概率与数理统计第讲

概率与数理统计第讲第1页，课件共49页，创作于2023年2月§3.4边缘分布3.4.1边缘分布函数

二维随机向量(X,Y)作为一个整体,有分布函数F(x,y)，其分量X与Y

都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成FX(x)和FY(y)，分别称为X的边缘分布函数和Y的边缘分布函数；称F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数。第2页，课件共49页，创作于2023年2月FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)，FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).

X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数的是相对于(X,Y)的联合分布而言的。同样地，(X,Y)的联合分布函数F(x,y)是相对于(X,Y)的分量X和Y的分布而言的。注意:

求法第3页，课件共49页，创作于2023年2月则X的边缘概率分布为Y的边缘概率分布为

设(X,Y)是二维离散型随机向量，联合概率分布为3.4.2二维离散型随机向量的边缘分布第4页，课件共49页，创作于2023年2月解：例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的边缘分布。第5页，课件共49页，创作于2023年2月把这些数据补充到前面表上,第6页，课件共49页，创作于2023年2月解：例2：

(打开书P59)

求例3.2.2中(X,Y)的分量X和Y的边缘分布。P{X=0}

=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.00013+0.19987=0.20000,P{X=1}

=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.00004+0.79996=0.80000,P{Y=0}

=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=0.00013+0.00004=0.00017,P{Y=1}

=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0.19987+0.79996=0.99983.

第7页，课件共49页，创作于2023年2月把这些数据补充到例3.2.2的表中，得第8页，课件共49页，创作于2023年2月3.4.2连续型随机向量的边缘概率密度

若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则X的边缘概率密度为Y的边缘概率密度为第9页，课件共49页，创作于2023年2月例3：若(X,Y)服从矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d上均匀分布，则边缘概率密度分别为注：本例中X与Y都是服从均匀分布的随机变量。但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。第10页，课件共49页，创作于2023年2月例4：设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1上的均匀分布。求X和Y的边缘概率密度。解:当|x|＞1时,第11页，课件共49页，创作于2023年2月当-1≤x≤1时,(注意积分限的确定方法)熟练时，被积函数为零的部分可以不写。第12页，课件共49页，创作于2023年2月

由X和Y在问题中地位的对称性,将上式中的x改为y，得到Y的边缘概率密度第13页，课件共49页，创作于2023年2月例5：设(X,Y)的概率密度为求(1).c的值;(2).边缘密度。=5c/24=1,c=24/5;解:(1).第14页，课件共49页，创作于2023年2月解:(2)注意积分限注意取值范围第15页，课件共49页，创作于2023年2月注意积分限注意取值范围第16页，课件共49页，创作于2023年2月即第17页，课件共49页，创作于2023年2月例6：设(X,Y)求X和Y

的边缘概率密度。解：由第18页，课件共49页，创作于2023年2月

说明

对于确定的

1,

2,

1,

2,当

不同时,对应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的，所以在考虑多维随机向量时，不但要考虑它们的边缘分布，还要考虑随机向量各分量之间的关系。第19页，课件共49页，创作于2023年2月

X与Y之间的关系的信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的。在下一章将指出：对于二维正态分布而言，参数

正好刻画了X和Y之间关系的密切程度。因此，仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘分布)一般不能确定(X,Y)的联合概率密度函数(或概率分布)。第20页，课件共49页，创作于2023年2月§3.5条件分布

第一章中，我们介绍了条件概率的概念,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率将其推广到随机变量：

设有两个随机变量

X与Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布。这个分布就是条件分布。3.5.1条件分布的概念第21页，课件共49页，创作于2023年2月

例如：考虑某大学的全体学生，从中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高。则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布。体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布第22页，课件共49页，创作于2023年2月

现在限制180<Y<190(cm)，在这个条件下求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在180cm和190cm间的那些人都挑出来，然后在挑出来的学生中求其体重的分布。

容易想象：这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样。

例如：在条件分布中体重取大值的概率会显著地增加。第23页，课件共49页，创作于2023年2月3.5.2离散型随机变量的条件分布

定义1:设(X,Y)是二维离散型随机向量，对固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下,随机变量X的条件概率分布。P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…第24页，课件共49页，创作于2023年2月

条件分布是一种概率分布，具有概率分布的一切性质。例如：

i=1,2,…对固定的i，若P(X=xi)>0，则称P(Y=Yj|X=xi)=，j=1,2,…为在X=xi条件下,随机变量Y

的条件概率分布。第25页，课件共49页，创作于2023年2月例1:

求书中p59,例3.2.1中Y的条件分布。解：在例3.4.1中已求出X的边缘分布(见上表)。在X=0条件下，第26页，课件共49页，创作于2023年2月在

X=1

条件下，第27页，课件共49页，创作于2023年2月解：例2：求例3.2.2中被调查者吸烟的条件下得肺癌的概率和不吸烟的条件下得肺癌的概率。第28页，课件共49页，创作于2023年2月3.5.3连续型随机变量的条件概率密度

设(X,Y)是二维连续型随机向量，由于对任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，这时要使用极限的方法得到条件概率密度。

给定y，对于任意固定的正数ε，若概率P(y-ε<Y≤

y+ε)>0，于是，对于任意x，是在条件

y-ε<Y≤

y+ε

之下，X的条件分布。第29页，课件共49页，创作于2023年2月

定义2：设X和Y是随机变量，给定y,若对任意固定正数ε，P(y-ε<Y≤

y+ε)>0，且对任意实数x，极限存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数，记成FX|Y(x|y)。若存在fX|Y(x|y),使得则称

fX|Y(x|y)为在条件Y=y下X的条件概率密度函数，简称条件概率密度。第30页，课件共49页，创作于2023年2月同理，当fX(x)>0时，

定理1：设随机向量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，Y的边缘概率密度为fY(y)。若f(x,y)在点(x,y)处连续,当fY(y)>0时，第31页，课件共49页，创作于2023年2月证明：第32页，课件共49页，创作于2023年2月求P(X>1|Y=y)。解：P(X>1|Y=y)为此,需求出

例3：设(X,Y)的概率密度是第33页，课件共49页，创作于2023年2月由于于是，对y>0,

第34页，课件共49页，创作于2023年2月故对y>0,

P(X>1|Y=y)例4：设(X,Y)服从单位圆上均匀分布，即其概率密度为求第35页，课件共49页，创作于2023年2月解：

X的边缘密度为当|x|<1时,有第36页，课件共49页，创作于2023年2月即：当|x|<1时,有X作为已知变量X已知下Y的条件密度第37页，课件共49页，创作于2023年2月解：概率密度不为零的区域如右图所示。例5：设二维随机向量(X,Y)的概率密度为求条件概率密度和条件概率第38页，课件共49页，创作于2023年2月第39页，课件共49页，创作于2023年2月当y(0,1]时，fY(y)>0，第40页，课件共49页，创作于2023年2月第41页，课件共49页，创作于2023年2月当x(-1,1)时，fX(x)>0，

第42页，课件共49页，创作于2023年2月第43页，课件共49页，创作于2023年2月例6：设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为

Y,当日销售量为

X,假定一天中不再往柜台上补充货物,于是X≤Y。根据历史资料，(X,Y)的概率密度为求(1).给定Y=y条件下,X的条件概率密度；

(2).给定Y=10条件下,X≤5的概率；

(3).如果Y=20件呢?第44页，课件共49页，创作于2023年2月解:

(1).第45页，课件共49页，创作于2023年2月y(0,20]时，fY(y)>0，这个结果表明：当y(0,20]时，X的条件分布是[0,y]上的均匀