2023年吉林省长春市中考数学四模试卷含解析

第第页2023年吉林省长春市中考数学四模试卷（含解析）2023年吉林省长春中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）实数﹣2的倒数是（）

A．2B．﹣2C．D．﹣

2．（3分）成都作为中国西部大开发的重要战术支点，是立足“一带一路”建设和长江经济发展的重要节点，充分发挥服务国家向西向南开放的独特区位优势（）

A．8.3×1011B．8.3×1010C．83×109D．0.83×108

3．（3分）下列计算正确的是（）

A．a2+a4＝a6B．

C．（﹣a2）3＝a6D．（a﹣b）（b+a）＝b2﹣a2

4．（3分）下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是（）

A．B．

C．D．

5．（3分）静乐一兴县高速公路（简称静兴高速）通车后，大大方便了人们的出行．据了解从兴县到太原的车程为202公里，汽车平均车速提高为原来的1.6倍，从兴县到太原所用时间比原来节省了1.8小时，根据题意可列方程为（）

A．B．

C．D．

6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝88°，AB＝60，则点A到BC的距离为（）

A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°

7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CB长为半径作弧交AB于点D，B为圆心，大于，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F（）

A．38°B．39°C．40°D．51°

8．（3分）如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B的图象上两点，若点D的坐标是（a，b）（）

A．B．C．2D．﹣2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）分解因式：mn﹣9m＝．

10．（3分）若分式的值为正数，则x的取值范围．

11．（3分）将一副三角板按如图所示放置，则∠1的度数为．

12．（3分）如图，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'．已知．

13．（3分）某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计．（精确到0.01）

抽查数n10002000300040005000

合格品数m9571926286838444810

合格品频率0.9570.9630.9560.9610.962

14．（3分）二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．

三、解答题（本大题共10个小题，共78分）

15．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2023．

16．（6分）动力电池常常应用于电动汽车、电动船、电动列车和电动自行车等交通工具．为拓宽学生科技视野，某校开展科普知识进校园活动．九年级（1）班选出小致为全校同学介绍应用动力电池的两种交通工具（图片除编号和内容外，其余完全相同）．将这四张图片背面朝上，洗匀放好（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求他抽到的两张图片编号恰好是A和D的概率．

17．（6分）太原的王先生积极响应国家有关政策，在某社区出资建成了一个养老服务中心和一个老年食堂，总面积为500平方米．太原市政府出台社会力量参与社区和居家养老可享受优惠政策：建设社区养老服务中心可获得700元/平方米的补贴，求王先生出资的养老服务中心和老年食堂的面积分别为多少平方米．

18．（7分）如图，四边形OACB的顶点A，B，C在以点O为圆心的同一个圆上的中点，连接OC，已知∠D＝30°．

（1）求∠CBD的度数；

（2）判断四边形OACB的形状，并说明理由．

19．（7分）电池技术是能源、信息和交通革命的关键．近年来，经国家推动，我国动力电池产业发展走在世界前列，根据图表信息，解答下列问题：

2023年中国动力电池正极材料出货量所占比例统计表

电池正极材料所占百分比

三元电池正极材料

磷酸铁锂电池正极材料73%

其他电池正极材料5%

（数据来源：中商产业研究院中国动力电池正极材料行业现状深度研究与出资前景预测报告2022）

（1）统计表中三元电池正极材料所占的百分比为；若依据此表制作扇形统计图，则三元电池正极材料所对应扇形的圆心角是度；

（2）2023年到2022年三元电池正极材料出货量增长率的中位数为%；

（3）小致观察折线统计图后，认为2023年到2023年每年三元电池正极材料出货量都比磷酸铁锂电池正极材料出货量高，你同意他的说法吗？请结合统计表说明由．

20．（7分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：

（1）请在图1中作出△ABC的AC边上的高BD；

（2）请在图2中线段BC上确定一点F，使得OF∥AC；

（3）请在图3中作出⊙O的切线AE．

21．（8分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发（千米）与慢车行驶的时间x（小时）之间的函数关系．根据图象进行以下探究：

（1）甲、乙两地之间相距的路程为千米；图中点B的实际意义为；

（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当两车之间的距离不小于800千米时，直接写出x的取值范围．

22．（9分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC（不与B、C重合），连接AO，F是线段AO上的点（不与A、O重合），AE＝AF，连接FE、FC、BE、BF．

（1）如图①，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；

（2）如图②，将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，交BE于点K．

①线段CF与BE的数量关系为；

②当△BEF为等腰直角三角形时，的值为．

23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，OA＝3．动点P从点A出发，速度为每秒π个单位．同时动点Q从点B出发，在⊙O上沿顺时针方向运动，点Q也随之停止运动．连结OP、OQ．设点P的运动时间为t秒．

（1）⊙O的周长为；

（2）当点P与点Q重合时，求所在的扇形的面积；

（3）当OP⊥OQ时，求t的值；

（4）作半径OP的垂直平分线交⊙O于点M、N，连结PQ．当PQ将线段MN分成1：2的两部分时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，其横坐标为m．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将抛物线上点A、P之间的部分（包括A、P两点）记为G．

①当m＝2时，求G上最高点与最低点的纵坐标之差；

②当G上最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的取值范围；

（3）已知△BCD的顶点坐标分别为B（1，0）、C（3，0）、D（3，2），若点P到直线BC的距离与到直线BD的距离之和等于，请直接写出m的值．

2023年吉林省长春中考数学四模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）实数﹣2的倒数是（）

A．2B．﹣2C．D．﹣

【分析】直接利用倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．

【解答】解：实数﹣2的倒数是：﹣．

故选：D．

【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．

2．（3分）成都作为中国西部大开发的重要战术支点，是立足“一带一路”建设和长江经济发展的重要节点，充分发挥服务国家向西向南开放的独特区位优势（）

A．8.3×1011B．8.3×1010C．83×109D．0.83×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：8300亿＝8300×108＝8.8×1011．

故选：A．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．

3．（3分）下列计算正确的是（）

A．a2+a4＝a6B．

C．（﹣a2）3＝a6D．（a﹣b）（b+a）＝b2﹣a2

【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式不能合并；

B、原式＝；

C、原式＝﹣a4，不符合题意；

D、原式＝a2﹣b2，不符合题意．

故选：B．

【点评】此题考查了分式的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．

4．（3分）下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根据几何体的三视图得到的图象进行判断即可得到答案．

【解答】解：圆锥的三视图是圆和三角形，无法得到矩形，

故选：C．

【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握相关性质是解题的关键．

5．（3分）静乐一兴县高速公路（简称静兴高速）通车后，大大方便了人们的出行．据了解从兴县到太原的车程为202公里，汽车平均车速提高为原来的1.6倍，从兴县到太原所用时间比原来节省了1.8小时，根据题意可列方程为（）

A．B．

C．D．

【分析】设原来从兴县到太原所用时间为x小时，根据汽车平均车速提高为原来的1.6倍，从兴县到太原所用时间比原来节省了1.8小时，解方程即可．

【解答】解：根据题意得：，

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝88°，AB＝60，则点A到BC的距离为（）

A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°

【分析】过点A作AD⊥BC，通过三角形内角和定理求出∠B的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到BC的距离．

【解答】解：过点作AD⊥BC，垂足为D，

在△ABC中，∠A＝88°，AB＝60，

∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，

在Rt△ADB中，sin50°＝，

∴AD＝60sin50°，

∴点A到BC的距离为60sin50°．

故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义．

7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CB长为半径作弧交AB于点D，B为圆心，大于，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F（）

A．38°B．39°C．40°D．51°

【分析】由作图可知，CF⊥AB，根据同角的余角相等即可求得∠BCF．

【解答】解：由作图可知，CF⊥AB，

∴∠AFC＝∠BFC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCF＝∠CAB＝90°﹣∠ACF，

∵∠CAB＝39°，

∴∠BCF＝39°．

故选：B．

【点评】本题考查基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

8．（3分）如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B的图象上两点，若点D的坐标是（a，b）（）

A．B．C．2D．﹣2

【分析】先根据正方形的面积可求出正方形的边长为2，利用点D坐标（a，b），表示出点B，代入反比例函数即可求解．

【解答】解：∵正方形ABCD面积等于4．

∴AD＝AB＝2．

∵点D坐标是（a，b），

∴B（a+3，b﹣2）．

∵B、D是反比例函数上的点．

∴k＝ab＝（a+2）（b﹣4）．

∴a﹣b＝﹣2．

故选：D．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、k的几何意义知识，关键在于利用正方形的边长表示出点的坐标．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）分解因式：mn﹣9m＝m（n﹣9）．

【分析】提取公因式m即可．

【解答】解：mn﹣9m＝m（n﹣9）．

故答案为：m（n﹣7）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式．

10．（3分）若分式的值为正数，则x的取值范围x＞7．

【分析】由题意得分式＞0，根据负负得正，得7﹣x＜0，解得：x＞7．

【解答】解：由题意得：

＞8，

∵﹣6＜0，

∴6﹣x＜0，

∴x＞7．

故答案为：x＞6．

【点评】题目考查了分式的基本运算和不等式的运算．题目整体较为简单，学生需要注意运算的正确性即可．

11．（3分）将一副三角板按如图所示放置，则∠1的度数为75°．

【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠DAE＝30°，由三角形的外角性质即可求∠1．

【解答】解：如图，

由题意得：∠ABC＝45°，∠DAE＝30°，

∵∠1是△ABF的外角，

∴∠1＝∠ABC+∠DAE＝75°．

故答案为：75°．

【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．

12．（3分）如图，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'．已知27．

【分析】直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，进而得出答案．

【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，，

∴＝，

∵△ABC的面积为3，

∴＝，

则△A'B'C'的面积为：27．

故答案为：27．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比与相似比的关系是解题关键．

13．（3分）某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计0.96．（精确到0.01）

抽查数n10002000300040005000

合格品数m9571926286838444810

合格品频率0.9570.9630.9560.9610.962

【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可．

【解答】解：由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为0.96，

故答案为：0.96．

【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

14．（3分）二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是﹣2＜h＜﹣1．

【分析】先由y2＜y1＜y3判断得到点P1离对称轴的距离比点P2离对称轴的距离远，点P3离对称轴的距离比点P1离对称轴的距离远，然后得到h与横坐标之间的关系，从而求出h点的取值范围．

【解答】解：∵y2＜y1＜y5，

∴点P1离对称轴的距离比点P2离对称轴的距离远，点P5离对称轴的距离比点P1离对称轴的距离远，

∴，

解得：﹣2＜h＜﹣4．

故答案为：﹣2＜h＜﹣1．

【点评】本题考查了二次函数的对称性和增减性，解题的关键是通过已知条件得到三点距离对称轴的远近情况．

三、解答题（本大题共10个小题，共78分）

15．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2023．

【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．

【解答】解：（x+1）2﹣x（x+7）

＝x2+2x+4﹣x2﹣x

＝x+1，

当x＝2023时，原式＝2023+7＝2024．

【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

16．（6分）动力电池常常应用于电动汽车、电动船、电动列车和电动自行车等交通工具．为拓宽学生科技视野，某校开展科普知识进校园活动．九年级（1）班选出小致为全校同学介绍应用动力电池的两种交通工具（图片除编号和内容外，其余完全相同）．将这四张图片背面朝上，洗匀放好（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求他抽到的两张图片编号恰好是A和D的概率．

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小致抽到的两张图片编号恰好是A和D的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小致抽到的两张图片编号恰好是A和D的结果有2种、DA，

∴他到的两张图片编号恰好是A和D的概率为＝．

【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

17．（6分）太原的王先生积极响应国家有关政策，在某社区出资建成了一个养老服务中心和一个老年食堂，总面积为500平方米．太原市政府出台社会力量参与社区和居家养老可享受优惠政策：建设社区养老服务中心可获得700元/平方米的补贴，求王先生出资的养老服务中心和老年食堂的面积分别为多少平方米．

【分析】设王先生出资的养老服务中心和老年食堂的面积分别为x平方米和y平方米，根据“总面积为500平方米”和“王先生共获得490000元的补贴”结合的养老服务中心和老年食堂没平方米的补贴价格即可列出方程组，解方程组即可．

【解答】解：设王先生出资的养老服务中心和老年食堂的面积分别为x平方米和y平方米，

根据题意得，

解得，

答：王先生出资的养老服务中心的面积为300平方米，老年食堂的面积为200平方米．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解决问题的关键．

18．（7分）如图，四边形OACB的顶点A，B，C在以点O为圆心的同一个圆上的中点，连接OC，已知∠D＝30°．

（1）求∠CBD的度数；

（2）判断四边形OACB的形状，并说明理由．

【分析】（1）由切线的性质得∠OBD＝90°，而∠D＝30°，所以∠BOD＝60°，因为OB＝OC，所以△BOC是等边三角形，则∠OBC＝60°，所以∠CBD＝30°；

（2）由△BOC是等边三角形，得OB＝BC，由＝，得BC＝AC，而OB＝OA，则OA＝OB＝BC＝AC，所以四边形OACB是菱形．

【解答】解：（1）∵BD与⊙O相切于点B，

∴BD⊥OB，

∴∠OBD＝90°，

∵∠D＝30°，

∴∠BOD＝90°﹣∠D＝90°﹣30°＝60°，

∴OB＝OC，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠OBC＝60°，

∴∠CBD＝∠OBD﹣∠OBC＝90°﹣60°＝30°，

∴∠CBD的度数是30°．

（2）四边形OACB是菱形，理由如下：

由（1）得△BOC是等边三角形，

∴OB＝BC，

∵点C是的中点，

∴＝，

∴BC＝AC，

∵OB＝OA，

∴OA＝OB＝BC＝AC，

∴四边形OACB是菱形．

【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明BD⊥OB及△BOC是等边三角形是解题的关键．

19．（7分）电池技术是能源、信息和交通革命的关键．近年来，经国家推动，我国动力电池产业发展走在世界前列，根据图表信息，解答下列问题：

2023年中国动力电池正极材料出货量所占比例统计表

电池正极材料所占百分比

三元电池正极材料

磷酸铁锂电池正极材料73%

其他电池正极材料5%

（数据来源：中商产业研究院中国动力电池正极材料行业现状深度研究与出资前景预测报告2022）

（1）统计表中三元电池正极材料所占的百分比为22%；若依据此表制作扇形统计图，则三元电池正极材料所对应扇形的圆心角是79.2度；

（2）2023年到2022年三元电池正极材料出货量增长率的中位数为46.5%；

（3）小致观察折线统计图后，认为2023年到2023年每年三元电池正极材料出货量都比磷酸铁锂电池正极材料出货量高，你同意他的说法吗？请结合统计表说明由．

【分析】（1）将100%减去磷酸铁锂电池正极材料和其他电池正极材料所占的百分比即可得到答案；

（2）根据中位数概念计算可得答案；

（3）出货量与上一年出货量、当年增长率有关，因此利用2023年中国动力电池正根材料出货量所占比例统计表，以及和折线统计图中的增长率，通过计算即可作出判断．

【解答】解：（1）三元电池正极材料所占的百分比为：100%﹣73%﹣5%＝22%，

三元电池正极材料所对应扇形的圆心角为：22%×360°＝79.2°，

故答案为：22%，79.5；

（2）中位数：＝46.5，

故答案为：46.6；

（3）不同意．

理由如下：

假设2023年中国动力电池正根材料出货量为a，由统计表数据

2023年三元电池正极材料出货量为0.22a，磷酸铁锂电池正极材料出货量为0.73a，

根据折线统计图增长率数据，可知：

2023年三元电池正极材料出货量为8.22a（1+53%）＝0.3366a，

2023年磷酸铁锂电池正极材料出货量为6.73a（1+13%）＝0.8249a，

∵2.3366a＜0.8249a，

∴2023年三元电池正极材料出货量比2023年磷酸铁锂电池正极材料出货量低，

故不同意．

【点评】本题考查扇形统计图、折线统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率，解答时涉及增长率的计算．能从统计图中获取有用信息，熟悉列表法和树状图法求概率的方法是解题的关键．

20．（7分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：

（1）请在图1中作出△ABC的AC边上的高BD；

（2）请在图2中线段BC上确定一点F，使得OF∥AC；

（3）请在图3中作出⊙O的切线AE．

【分析】（1）延长AC交⊙O于点D，连接BD即可；

（2）利用三角形的三条中线交于一点解决问题即可；

（3）取格点E，连接AE即可．

【解答】解：（1）如图1中，线段BD即为所求；

（2）如图2中，线段OF即为所求；

（3）如图7中，直线AE即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

21．（8分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发（千米）与慢车行驶的时间x（小时）之间的函数关系．根据图象进行以下探究：

（1）甲、乙两地之间相距的路程为900千米；图中点B的实际意义为两车相遇；

（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当两车之间的距离不小于800千米时，直接写出x的取值范围．

【分析】（1）观察图象，可得甲乙两地的距离；图中点B的实际意义；

（2）根据观察图象，慢车从乙地驶往甲地用了12h，可得慢车的速度；再由两车在x＝4时相遇，可得快车前进的距离，进而可得快车的速度可得快车所用的时间，慢车所用的时间，根据路程与时间的关系求得速度，进而求得快车从甲地驶往乙地所用的时间，然后根据待定系数法即可求得函数关系式．

（3）分两种情况讨论，两车相遇后之间的距离不小于800千米或两车相遇前之间的距离不小于800千米，解答即可．

【解答】解：（1）由图象可知，甲、乙两地间的距离是900km；

故答案为：900，两车相遇；

（2）慢车速度是：900÷12＝75（千米/小时），

两车的速度和：900÷4＝225（千米/小时），

快车速度是：225﹣75＝150（千米/小时）；

相遇时慢车行驶的路程75×4＝300（千米），

两车相遇后快车到达乙地所用的时间：300÷150＝2（小时），

两车相遇后，2小时两车行驶的路程：225×2＝450（千米），

所以，B（5，C（6，

设线段BC的解析式为y＝kx+b，

则，

解得．

所以线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y＝225x+900．

（3）两车相遇前之间的距离不小于800千米，

900﹣（75+150）x≥800，

解得x≤，

两车相遇后之间的距离不小于800千米，

（75+150）x﹣900≥800，

解得x≥，

∴x≤或x≥．

【点评】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．会根据图示得出所需要的信息是关键．

22．（9分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC（不与B、C重合），连接AO，F是线段AO上的点（不与A、O重合），AE＝AF，连接FE、FC、BE、BF．

（1）如图①，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；

（2）如图②，将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，交BE于点K．

①线段CF与BE的数量关系为CF＝BE；

②当△BEF为等腰直角三角形时，的值为或．

【分析】（1）通过证明△EAB≌△FAB，即可得到BE＝BF；

（2）①首先证明△AEB≌△AFC，由相似三角形的性质可得：∠EBA＝∠FCA，进而可证明△AGC∽△KGB，继而得解；

②由全等三角形的性质可得：∠EBA＝∠FCA，进而可证明△AGC∽△KGB，因为△AGC∽△KGB，所以∠GKB＝∠GAC＝90°，所以∠EBF＜90°，由此可分两种情况讨论求值即可．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AO⊥BC，

∴∠OAC＝∠OAB＝45°，

∴∠EAB＝∠EAF﹣∠BAF＝45°，

∴∠EAB＝∠BAF，

在△EAB和△FAB中，

，

∴△EAB≌△FAB（SAS），

∴BE＝BF；

（2）解：①∵∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，

∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，

∴∠EAB＝∠FAC，

在△AEB和△AFC中，

，

∴△AEB≌△AFC（SAS），

∴CF＝BE；

②∵△AEB≌△AFC（SAS），

∴∠EBA＝∠FCA，

又∵∠KGB＝∠AGC，

∴△AGC∽△KGB；

∴∠GKB＝∠GAC＝90°，

∴∠EBF＜90°，

当∠EFB＝90°时，

设AE＝x，

∵∠EAF＝90°，AE＝AF，

∴EF＝x，

∵△BEF为等腰直角三角形，

∴BF＝EF＝x，∠FBE＝45°．

∴BE＝5x，

又∵∠EAF＝90°，AE＝AF，

∴∠AEF＝45°．

∴∠AEB＝90°．

∴AB＝＝x，

∴＝＝；

同理，当∠BEF＝90°，＝；

故答案为：或．

【点评】本题属于相似综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．

23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，OA＝3．动点P从点A出发，速度为每秒π个单位．同时动点Q从点B出发，在⊙O上沿顺时针方向运动，点Q也随之停止运动．连结OP、OQ．设点P的运动时间为t秒．

（1）⊙O的周长为6π；

（2）当点P与点Q重合时，求所在的扇形的面积；

（3）当OP⊥OQ时，求t的值；

（4）作半径OP的垂直平分线交⊙O于点M、N，连结PQ．当PQ将线段MN分成1：2的两部分时，直接写出t的值．

【分析】（1）直接利用圆的周长公式计算即可；

（2）当点P与点Q重合时，根据点P走过的弧长+弧AB的长＝点B走过的弧长列出方程，求出t值，于是可求出所在扇形的圆心角度数，进而利用扇形的面积公式求解即可；

（3）分两种情况：当点P与点Q重合前，当点P与点Q重合前．根据两点走过的弧长关系列出方程，求解即可；

（4）情况一：连接OM，PM，PN，ON，PQ交MN于点H，NH：MH＝1：2，根据线段垂直平分线的性质易得△OPM为等边三角形，△PON为等边三角形，进而得到四边形PMON为菱形，易得△GHN∽△PHM，根据相似三角形的性质可得＝，由等边三角形三线合一可知PG垂直平分ON，于是可得∠HON＝∠HNO＝30°，则∠AOP＝30°，利用此时的长÷点P的运动速度即可得到时间；情况二：同情况一方法即可求解．

【解答】解：（1）⊙O的周长为2π×3＝3π；

故答案为：6π；

（2）当点P与点Q重合时，

3π+πt＝8πt，

解得：t＝，

∴点P走过的圆心角度数为＝90°，

∴所在的扇形的面积为＝；

（3）当点P与点Q重合前，OP⊥OQ，

则，

解得：t＝；

当点P与点Q重合后，OP⊥OQ，

，

解得：t＝；

综上，t＝或；

（4）情况一：如图，连接OM，PN，PQ交MN于点H，

∵MN垂直平分OP，

∴OM＝PM，

∵OP＝OM，

∴OP＝OM＝PM，

∴△OPM为等边三角形，

∴∠POM＝60°，

同理可得：△PON为等边三角形，

∴OP＝PN＝ON，∠PON＝60°，

∴∠MON＝120°，PM＝OM＝ON＝PN，

∴四边形PMON为菱形，

∴PM∥ON，

∴△GHN∽△PHM，

∴，即，

∴GN＝，

∴PG垂直平分ON，

∴NH＝OH，∠HNO＝∠HON，

∵∠MON＝120°，OM＝ON，

∴∠ONM＝30°，即∠HNO＝30°，

∴∠HON＝∠HNO＝30°，

∴∠AOP＝∠PON﹣∠HON＝60°﹣30°＝30°，

∴t＝＝；

情况二：连接OM，PM，ON，NH：MH＝1：2，

同理可得：∠BOP＝30°，

∴∠AOP＝180°﹣∠BOP＝180°﹣30°＝150°，

∴t＝＝．

综上，t＝或．

【点评】本题主要考查圆的面积公式、扇形的面积公式、弧长公式、一元一次方程的应用、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等，理清题意，学会利用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题关键．

24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，其横坐标为m．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将抛物线上点A、P之间的部分（包括A、P两点）记为G．

①当m＝2时，求G上最高点与最低点的纵