人教版九年级数学上学期期末压轴题专项训练：《圆》(含答案)

人教版九年级数学上学期期末压轴题专项训练：《圆》(含答案)1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC。已知OA＝OB，CA＝CB。（1）证明：连接OC。由于OA＝OB，AC＝CB，所以OC⊥AB。因为点C在⊙O上，所以AB是⊙O切线。（2）证明：∠FDC＝∠EDC。由于OA＝OB，AC＝CB，所以∠AOC＝∠BOC。又因为OD＝OF，所以∠ODF＝∠OFD。由于∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，所以∠BOC＝∠OFD。因此，OC∥DF，所以∠CDF＝∠OCD。又因为OD＝OC，所以∠ODC＝∠OCD。因此，∠ADC＝∠CDF。（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M。由于ON⊥DF，所以DN＝NF＝4。在直角△ODN中，由于∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，所以ON＝3。又因为∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，所以四边形OCMN是矩形，因此ON＝CM＝3，MN＝OC＝5。在直角△CDM中，由于∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9，所以CD＝√（3²+9²）＝3√10。2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC。（1）证明：四边形ABFC是菱形。由于AB是直径，所以∠AEB＝90°，因此AE⊥BC。由于AB＝AC，所以BE＝CE。又因为AE＝EF，所以四边形ABFC是平行四边形。又因为AC＝AB，所以四边形ABFC是菱形。（2）解：设CD＝x，连接BD。由于AB是直径，所以∠ADB＝∠BDC＝90°，因此AB²-AD²＝CB²-CD²，即（3+x）²-3²＝x²，解得x＝2，因此AB＝AC＝5，BD＝4。因此，S菱形ABFC＝AC×BD＝20，S半圆＝π×（5/2）²/2＝19.63。（2）若AC＝6，AB＝8，求线段OE的长．（1）证明：由于△ABC内接于⊙O，所以∠CAB＝90°，∠CAD＝90°，所以AC是⊙O的直径，即∠AOC＝90°。又∠AOD＝90°，所以四边形ACOD是一个矩形，因此∠COD＝∠CAB。（2）解：由勾股定理可知，BC＝10。又因为AC是⊙O的直径，所以OC＝5。由于∠COD＝∠CAB，所以△CAB与△COD相似，因此CO是△COD的中线，即OD＝DC＝5。由于AD是⊙O的直径，所以OE⊥AD，所以△DOE是直角三角形，由勾股定理可知，OE＝√(OD²+DE²)。由于DE＝BC-DC＝10-5＝5，所以OE＝√(5²+5²)＝5√2。（2）已知AB=3，若AC=AB=3，则OC=2。根据正弦定理，sin∠CAB=AB/AC=1，所以∠CAB=90°，因此∠COD=∠CAB=90°。根据余弦定理，CD=√(AC^2-AD^2)=√(3^2-6^2)=-3，所以DC=BD-BC=-3。根据三角形面积公式，S阴影=1/2×OC×DC=1/2×2×(-3)=-3。已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。（1）因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°。又因为AB=AC，所以BD=DC。所以DC=BD。（2）因为OA=OB，CD=BD，所以OD∥AC。又因为DE⊥AC，所以∠CED=90°。所以∠ODE=∠CED=90°，即OD⊥DE。因此DE是⊙O的切线。（3）因为AB=12，AD=6，所以sin∠B=AD/AB=1/2，所以∠B=30°。所以∠BOD=∠BOA-∠AOD=90°-30°=60°。所以S扇形BOD=1/6×π×(AB/2)^2×∠BOD=1/6×π×(12/2)^2×60°=6π。如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，（1）因为BD∥OC，所以∠D=∠COD。又因为AB是⊙O的直径，所以∠B=90°。所以∠B=∠D。又因为OD=OB，所以∠BOD=2∠B=2∠D，所以∠OCB=∠BOD-∠COD=∠D=∠B=45°。因此BC=OC/√2=2/√2=√2，所以DC=BD-BC=2-√2。（2）因为∠AOC=45°，所以∠COD=∠D=∠B=45°。所以∠DOB=90°。因为OD=OB=OA=2，所以BD=2√2。如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E。（1）因为D是弧BC的中点，所以∠COD=∠BOC。又因为AB是⊙O的直径，所以∠B=90°。所以∠AOC=∠BOC+∠B=2∠BOC。因此∠BOC=1/2∠AOC=22.5°。又因为∠A=∠BOC，所以∠A=22.5°。因为OD∥AF，所以∠EDO=∠F=90°。因此OD⊥EF，所以EF是⊙O的切线。（2）因为AF=6，EF=8，所以AE=AF+EF=14。因为AB是⊙O的直径，所以OE=AE/2=7。因此r=OA=OE+AE/2=7+14/2=14。∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2BP，又∵AC＝BP，∴AC＝BC＝2BP，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝∠OCP，又∵∠OCP＝90°，∴∠ACO＝90°，∴OC⊥AB，∴PC是以C为端点的⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，连接OP，∵AB＝2BP，∴AP＝AB＋BP＝3BP＝3r，又∵AC＝BP＝r，∴PC＝AP－AC＝2r，∴弓形的弦长为2PC＝4r，∴弓形的半径为r，∴弓形的面积为πr²/2，∴阴影部分弓形的面积为πr²/2－πr²/4＝πr²/4.证明：连接OC。因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°。又因为AB＝2BP，所以AO＝OB＝BP。又因为AC＝BP＝OA，所以∠A＝30°。因此，∠COB＝2∠A＝60°。又因为OB＝OC，所以△OCB为正三角形。因此，OB＝OC＝BC＝BP，所以∠BCP＝∠P＝∠OBC＝30°。又因为∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝90°，所以OC⊥CP。因为OC为半径，所以PC与⊙O相切。解：（1）连接OD。因为AB是⊙O的直径，所以圆的半径为12÷2＝6。又因为OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，所以四边形OFDE是矩形，因此EF＝OD＝6。（2）①因为点E为OC的中点，所以OE＝OC＝OD，因此∠EDO＝30°，∠DOE＝60°，所以弧CD的度数为60°。②延长CO交⊙O于G，连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值＝DG。因为∠G＝∠COD＝30°，所以EG＝9，因此DG＝$\sqrt{6^2+9^2}-6=\sqrt{27}$。所以PC+PD的最小值为$\sqrt{27}$。解：（1）连接OC。因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°。又因为CD是⊙O的切线，所以∠OCD＝90°。因此，