Excel回归分析结果的详细阐释

Excel回归分析结果得详细阐释利用Excel得数据分析进行回归，可以得到一系列得统计参量。下而以连续10年积雪深度与灌溉而积序列（图1）为例给予详细得说明。ABC1年份-1971最大积雪谏度滋米）灌、.、塁溉面积y（千28.62田）1523197210.419.34197321.240.55197418.635.66197526.448.9719恥23.4458197713.529.291978—16734.11019792446711198019・L37.4图1连续2年得最大积雪深度与灌溉面积（1971-1980）=J回归结果摘要（SummaryOutput）如下（图2）:ABrCDEFGHISUHARYOUTPUT回归统计Multiple0.989416RSquare0.978944Adjusted0.976312-标准误差1.418924观测值10方差分析dfSSHSF;nificanceF回归分析1748.8542748.8542371.94535・42E-残差816.106762.013345总计9764.961Coefficient标准误差tStatP-valueLower95%UpDer95$F卩限95.0!上卩限95.Intercept2.356438最1.8278761.289167~~0.233363-1・6.57153-1-6.57153大积雪H.8129210.09400219.285885・42E-858652.029691858652.029691081.5961511.596151RESIDUALOUTPUTPROBABILITYOUTPUT观测值霍溉面积残差标准残差耳分比排槪面积？（千亩）29.91284-1.31284-0.9813621.21082-1.91082-1.4283640.79036-0.29036-0.21705436.07677-0.47677-0.35639550.21755-1.31755-0.984891519.31528.62529.23534.14535.6图2利用数据分析工具得到得回归结果第一部分:回归统让表这一部分给岀了相关系数、测立系数、校正测左系数、标准误差与样本数目如下（表1）:表1回归统计表回归统计Multiple0.989416RSquare0.978944Adjusted0.976312标淮误差1.418924观测値10逐行说明如下：Multiple对应得数据就是相关系数(correlationcoefficient),RPR=0>989416。RSquare对应得数值为测定系数(determinationcoefficient),或称拟合优度(goodnessoffit),它就是相关系数得平方，即有R2=0、989416=0、978944cAdjusted对应得就是校正测左系数(adjusteddeterminationcoefficient),!T算公式为5-1)(1一疋)一〃？式中〃为样本数皿为变量数，以为测左系数。对于本例，心10皿=1底=0、978944.代入上式得R=1_(10-1)(1-0-978944)=0976312“10-1-1标准误差(standarderror)对应得即所谓标准误差，计算公式为$=JSSe\n—川一1这里SSe为剩余平方与，可以从下而得方差分析表中读出，即有SSe=16.10676，代入上式可得冒=*16.10676=1.418924\10-1-1最后一行得观测值对应得就是样本数目，即有n=10o第二部分，方差分析表方差分析部分包括自由度、误差平方与.均方差、F值.P值等(表2)。表2方差分析表(AN0VA)方差分析dfSSHSF;nificancE回归分析1748.8542748.8542371.94535―42E-08残差216.106762.013345总计9764.961逐列.分行说明如下：第一列df对应得就是自由度(degreeoffreedom)，第一行就是回归自由度dfr,等于变捲数目，即dfr=/M：第二行为残差自由度dfc,等于样本数目减去变量数目再减1,即有dfg”讪-1;第三行为总自由度dft,等于样本数目减1,即有dft=n-1。对于本例1,n=10,因此,dfr=1,dfe=n-w-1=8,dft=/i-1=9□第二列SS对应得就是误差平方与，或称变差。第一行为回归平方与或称回归变差SSr，即有SSr=f(氏-开尸=748.8542它表征得就是因变量得预测值对貝平均值得总偏差。第二行为剩余平方与(也称残差平方与)或称剩余变差SSc，即有SSe=f()U=i6」0676/-I它表征得就是因变量对其预测值得总偏差，这个数值越大•意味着拟合得效果越杲。上述得V得标准误差即由SSe给出。第三行为总平方与或称总变差SSt,即有SSr=A（y1.-x）2=764.961它表示得就是因变量对英平均值得总偏差。容易验证748、8542+16、10676=764.961,即有SSr+SSe=SSt而测泄系数就就是回归平方与在总平方与中所占得比重，即有<SSr748.8542八■

R・=——==0.978944SSt764.961显然这个数值越大，拟合得效果也就越好。第四列MS对应得就是均方差，它就是误差平方与除以相应得自由度得到得商。第一行为回归均方差MSr，即有MSr=SSr=748,8542=?488542dfr1第二行为剩余均方差MSc，即有MSe=SSe="10676=2（）13345dfe8显然这个数值越小，拟合得效果也就越好。第四列对应得就是F值，用于线性关系得判泄。对于一元线性回归,F值得计算公式为F_R'_dfe/—1—（I-/?2）「用II-772-1式中R2=0、978944.dfc=10・1」二&因此8*0.978944=371.94531-0.978944第五列SignificanceF对应得就是在显箸性水平下得F临界值，其实等于P值,即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假得概率，显然1屮便就是模型为真得槪率。可见f值越小越好。对F本例屮=0、0000000542V0.0001•故宜信度达到99、99%以上。第三部分，回归参数表回归参数表包括回归模型得截距、斜率及其有关得检验参数（表3）o表3回归参数表Coefficients标准误差tStatIntercept最犬积雪探度讥米）2.35643磁91.8278761.8129210650.0940021.28916719.28588P-valueLower95%Upper95%下限95.0%土限95.0%0.233363-1.858656.5715301-1.8586546.57153015.42E-081.5961512.02969131.59615082.0296913第一列Coefficients对应得模型得回归系数，包括截距356437929与斜率b=\、812921065，由此可以建立回归模型

氏=2.3564+1.8129兀y=2.3564+1.8129x（+斫z第二列为回归系数得标准误差（用打或勺表示），误差值越小，表明参数得精确度越髙。这个参数较少使用,只就是在一些特别得场合出现。例如L、Benguigui等人在Whenandwhereisacityfracta一文中将斜率对应得标准误差值作为分形演化得标准，建议采用0、04作为分维判定得统计指标（参见EPB2000）。不常使用标准误差得原因在于:其统汁信息已经包含在后述得（检验中。第三列tStat对应得就是统计量t值，用于对模型参数得检验，需要查表才能决宦。t值就是回归系数与瓦标准误差得比值，即有根据表3中得数据容易算出:2356438812921=19.285881.8278760.094002对于一元线性回归J值可用相关系数或测左系数汁算，公式如下R

t==I炉

\n-7/7-1将R=0、989416、“10、〃=1代入上式得到0.989416…t二——=19.28588{1—0.9894162—V1W1对于一元线性回归.F值与t值都与相关系数R等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。但就是，对于多元线性回归,t检验就不可缺省了。第四列Pvalue对应得就是参数得P值（双侧）。当PvO、05时，可以认为模型在a=0、05得水平上显著，或者置信度达到95%;当PV0、01时，可以认为模型在*0、01得水平上显著，或者豊信度达到99%;当PV0、001时，可以认为模型在a=0、001得水平上显著，或者置信度达到99、9%0对于本例,P=0、0000000542<0.0001,故可认为在*0、0001得水平上显著，或者宜信度达到99、99%0P值检验与t值检验就是等价得，但P值不用查表，显然要方便得多。最后几列给出得回归系数以95%为置信区间得上限与下限。可以瞧出，在a=0、05得显著水平上，截距得变化上限与下限为85865与6.57153,即有-1.85865<«<6.57153斜率得变化极限则为1、59615与2、02969,即有1.59615</?<2.02969第四部分,残差输岀结果这一部分为选择输出内容,如果在"回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输岀结果不会给出这部分结果。残差输出中包括观测值序号（第一列，用i表示），因变疑得预测值（第二列，用九表示），残差（residuals,第三列，用e「•表示）以及标准残差（表4）。表4残差输岀结果观测值预测灌溉面积丫（千残差标准残差1亩29.91283811-1.31284-0.98136221.210817-1.91082-1.42836340.7903645-0.29036-0436.07676973-0.47677210.055639550.21755404-1.31755-0.98489&44.778790840.2212090.165356726.830872312.3691281.770947832.632219711.467781.097181945.866543480.8334570.6230171036.983230270.416770.31154预测值就是用回归模型氏=2.3564+1.8129无汁算得结果,式中筠即原始数据得中得自变量。从图1可见儿=15、2,代入上式，得

y,=2.3564+1.8129x,=2.3564+1.8129*15.2=29.91284其余依此类推。残差勺得计算公式为©=儿-从图1可见,yi=28.6,代入上式，得到el=y,-y{=28.6-29.91284=-1.31284其余依此类推。标准残差即残差得数据标准化结果，借助均值命令average与标准差命令stdev容易验证,残差得算术平均值为0,标准差为1、337力4。利用求平均值命令standardize（残差得/元格范隠均值.标准差）立即算出表4中得结果。当然，也可以利用数据标准化公式*Z：-zZi-I石二一='Jvar（zj6逐一计算。将残差平方再求与，便得到残差平方与即剩余平方与，即有==茹_以）2=16.10676Z-lr-1利用Excel得求平方与命令sumsq容易验证上述结果。以最大积雪深度兀为自变量，以残差竹为因变量，作散点图，可得残差图（图3）。残差点列得分布越就是没有趋势（没有规则，即越就是随机）,回归得结果就越就是可靠。用最大积雪深度兀为自变量，用灌溉面积幵及英预测值曰为因变屋，作散点图，可得线性拟合图（图4）。最大积雪深度x（米）ResidualPlot图3残差图最大积雪深度x（米）LineFitPlot•灌溉面积y（千亩）■预测灌溉面积y（千亩）102030最大积雪深度x（米）图4线性拟合图第五部分,概率输出结果在选项输岀中，还有一个概率输出（ProbabilityOutput）八（表5）。第一列就是按等差数列设讣得百分比排位，第二列则就是原始数据因变量得自下而上排序（即从小到大）一一选中图1中得第三列（C列）数据，用鼠标点击自下而上排序按钮令■立即得到表5中得第二列数值。当然，也可以沿着主菜单得“数据（D）-z^排序（勺”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。用表5中得数拯作散点图，可以得到Excel所谓得正态概率图（图5）0表5概率输出表百分比排位灌溉面积y（千亩）519.31528.62529.23534：^4535.6556540.5