抛物线测试题(含答案)

抛物线测试题(含答案)抛物线测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.抛物线y=2x的焦点坐标是（1，0）。2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,-3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为x^2=-4y。3.抛物线y^2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于15。4.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3)，则它的方程是y^2=-8x。5.点P(1,2)到曲线y=2t/x（其中参数t∈R）上的点的最短距离为1。6.抛物线y^2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点，F是它的焦点，若AF,BF,CF成等差数列，则x1,x2,x3成等差数列。7.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y^2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则PA+PB取得最小值时点P的坐标是（2，2）。8.已知抛物线y=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则关系式y1y2/x1x2的值一定等于p^2。9.过抛物线y=ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则(p+q)/(2a)=1。10.若AB为抛物线y=2px(p>0)的动弦，且|AB|=a(a>2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是a/2。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1.抛物线y^2=8x的焦点坐标是（2，0）。2.已知抛物线的顶点在(1,-2)，过点(3,4)的切线方程为y=2x-4。3.抛物线y^2=16x的焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到直线x=1的距离。4.已知抛物线y^2=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且∠FPB=90°，其中B为抛物线的顶点，则BP的长度为2。5.抛物线y^2=4ax上一点到其顶点的距离为3a/2，则该点的纵坐标为3a/2。11、抛物线y^2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为（0，1）。直接给出答案即可。12、直线x-y-1=0截抛物线y=8x，所截得的弦中点的坐标是（4，32）。直接给出答案即可。13、抛物线y=2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为3。根据抛物线的性质，可得出焦点的坐标为(2p,0)，然后根据距离公式求解即可。14、设为抛物线y=x^2，则FA+FB+FC=6。根据抛物线的性质，可得出焦点的坐标为(0,1/4)，然后根据距离公式求解即可。15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上；（2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。其中适合抛物线y=10x的条件是(要求填写合适条件的序号）3、4、5。根据抛物线的性质，可以得出焦点的坐标，然后根据距离公式和通径的定义求解即可。16．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.（1）该抛物线的方程为y=2x^2/8，焦点F的坐标为(0,p)。（2）线段BC的中点M的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。（3）设BC所在直线的方程为y=kx+b，代入点B和C的坐标可得出k和b的值。17．已知抛物线y=ax-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围。根据对称性，可得出直线x+y=0经过该抛物线的焦点，然后根据焦点的坐标和抛物线的性质求解a的取值范围。18．抛物线x=4y的焦点为F，过点(0，-1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程。根据抛物线的性质，可得出焦点F的坐标，然后根据直线和抛物线的交点求解点A和B的坐标，再根据平行四边形的性质求解点R的轨迹方程。19、已知抛物线的方程：（I）求抛物线的方程并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于5？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。（I）抛物线的方程为y^2=4ax，准线的方程为y=0。（II）存在平行于OA的直线l，且直线OA与l的距离等于5。直线l的方程为y=5。20．已知抛物线y^2=4ax(0<a<1)的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点。（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由。（1）根据抛物线和半圆的性质，可得出MF+NF=2a+8。（2）存在这样的a值，使MF、PF、NF成等差数列。当且仅当a=1/3时，成立。1.求点Q的坐标，它与直线y=-5相交。2.当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求ΔOPQ面积的最大值。解答：1.直线y=-5与x轴交于点(-5,0)，所以点Q的坐标为(-5,-5)。2.设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，过A、B两点的直线方程为y=kx+m。由于P位于线段AB下方，所以P的纵坐标小于A、B两点的纵坐标的最小值，即P的纵坐标小于2。因此，可以列出以下不等式组：a+b+c<24a+2b+c=k(2)+m16a+4b+c=k(-2)+m将c=2-a-b代入后两式，得：2a+b+2<k+m-2a+b+2<-k+m将两式相加，消去b和m，得：4a+4<-k因此，k<-4a-4。由于题目中要求ΔOPQ面积的最大值，可以将P取在抛物线的焦点处，即P的横坐标为8。此时，焦点坐标为(8,32a)，过A、B两点的直线方程为y=kx+(8-k^2)/(4a)，代入上式得：k<-4a-4或k>4a+4由于焦点坐标为(8,32a)，过A、B两点的中垂线方程为x=11/2，因此Q的坐标为(-5,11/2)。根据三点坐标求面积公式，可以得到ΔOPQ的面积为：S=|(-5)(2a(11/2)^2+b(11/2)+c-32a)-8(-5-32a)+11/2(a(-5)^2+b(-5)+c-(-5)^2)|化简后得：S=|-15a+44|当a>44/15时，S取最小值0；当a<0时，S始终为正，因此S的最大值为15。2y+1=y1+y2+2y1y2/2=(y1+y2)2/2=2k-1，因为C为AB的中点，所以y1=y2=y，代入上式得2y=4k-3。又由第一式得x=4k，代入可得x=4(y+3)，结合x>4，得到动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)(x>4)。19．（14分）[解析]：（1）设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y)，由y2=4ax和(x-a-4)+y=16/2得到x1+x2=2(4-a)。又因为MF+NF=(x1+a)+(x2+a)=8，所以y1+y2+2y1y2/2=2y=(1/2)(y1+y2)2=2k-1。解得y1=y2=2k-1/(y1+y2)=1/2，代入x1+x2=2(4-a)得到a=1。因此，不存在a值使得MF,PF,NF成等差数列。20．（14分）【解】(1)解方程组得到x=1或2y=x-4/8，因此A(-4,-2)，B(8,4)，中点M(2,1)。由kAB=1/2，直线AB的垂直平分线方程为y=x-