《复变函数》教案 第二章 解析函数 伊犁师范学院数学系

《复变函数》教案第二章解析函数伊犁师范学院数学系PAGEPAGE3第二章解析函数第一节解析函数的概念与柯西—黎曼（C.-R.）条件教学课题：第一节解析函数的概念与柯西——黎曼（C.-R.）条件教学目的：1、了解复数域中函数可导、解析与连续的定义；2、理解可导、解析与连续的关系；3、充分掌握解析函数的运算法则、C-R条件及有关定理与公式；4、深刻理解解析函数的等价刻画定理的内容及涵义。教学重点：C.-R.条件及有关定理与公式教学难点：解析函数的等价刻画定理的内容及涵义教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：通过了解复数域中函数可导、解析与连续的定义以及可导、解析与连续的关系，充分掌握解析函数这一重要概念以及运算法则、C.-R.条件是判断复变函数在一点可微或在一区域内解析的主要条件。教学过程：1、复变函数的导数与微分定义2.1设函数在点的邻域内（或含的区域内）有定义。如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。注极限是按任意方式趋于零时都存在。设函数w=f(z)在z点可导，于是为比高阶的无穷小。称为函数w=f(z)在z点的微分，记为特别当由此可见，f(z)在点z可导与可微是等价的。函数由在点可导与可微的概念与数学分析中的可导与可微这两个概念相类似，因此数学分析中求导基本公式，均可类似地推广到复变函数中来．同时，与数学分析中一样，函数在点可微，则在点连续，反之不一定成立，但在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得．例2.1在平面上处处不可微．证明：由第一章习题11，知在平面上处处连续，但对于任意一点．当取实数趋于零时，上述极限为，而当取纯虚数趋于零时，上述极限为，因此上述极限不存在，即在点不可导，由的任意性知在点平面上处处不可微．如果函数在区域内每一点都可微，则称在区域内可微．例2.2（为正整数）在平面上可微，且即2解析函数极其简单性质：定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数（或全纯函数、正则函数）。解析函数的导（函）数一般记为或。解析函数是复变函数论研究的主要对象，它与相伴区域密切相关．以后说到在某点解析．则表示在该点的某一邻域内解析，说在闭域上解析，则表示在包含的某个区域内解析．因而解析这个概念要比可微的概念条件要强得多．注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，注解2、解析性与连续性：在一个点的可导性的函数必然是这个点上的连续函数；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。定义2.3若f(z)在点不解析，但在得任何邻域内总有f(z)的解析点，则称为的奇点。解析函数的四则运算：（1）和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。（2）复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z是实变量时相同。例2.3设多项式，则由例2.2及基本性质（１）知，在平面上解析，且例2.4设，则由例2.2及基本性质（２）知有对于参数方程，则可直接由定义2.1求得3、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定，那么f(x,y)在点可微的必要条件是：u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处偏导数存在；u(x,y)和v(x,y)满足柯西-黎曼条件（简称C-R方程）证明设在有导数，根据导数的定义，当时（）其中，。比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。定理2（可微的必要条件）设函数在区域内有定义，且在内一点可微，则有（１）在点处偏导数都存在；（２），在点满足条件，但定理2.1的逆不成立．例2.5函数在满足定理2.1的条件，在不可微．证明但是由于因此当沿着射线随着时，它是一个与有关的值，故不存在，即在不可微，但是，只要适当加强定理2的条件，就可得到定理2.2（可微的充要条件）设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定，那么f(x,y)在点可微的充要条件是：实部u(x,y)和虚部v(x,y)在(x,y)处可微；（2）u(x,y)和v(x,y)满足柯西-黎曼条件（简称C-R方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时（）其中，。比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。（充分性）设u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，f(x,y)在点可微的。推论2.3（可微的充分条件）设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定，那么f(x,y)在区域D内可微的充分条件是：二元函数u(x,y)和v(x,y)偏导数在D内连续；u(x,y)和v(x,y)在D内满足柯西-黎曼条件（简称C-R方程）定理2.4设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定，那么f(x,y)在区域D内解析的充要条件是：二元函数u(x,y)和v(x,y)在D内可微；u(x,y)和v(x,y)在D内满足柯西-黎曼条件（简称C-R方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到得；注解2、解析函数的导数形式更简洁：注解3、利用此定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析：如以及在整个复平面内解析，而在任何点都不可微。定理2.5设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定，那么f(x,y)在区域D内解析的充分条件是：二元函数u(x,y)和v(x,y)的偏导数在D内连续；u(x,y)和v(x,y)在D内满足柯西-黎曼条件（简称C-R方程）3、例题例1证明在任何点都不可微。解，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足方程，故在任何点都不可微。例2试讨论定义于复平面内的函数的可导性。解：四个偏导数在复平面内连续，且在复平面内满足方程，故在复平面内处处可导。例3设函数在复平面可导，试确定常数之值。解由方程得（1）（2）由（1）得（3）由（2）得（4）（5）解（3），（4），（5）得。例2.6讨论的解析性．解：只在处满足条件，故只在可微，因此在平面上处处不解析．例2.7试证在平面上处处解析，且．证明：，．在平面上处处可微，且满足条件，故由定理2.2知在平面上处处解析．且由公式（2.8）知例2.8讨论的的可微性和解析性。第二节初等解析函数教学课题：第二节初等解析函数教学目的：1、了解复正、余弦函数的有关性质；2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；3、理解指数函数的常见性质；4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；教学重点：指数函数的常见性质教学难点：正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：这一节主要是讨论初等单值函数的解析性，这可从他们的可微性来判定，他们是数学分析中相应初等函数在复数域中的自然推广。教学过程：1、指数函数定义2.4对于任何复数我们用关系式来规定指数函数指数函数它有如下性质：当（为实数）时，则即为通常的实指数函数．(2)（故），．(3)在平面上解析，且（例2.7）(4)加法定理成立，即(5)以为基本周期．因为对任意整数，．(6)不存在．因为当沿实轴趋于时，，当沿实轴趋于时，，当时就得到欧拉公式即是欧拉公式的推广．2、三角函数与双曲函数：由于Euler公式，对任何实数x，我们有：，所以有因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：则对任何复数z，Euler公式也成立：关于复三角函数，有下面的基本性质：1、cosz和sinz是单值函数；2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:3、cosz和sinz是以为周期的周期函数:4、；证明：，所以5、注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到，例如z=2i时，有6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：证明：7、cosz和sinz在复平面的零点：cosz在复平面的零点是，，sinz在复平面的零点是，。8、同理可以定义其他三角函数：双曲函数规定并分别称为z的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双区余切、双曲正割及双曲余割。这四个函数均在平面上除坟墓为零的点外解析，且．正切、余切的基本周期为，正割、余割的基本周期为．第三节初等多值函数教学课题：第三节初等多值函数教学目的：1、了解幂函数w=、指数函数的单叶性区域；2、了解根式函数、对数函数与幂函数、指数函数的关系3、了解具有多个支点的多值函数；教学重点：幂函数w=、指数函数的单叶性区域教学难点：分出根式函数与对数函数的单值解析分支教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：这一节主要是采用限制辐角或割破平面的方法来分出根式函数与对数函数的单值解析分支，要求学生充分理解逐步掌握。教学过程：1、根式函数定义2。8设函数在区域D内有定义，且对D内任意不同的两点都有则称函数f(z)在D内是单叶的。并称区域D为f(z)的单叶性区域。定义2.9我们规定根式函数的反函数幂函数的变换性质及其单叶性区域利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为当a为正实数，且z=0时，还规定。由于因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子个数。因此，有下面的结论：幂函数的基本性质：由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；当是正整数时，幂函数是一个单值函数；当（当n是正整数）时，幂函数是一个n值函数；当是有理数时，幂函数是一个n值函数；当a是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在G内解析，并且,其中应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，在G内是同一解析函数；当时，在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函数在G内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。例如当n是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有这是一个n值函数。在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域D内，它有n个不同的解析分支：它们也可以记作，这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。当a不是整数时，原点及无穷远点是的支点。但按照a是有理数或者a不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线C围绕0或无穷远点。在C上任取一点，确定Argz在的一个值；相应地确定,在的一个值。现在考虑下列两种情况：(1)a是有理数，当一点z从出发按反时针或顺时针方向连续变动n周时，argz从连续变动到，而则从相应地连续变动到,也即第一次回到了它从出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的n-1阶支点，也称n-1为阶代数支点。（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是的无穷阶支点。当a不是整数时，由于原点和无穷远点是的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且。在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。考虑D*内的角形，并取在D*内的一个解析分支当z描出A内的一条射线时（不包括0），w在w平面描出一条射线。让从0增加到（不包括0及），那么射线l扫过角形A，而相应的射线扫过角形，因此把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，的n个分支分别把区域D*双射成w平面的n个角形.作出一个含i的区域，使得函数在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在i点的值。解：由于我们先求函数w的支点。因为的支点是0及无穷远点，所以函数w可能的支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含0，但不包含1及2。设是C上一点，我们确定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在这点的值分别为。当z从按反时针方向沿C连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而没有变化，于是w在的值就从连续变动到因此0是函数w的一个支点；同时，任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但不包含0及2。设是C上一点，我们确定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在这点的值分别为。当z从按反时针方向沿C连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而没有变化，于是w在的值就从连续变动到因此1也是函数w的一个支点；同理，2和无穷远点也是它的支点。支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。首先，在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线，在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取作为复平面上这样的割线，得区域D。其次，任作作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含这三个点中的两个，但不包含另外一点。设是上一点，确定w在的一个值，同样的讨论，有当z从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。所以，我们可以作为割线如下，取线段[0,1]及从2出发且不与[0,1]相交的射线为割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取[0,1]及作为复平面上的割线，得区域。求w在上述区域中的一个解析分支在z=i的值。在z=-1，取于是在D或内，w可以分解成两个解析分支由于所求的分支在z=-1的值为，可见这个分支是由下图可以得到，在D或内z=i处，因此w的所求分支在z=i的值是.例2、 验证函数在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出这个函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在处的值及函数在(0,1)下沿的值。证明：我们有则及是的三阶支点，而无穷远点不是它的支点。事实上，任作作一条简单连续闭曲线C*，使其内区域包含0、1，设z*是C*上一点，确定w在z*的一个值，当z从z*沿C*连续变化一周回到z*时，w连续变化而得的值没有变化。因此，在区域D=C-[0,1]内，可以把w分解成解析分支。现在选取在(0,1)上沿取正实值的那一支，即在(0,1)上沿，其中0<x<1，根号表示算术根。求这一支在z=-1的值。在(0,1)上沿，取argz=0，arg(1-z)=0。于是所求的一支为其中0<x<1，根号表示算术根。求这一支在z=-1的在D内z=-1处于是w的指定的一支在z=-1处的值是.最后，考虑上述单值分支在(0,1)下沿取值的情况。在区域D内，当z沿右边的曲线，从(0,1)上沿变动到(0,1)下沿时，argz没有变化，而arg(1-z)减少了，于是在(0,1)的下沿，有当z沿左边的曲线，从(0,1)上沿变动到(0,1)下沿时，argz增加了，而arg(1-z)没有变化，于是在(0,1)的下沿，有因此，无论怎样，当z=x在(0,1)的下沿时，上述单值分支的值是.5、反正切函数：由函数所定义的函数w称为z的反正切函数，记作，由于，令，得到，从而，所以反正切函数是多值解析函数，它的支点是，无穷远点不是它的支点。根式函数定义2.7规定根式函数为幂函数的反函数.幂函数的变换（映射）性质及其单叶性区域.幂函数在平面上单值解析，它把扩充平面变成扩充平面，且分别对应于.可是由知道，每一个不为零或的，在平面上有几个原像.且此个点分布在以原点为中心的正角形的顶点上.于是在平面上就是值的.设则成为.由（2）知，（1）把从原点出发的射线变成从原点出发的射线，并把圆周变成.(如图2.2)图2.2当平面上的动射线从射线扫动到射线时，在变换下的像，就在平面上射线扫动到射线，从而，平面上的三角形就被变成平面上的角形.特别，变换（1）把平面上的角形变成平面除去原点及负实轴的区域.一般地，变换（1）把张度的个角形.都变成平面除去原点及负实轴的区域.下图是的情形.图2.3区域是（1）的单叶性区域的充要条件是：对于内任一点，满足下面等式的点不属于.即：幂函数的单叶性区域，是顶点在原点，张度不超过的角形区域.分出的单值解析分支.设出现多值性的原因是由于确定后，其辐角并不唯一确定.今在平面上从原点到点任意引一条射线（或一条无界简单曲线）.将平面割破.割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域，记为.在内随意指定一点，并指定的一个辐角值，则在内任意的点，皆可根据的辐角，依连续变化而唯一确定的辐角.设（给定，只有一个与之对应）则是区域上的单值解析函数.事实上，由于与都是连续函数.故也是的连续函数.又解每一个为的一个解析分支.（3）的支点与支割线.定义：设为多值函数，为一定点，作小圆周，若变点沿转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称为的支点，如就是其一个支点，这时绕转一周也可看作绕点转一周，故点也是其一个支点.定义2.8设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.如可以以负实轴为支割线.附：支割线可以有两岸.单值解析分支可连续延拓到岸上.支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.对，当以负实轴为支割线时，当时取正值的那个分支称为主值支.例2.9设定义在从原点起沿负实轴，割开了的平面上，且.求的值.解：求：当时，由知.作业：第93页22，23二、对数函数1、定义2.9方程的根称为的对数，记为.设则当时，称为主值（支）.注：区别和.例2.102、性质：证：注：三、指数函数的变换性质及其单叶性区域设由知（）故变换若即为单叶性区域若则故四．分出的单值解析分支设，令（为固