2022-2023学年云南省楚雄州高二下期末数学试卷含解析

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.()

A.B.C.D.

2.已知集合，，则()

A.B.C.D.

3.某学生记录了自己次每分钟的跳绳数：，，，，，，，则该组数据的第百分位数为()

A.B.C.D.

4.过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在割圆密率捷法中，也称圆的直径为通径已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则()

A.B.C.D.

5.函数的部分图象大致为()

A.B.

C.D.

6.当点到直线的距离取得最大值时，()

A.B.C.D.

7.如图，已知，，则()

A.

B.

C.

D.

8.已知球的半径为，，，三点在球的表面上，且，则当三棱锥的体积最大时，()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有()

A.若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势

B.若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势

C.若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化

D.若在某一时期内，则这期间人口数不变

10.已知函数的最小正周期为，则()

A.B.

C.直线是图象的一条对称轴D.在上的值域为

11.如图，在棱长为的正方体中，点为底面的中心，则()

A.与异面的面对角线共有条

B.

C.异面直线与所成角的余弦值为

D.若为正方体内的一个动点，且，则的最小值为

12.已知，，且，则下列等式可能成立的有()

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量，，若，则______．

14.的展开式中，常数项为______．

15.数列满足，则的前项和______．

16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆与在第二象限内相交于点，与的渐近线在第一象限内相交于点，且，则的离心率为______，若的面积为，则的方程为______

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知内角，，的对边分别为，，，且．

求角的值；

若，，求的周长．

18.本小题分

如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点．

证明：．

求二面角的余弦值．

19.本小题分

已知等差数列的前项和为，且，．

求的通项公式；

试求出所有的正整数，使得对任意正整数，均有．

20.本小题分

若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”如，，等．

从，，，，这五个数中，任取三个数组成一个三位递增数，求这个数能被整除的概率．

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取个数，且只能抽取一次得分规则：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积既不能被整除，又不能被整除，参加者得分；若能被或整除，但不能被整除，得分；若能被整除，得分已知甲参加该活动，求甲得分的分布列和数学期望．

21.本小题分

椭圆：的左、右顶点分别为，，上顶点为，是椭圆在第一象限内的一动点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点．

求椭圆的方程；

试判断直线是否经过定点若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由．

22.本小题分

已知函数．

若，求不等式的解集；

若，证明：有且只有一个零点，且．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．

故选：．

根据复数除法运算求解．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：由解得，，

所以，

又因为，所以．

故选：．

根据一元二次不等式的解法和交集的运算求解．

本题主要考查交集及其运算，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：数据，，，，，，，从小到大排序为：，，，，，，，，

，

所以该组数据的第百分位数为．

故选：．

将原始数据从小到大排序，再结合百分位数的定义，即可求解．

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：因为圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，

而抛物线的通径与轴垂直，

所以圆的这条通径与轴垂直，

且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，

因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的通径的右端点为，

即抛物线经过点，则，即．

故选：．

根据圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，可得抛物线经过点，从而求解．

本题考查了抛物线与圆的性质，属于中档题．

5.【答案】

【解析】解：因为的定义域为，关于原点对称，

且，

所以是偶函数，排除，，

当时，，排除．

故选：．

根据奇偶性排除，；根据当时，，排除，从而可得答案．

本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查了函数图象的变换，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：由，得，

联立，解得，直线经过定点，

当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，

此时，解得．

故选：．

化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解．

本题考查点到直线距离公式的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：因为，所以射线与轴的负半轴的夹角为，

又，则，

所以．

故选：．

由点的坐标可得射线与轴的负半轴的夹角为，由此可得，再根据点的坐标即可求解．

本题考查了求解三角函数值问题，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：如图，设，，设外接圆半径为，则，

设点到平面的距离为，则，，

则，当且仅当时，等号成立，

，，所以，

当时，，当时，，

所以当时，取最大值，此时．

故选：．

设，，，点到平面的距离为，则，，然后表示出三棱锥的体积，结合基本不等式和导数可求出其最大值．

本题考查了多面体与球的综合问题，考查了基本不等式、导数的应用，考查了数学计算能力，属于难题．

9.【答案】

【解析】解：对于，由，得当时，，

因为，所以对任意的，，

所以，则，

此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，故A对；

对于，当时，，

因为，所以，对任意的，，

所以，，则，

故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，故B对；

对于，由选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，故C错；

对于，当时，，

故在某一时期内，则这期间人口数不变，故D对．

故选：．

利用数列的单调性逐项判断，可得出合适的选项．

本题考查了数列的单调性、指数函数的性质，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：因为，

又因为的最小正周期为，所以，解得，故A正确，B错误；

则，所以，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确；

当时，，则在上的值域为，所以D错误．

故选：．

利用正余弦的倍角公式以及辅助角公式化简函数的解析式，然后根据函数的周期求出，即可判断，，代入的值，求出函数的值，由此即可判断，根据的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质即可求出函数的值域，由此即可判断．

本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，考查了正弦型函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：正方体的面对角线共有条，

其中与共面的面对角线有条，所以与异面的面对角线有条，不正确．

连接，由，，，知平面，

所以，B正确．

取的中点，连接，，则，

则，

即异面直线与所成角的余弦值为，C正确．

连接，，为正方体内的一个动点，且，

由平面知，在内，当为与平面的交点时，取得最小值，

由，可得，D正确．

故选：．

判断与异面的面对角线的条数，判断的正误．

连接，通过直线与平面垂直，判断的正误．

取的中点，连接，，求解异面直线与所成角的余弦值，判断的正误．

连接，，利用由，可得，判断的正误．

本题考查直线与平面的位置关系的判断，异面直线所成角的求法，空间距离的求法，是中档题．

12.【答案】

【解析】解：令，则．

令，则，

当时，，则恒成立，故在上单调递增．

因为，所以，即在上恒成立，在上单调递增，

当时，，即，

从而．

令，，则在上单调递增，则

故选：．

令，根据导数工具证明，把条件可转化成，然后再根据的单调性来判断．

本题考查导数的综合应用，化归转化思想，属中档题．

13.【答案】

【解析】解：因为，所以，解得．

故答案为：．

根据向量共线的坐标表示直接列式求解．

本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：的展开式的通项公式，

令，可得，

所以展开式中的常数项为．

故答案为：．

求出二项展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，即可求得常数项．

本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：因为，

所以，，，，，，，，，

则从第项起以为周期的周期数列，

所以．

故答案为：．

根据已知递推式求出，，，，，，则可得从第项起以为周期的周期数列，从而可求得答案．

本题考查了数列的周期性，属基础题．

16.【答案】

【解析】解：如图，因为，所以．

又，，所以，，

则，所以，则，所以．

因为到渐近线的距离为，

因为，所以点到的距离为，

所以，

所以，，则的方程为．

故答案为：；．

根据直线的平行关系与斜率的关系和直角三角形边与角的关系结合双曲线的，，的关系可求离心率；再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而可表示面积．

本题考查双曲线的性质，属于中档题．

17.【答案】解：因为，所以，

又为内角，，所以，

显然不满足，即有，

而，所以；

由余弦定理得，

，，则，

所以的周长为．

【解析】利用正弦定理边化角，结合同角的三角函数关系化简，即可得答案；

由余弦定理结合已知条件，即可求得答案．

本题考查了正余弦定理，考查了运算能力，属于中档题．

18.【答案】解：证明：因为平面，平面，

所以．

又，

所以．

由，，平面，

得平面．

因为平面，

所以．

因为为的中点，，

所以．

由，，平面，

得平面．

因为平面，

所以．

因为平面，，平面，所以，，

因为，所以，，两两垂直，

所以以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则令，得．

设平面的法向量为，

则令，得．

．

由图可知，二面角为锐角，

所以二面角的余弘值为．

【解析】由平面，得，结合可得平面，则，再由等腰三角形三线合一可得，再由线面垂直的判定可得平面，从而可得，

由题意可证得，，两两垂直，所以以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可．

本题考查空间中垂直关系的判断，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．

19.【答案】解：设等差数列的公差为，则

解得，，

故；

由可知，，

当时，取得最小值，

由恒成立，得，解得，

因为，所以或或．

【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可先求出首项及公差，再求等差数列的通项公式；

结合等差数列的求和公式及二次不等式的求法即可求解．

本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．

20.【答案】解：若从，，，，这五个数中，任取三个数组成的一个三位递增数共有种情况，

若这个数能被整除，

此时个位数为，满足条件的情况有种情况，

则这个数能被整除的概率；

易知的所有取值为，，，

因为满足条件的三位递增数共有种情况，

当时，抽取的“三位递增数”的三个数字之积既不能被整除，又不能被整除，

此时该三位递增数中不能含有数字，，，，

则满足条件的三位递增数有种情况，

则，

当时，抽取的“三位递增数”的三个数字之积能被或整除，但不能被整除，

此时该三位递增数中有数字且没有数字，，或至少有数字，，中的个且没有数字，

则满足条件的三位递增数有种情况，

则，

当时，抽取的“三位递增数”的三个数字之积能被整除，

此时该三位递增数中有数字且至少有数字，，中的个，

则满足条件的三位递增数有种情况，

则，

所以的分布列为：

此时．

【解析】由题意，得到满足条件的三位递增数和个位数能被整除的情况，利用古典概型概率公式进行求解即可；

先得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．

本题考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查了逻辑推理和运算能力．

21.【答案】解：由椭圆的左、右顶点分别为，，

上顶点为，可得，，

所以椭圆的方程为．

依题可设直线的方程为，其中．

联立方程组，整理得，

由，得，

则，

直线的方程为，

联立方程组，解得，，

由，，三点共线，得，

解得，

直线的方程为，

整理得，

联立方程组，

解得，，

故直线经过定点，该定点