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例题 a2+
b2+
c
⩾作如下代换:x
aa2+
,y b2+
,z c2+则
y,z∈(0,
a2+
x2−1
a2
—1
8ac
1—1=8ab 将以上三式相乘,得(
—
—
假如xyz1,由于0x1,0y1,0z 则1−
— —(1−x2)(1−y2)(1− [(x+y+z)2−x2][(x+y+z)2−y2][(x+y+z)2− =(y+z)(2x+y+z)(x+z)(2y+x+z)(x+y)(x+y+2yz⋅44x2yz⋅⩾
xz⋅44y2xz⋅
=所以,有xyz1,故当abc时,f(abc)取得最小值例题设a,b,c是正实数,求证:abc(a b a+b+
b a+b+
ca+b+
abc(a b
c)+1⩾43abc a b c ⩾4a b c a b c +⋯ ⎜⩾12⋅⎜
1
9 9 =4 ⩾4
=4⎝(9abc) 94 3(abc) ( =例题设a>b>c,求证:a2(b−cb2(cac2(ab)>原不等式左边=(c+m)2n−(c+n)2m+c2(m−n)=c2n+2cmn+m2n−c2m−2cmn−mn2+c2m−m2nmn2=mn(mn例题
a2
=1.求证:abcd⩽1 1+a2
1+b2
1+c2
1+ 【解析】作三角代换:令a=tanα1,b=tanα2,c=tanα3,d=tanα4,其中α1,α2,α3,α4∈(0,π)2sin2α1+sin2α2+sin2α3+sin2α4=1.①33sin2α2sin2α3sin2α4⩽sin2α2+sin2α3+sin2α4=cos2α1,33sin2α1sin2α3sin2α4⩽sin2α1+sin2α3+sin2α4=
⩽
+sin2α2+sin2α4=33sin2α1sin2α2sin2α3⩽ sin2α1+sin2α2+sin2α3=⩽⩽ 例题若a,b,c为非负实数且a+b+c=1,试求S=ab+bc+ca−3abc由于由于 3b⩽ c的值一定,故在a、c的差最大时取到最大值.而 c⩽ b,此时 1时,求ab的最大值,显然为1【解析 不妨设a⩾b⩾c,则c 由于a+b的值一定,1−3c⩾0,ab
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