人教版高中数学选择性必修第二册综合测试题A(含解析)

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[时间：120分钟满分：150分]

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn＝()

A．n2＋1－B．2n2－n＋1－

C．n2＋1－D．n2－n＋1－

2．过曲线S：y＝3x－x3上一点A(2，－2)的切线方程为()

A．9x－y－16＝0或y＝－2

B．9x＋y－16＝0

C．9x＋y－16＝0或y＝－2

D．9x－y－16＝0

3．已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是的前n项和，则S9＝()

A．－8B．－6

C．10D．0

4．若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝()

A．2或6B．3或4

C．3D．2

5．已知数列满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N*)，则a10＝()

A．557B．567

C．1069D．1079

6．函数f(x)＝ax2－xlnx在上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.B.

C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)

7．在数列中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2＝()

A．(2n－1)2B.(4n－1)

C.(2n－1)D．4n－1

8．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，若对任意x∈，均有m－≥f(x)恒成立，则实数m的取值范围是()

A.B.

C.D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．用数学归纳法证明>对任意n≥k都成立，则以下满足条件的k的值为()

A．1B．2

C．3D．4

10．已知函数f(x)＝x3－3x，下面正确的是()

A．在x＝2处的切线斜率为9

B．单调递增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．f(x)的极大值为2，极小值为－2

D．f(x)无最大值

11．设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6＝S9，则()

A．d>0B．a8＝0

C．S7或S8为Sn的最大值D．S5x1时，不等式－Sk＋1且Sk＋10，解得：－11或x0，解得：x1，

故g(x)在上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

故g(x)max＝g(1)＝，故a≥，则a的取值范围是，故选A.

7．在数列中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2＝()

A．(2n－1)2B.(4n－1)

C.(2n－1)D．4n－1

答案B

解析由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，得a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1(n>1)，

则an＝2n－1，n＝1也成立．

所以an2＝4n－1，

所以{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列，

所以a12＋a22＋…＋an2＝＝(4n－1)．

故选B.

8．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，若对任意x∈，均有m－≥f(x)恒成立，则实数m的取值范围是()

A.B.

C.D.

答案A

解析∵f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，

∴f′(x)＝x2－2f′(1)x＋8，

∴f′(1)＝1－2f′(1)＋8，解得f′(1)＝3，

∴f(x)＝x3－3x2＋8x，

∵对任意x∈，均有m－≥f(x)恒成立，

即对任意x∈，均有m≥x3－3x2＋8x＋恒成立，

令g(x)＝x3－3x2＋8x＋，x∈，

则g′(x)＝x2－6x＋8，

令g′(x)＝x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，

易得g(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，

故x＝2时，g(x)max＝g(2)＝7，

故实数m的取值范围是[7，＋∞)，故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．用数学归纳法证明>对任意n≥k都成立，则以下满足条件的k的值为()

A．1B．2

C．3D．4

答案CD

解析当n＝1时，＝，＝，则，

当n＝4时，＝，＝，则>，

故选CD.

10．已知函数f(x)＝x3－3x，下面正确的是()

A．在x＝2处的切线斜率为9

B．单调递增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．f(x)的极大值为2，极小值为－2

D．f(x)无最大值

答案ACD

解析函数f(x)＝x3－3x，得到f′(x)＝3x2－3，

所以当x＝2时，切线斜率为f′(2)＝9，故A正确；

由f′(x)>0得到x>1或x0且S6＝S9，则()

A．d>0B．a8＝0

C．S7或S8为Sn的最大值D．S50，所以a8＝a1＋7d＝0d＝－a10，a8＝0，

所以等差数列的前7项为正数，第8项为0，从第9项开始为负数，

因此等差数列的S7或S8为Sn的最大值，C正确；

由S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7>0得，S5x1时，不等式－x1时，x1f(x1)0；

当x∈(－1，3)时，f′(x)0，得an＋1－an＝1，

令n＝1，a12＋a1－2a1＝0，又a1>0，所以a1＝1，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，

即an＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N*.

(2)由(1)可得bn＝(2n－7)·2n，

Tn＝(－5)×21＋(－3)×22＋(－1)×23＋…＋(2n－7)×2n，

2Tn＝(－5)×22＋(－3)×23＋…＋(2n－9)×2n＋(2n－7)×2n＋1，

两式相减得－Tn＝(－5)×2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n－7)·2n＋1，

化简得Tn＝(2n－9)·2n＋1＋18.

(3)Tn＋1－Tn＝(2n－7)·2n＋2＋18－(2n－9)·2n＋1－18＝(2n－5)·2n＋1，

当n≤2时，Tn＋1Tn，

即T1>T2>T3Sk＋1且Sk＋1Sk＋1，

即Sk>Sk＋ak＋1，

从而ak＋10.

若选①，

由b1＋b3＝a2，

得a2＝－1－9＝－10，

所以an＝3n－16，

则k＝4时满足a50成立；

若选②，

由a4＝b4＝27且a5＝－1，

所以数列{an}为递减数列，

故不存在ak＋10；

若选③，

由S5＝－25＝＝5a3，

解得a3＝－5，从而an＝2n－11，

所以当k＝4时，能使a50成立．

22．(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，g(x)＝xex－2x.

(1)若x＝3是函数f(x)的极值点，求曲线y＝f(x)在点处的切线方程；

(2)求函数y＝f(x)的单调区间；

(3)已知a＝1，当x∈时，试比较f(x)与g(x)的大小，并给予证明．

解析(1)由题意得：f′(x)＝－a，

∵x＝3是f(x)的极值点，∴f′＝－a＝0，解得：a＝，∴f(x)＝lnx－x＋，

∴f′(1)＝1－＝，又f(1)＝0，

∴所求切线方程为y－0＝，即2x－3y－2＝0.

(2)由题意得：f(x)定义域为，f′(x)＝－a＝(x>0)，

当a≤0时，f′(x)>0恒成立，

∴f(x)的单调递增区间为，无单调递减区间；

当a>0时，令f′(x)＝0，解得：x＝，

∴当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(3)f(x)≤g(x)证明如下：

令F(x)＝g(x)－f(x)＝xex－lnx－x－1，

则F′(x)＝xex＋ex－－1＝，

令h(x)＝xex－1，则h′(x)＝