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例题 a2+

b2+

c

⩾作如下代换：x

aa2+

，y b2+

，z c2+则

y,z∈(0,

a2+

x2−1

a2

—1

8ac

1—1=8ab 将以上三式相乘，得(

—

—

假如xyz1，由于0x1，0y1，0z 则1−

— —(1−x2)(1−y2)(1− [(x+y+z)2−x2][(x+y+z)2−y2][(x+y+z)2− =(y+z)(2x+y+z)(x+z)(2y+x+z)(x+y)(x+y+2yz⋅44x2yz⋅⩾

xz⋅44y2xz⋅

=所以，有xyz1，故当abc时，f(abc)取得最小值例题设a，b，c是正实数，求证：abc(a b a+b+

b a+b+

ca+b+

abc(a b

c)+1⩾43abc a b c ⩾4a b c a b c +⋯ ⎜⩾12⋅⎜

1

9 9 =4 ⩾4

=4⎝(9abc) 94 3(abc) ( =例题设a>b>c，求证：a2(b−cb2(cac2(ab)>原不等式左边=(c+m)2n−(c+n)2m+c2(m−n)=c2n+2cmn+m2n−c2m−2cmn−mn2+c2m−m2nmn2=mn(mn例题

a2

=1．求证：abcd⩽1 1+a2

1+b2

1+c2

1+ 【解析】作三角代换：令a=tanα1，b=tanα2，c=tanα3，d=tanα4，其中α1,α2,α3,α4∈(0,π)2sin2α1+sin2α2+sin2α3+sin2α4=1．①33sin2α2sin2α3sin2α4⩽sin2α2+sin2α3+sin2α4=cos2α1，33sin2α1sin2α3sin2α4⩽sin2α1+sin2α3+sin2α4=

⩽

+sin2α2+sin2α4=33sin2α1sin2α2sin2α3⩽ sin2α1+sin2α2+sin2α3=⩽⩽ 例题若a，b，c为非负实数且a+b+c=1，试求S=ab+bc+ca−3abc由于由于 3b⩽ c的值一定，故在a、c的差最大时取到最大值．而 c⩽ b，此时 1时，求ab的最大值，显然为1【解析 不妨设a⩾b⩾c，则c 由于a+b的值一定，1−3c⩾0，ab

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