内蒙古自治区呼和浩特市杨家窑乡中学高三数学理上学期期末试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市杨家窑乡中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数的虚部是

（

）

A．i

B．-i

C．1

D．-1参考答案：C2.若tanα=3，则cos2(α+)﹣cos2(α﹣)=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、倍角公式、“弦化切”即可得出．【解答】解：=﹣==﹣sin2α=﹣=﹣=﹣=﹣，故选：A．3.某算法的程序框图如图所示，则输出S的值是

（

)

A.6

B.24

C.120

D.840参考答案：C4.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（▲）A． B．1 C． D．参考答案：C该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.

5.设双曲线（）的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，若以（为坐标原点）为直径的圆与相切，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D6.若,i为虚数单位,且,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.已知1<a<2，实数x，y满足且的最大值为，则a＝A.

B.

C.

D.参考答案：D8.在等比数列{an}中，a2+a3+…+a8=8，++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．3参考答案：A【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的求和公式，可得=8，=2，两式相除，即可得出结论．【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a2+a3+…+a8=8，++…+=2，∴=8，=2，∴，∴a5=±2．故选：A．9.在正中，，向量，则以B，C为焦点，且过D，E的双曲线离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A．

B．

C．

D．参考答案：A在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是上的减函数，那么的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C12.实数x、y满足不等式组，则z=的取值范围是_________.[－1,1)参考答案：[－1,1)13.符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数．给出下列四个命题：①函数的定义域是R，值域为；②方程有无数个解;③函数是周期函数；④函数是增函数．其中正确命题的序号有 .参考答案：14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且b＝acosC＋csinA，则

。参考答案：,,-15.关于式子的结果，有以下结论：①半径为的圆的面积的二分之一②半径为的圆的面积的四分之一③长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一④长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一⑤该式子的值为

⑥该式子的值为其中正确结论的序号为

.参考答案：16.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为

．参考答案：【考点】几何概型．【专题】综合题；概率与统计．【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．17.圆心在曲线y=（x＞0）上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为

．参考答案：（x﹣2）2+（y﹣）2=9考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：，再由a的值化简，并利用均值不等式求出r的最小值，即可求出圆的方程．解答： 解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：=|3a++3|=r∴|3a++3|=5r

∵a＞0，∴3a++3=5r

欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，

5r=3a++3≥2+3=15

∴r≥3，当3a=，即a=2时，取等号，

∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）

所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.光线通过一块玻璃,其强度要损失,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为,通过块玻璃后强度为.

（1）写出关于的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下?

(参考答案：解析:(1)(2)

∴.19.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析.试题分析：（Ⅰ），对a进行分类讨论：当时，，则函数的单调递减区间是.当时，令，得.的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，必须，即，所以试题解析：（Ⅰ）.

………………2分（ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是.

………………3分 （ⅱ）当时，令，得. 当变化时，,的变化情况如下表↘极小值↗ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.

………………6分 当时，因为在内是减函数，在内是增函数，所以要使，必须，即. 所以.

………………7分当时，.令，则.当时，，所以，在上是增函数.所以当时，.所以.

………………9分因为，，，所以在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.

………………11分因为在内是减函数，在内是增函数，所以.综上所述，的取值范围是.

………………12分因为，，所以.

………………13分考点：导数与函数的综合20.命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围.参考答案：略21.设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于，两点，直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）是否存在实数，满足，并说明理由；（2）求面积的最大值.参考答案：(1)存在，理由见解析；(2).，所以，.由，得.（1）因为，所以.（2）根据弦长公式，得：，根据点到直线的距离公式，得，所以，设，则，所以当，即时，有最大值.考点：直线与抛物线的位置关系及基本不等式等有关知识的综合运用．22.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，记作M（a） （1）令，x∈[0，24]，试求t的取值范围 （2）试求函数M（a） （3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前该市的污染指数是否超标．参考答案：【考点】在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】（1）利用正弦函数的性质，可求t的取值范围； （2）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式； （3）由（Ⅱ）知M（a）的最大值，它小于2，即可得出结论． 【解答】解：（1）由0≤x≤24得

当即x=0时tmin=0当即x=1