错点归纳】易错点1．函数零点定理使用不当致错函数零点分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力.例9.(2022·广东省深圳市月考)求下列函数的零点，可以采用二分法的是(

)A.f(x)=x4 B.f(x)=tanx+2(-π2<x<π答案解析【教材改编】1.【解析】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．用二分法只能求变号零点的近似值，A、C、D中的零点都是变号零点，但B中的零点是不变号零点，故它不能用二分法求解．故选：B．2.【解析】由所给的函数值的表格可以看出，在x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)上．故选B．【考点探究】例1.【解析】因为a<b<c所以f(a)=(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0，

由函数零点存在性定理可知，在区间(a,b)，(b,c)内分别存在零点，

又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，

因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)，(b,c)例2.【解析】令f(x)=0，g(x)=0，h(x)=0分别得x=x则x1，x2，x3分别为函数y=x在同一平面直角坐标系下作出他们的图象，易得x1=1，x2<0，所以，x2<x3<练1-1【解析】因为y=lnx，y=x2-2在(0,+∞)上为增函数，易知函数f(x)=lnx+x2-2在(0,+∞)上为增函数，又f(1)=ln1+1-2=-1<0，f(2)=ln2+4-2=ln2+2>0，所以存在a∈(1,2)，使练1-2【解析】当a≤0时，f(x)≥0，函数至多一个零点，不符合题意；

当a>0时，考查函数g(x)=|lnx|与h(x)=ax图象易知，g(x)与h(x)图象在区间(0,1)上必有一个交点，

则在区间(1,+∞)上有且仅有一个公共点，当x∈(1,+∞)时，g(x)=lnx，g'(x)=1x，则由题意可得，g(x)和h(x)在(1,+∞)上必然相切，

则1x2=a，且lnx2=ax2，得x2=1a=e，a=1e，当

例3.【解析】函数F(x)=f(x)-94x-2-12(x∈(-7,8))的零点的个数，

即方程f(x)-94x-2-12=0在(-7,8)上的解的个数，

也就是函数y=f(x)与函数y=94x-2+12在(-7,8)上的交点个数，

又函数f(x)是定义域为R的偶函数，且其图象关于直线x=1对称，

当x∈[0,1]时，f(x)=x，作出函数y=f(x)与y=94x-2+1

例4.【解析】由xf'(x)=x3ex+2f(x)，可得x2f'(x)-2xf(x)=x4ex，

则x2f'(x)-2xf(x)x4=ex，即(f(x)x2)'=ex，则f(x)x2=ex+c，f(x)=x2(ex+c)，

又f(2)=4e2+4，∴4e2+4=4(e2+c)，

∴c=1，则f(x)=x2(ex+1)，

∴g(x)=f(x)-2=x2(ex+1)-2，

g'(x)=2x(ex+1)+x2ex=x(xex+2e练2-1【解析】当x≤0时，由x2+2x-1=-2得x2+2x+1=0，解得x=-1;

当x>0时，由lnx-3=-2得lnx=1，解得x=e;

所以方程练2-2【解析】函数f(x)=2x-1,x<23设t=f(x)，则f(t)=2，先解方程f(t)=2的根t，再计算t=f(x)的解．

t<2时，|2t-1|=2得t=log23；t≥2时3t-1=2得t=52．

如图所示，函数f(x)=2x-1,x<23x-1,x⩾2的图像，例5.【解析】函数f(x)=1+ln(x+a)ex有正零点，等价转化为方程1+ln(x+a)ex=0有正实数解，

即-ex=lnx+a有正实数解，设hx=-ex,gx=lnx+a，

因为方程有正实数解，如图所示，

当a>0时，

g0<h0例6.【解析】关于x的方程程2x-x2-mx-3=0有两个不相等的实数解，

即是y=2x-x2，y=mx+3的图象有两个交点，

因为y=2x-x2是以(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，

而y=mx+3是过定点(0,3)的直线，由图可知，

当直线在AB和AC之间时符合要求，

当直线为AB时

m=3-00-2=-32，

当直线为AC时，有点D到直线AC练3-1【解析】令f(x)=x2+(m-2)x+5-m，其对称轴方程为x=2-m2，

由已知方程x2+(m-2)x+5-m=0的两个不等的实根都大于2，

故有2-m2>2Δ=(m-2)2练3-2【解析】如图，作出函数f(x)=-x2,  则函数f(x)与函数y=kx+1的图象有且只有三个交点，函数y=kx+1图象恒过点(0,1)，则直线y=kx+1在图中阴影部分内时，函数f(x)与y=kx+1有三个或两个交点，当直线y=kx+1与y=lnx的图象相切时，设切点为(x∴lnx0=1x0⋅x【素养提升】例7.【解析】作出函