山东省泰安市泰前办事处黄山中学高三数学文期末试卷含解析

山东省泰安市泰前办事处黄山中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）A． B． C．π D．2π参考答案：B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；导数的几何意义．【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】根据条件求出a，b的值以及函数f（x）的表达式，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．则f（x）=x3﹣x2+ax，函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，因为原点处的切线斜率是﹣3，即f′（0）=﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，故a=﹣3，b=2，所以不等式组为则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，如图阴影部分表示，所以圆内的阴影部分扇形即为所求．∵kOB=﹣，kOA=，∴tan∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．2.在公差大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441参考答案：A【考点】8E：数列的求和．【分析】设公差为d（d＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，进而得到等差数列{an}的通项，再由并项求和即可得到所求和．【解答】解：公差d大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）=1，即a1=1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2=a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2=1+5d+5，解得d=2（负值舍去）则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+…+a19﹣a20+a21=1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41=﹣2×10+41=21．故选：A．3.由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A． B．4 C． D．6参考答案：C【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．4.下列四个结论：①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；③线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；④在回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.其中正确的结论是（

）A.①② B.①④C.②③ D.②④参考答案：D【分析】根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数的意义即可判断③；由回归方程的系数，可判断④。【详解】根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误；当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；根据线性相关系数特征，当相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误；根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.综上，②④正确，故选D【点睛】本题考查了统计的概念和基本应用，抽样方法、回归方程和相关系数的概念和性质，属于基础题。5.已知为锐角，且，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略6.函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（） A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个参考答案：考点： 函数零点的判定定理．专题： 数形结合．分析： 解：令f（x）=0，则x=sinx，原问题在区间[0，2π]上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数．解答： 解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2．故选B．点评： 利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．本题先由已知条件转化为确定f（x）的解析式，再利用数形结合的方法判断方程根的个数．7.在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．8.（5分）（2013?河东区二模）函数图象的一个对称轴方程是（）A．B．C．D．x=π参考答案：考点：二倍角的正弦；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：将函数解析式最后一个因式中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，最后利用诱导公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的图象与性质即可得出函数y的对称轴方程，进而确定出正确的选项．解答：y=2sin（x+）cos（﹣x）=2sin（x+）cos[﹣（x+）]=2sin2（x+）=1﹣cos（2x+）=1+sin2x，令2x=2kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则k=1时，x=为函数的一个对称轴方程．故选A点评：此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．9.已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（）A．4π B．8π C．12π D．16π参考答案：A【考点】球内接多面体．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．【解答】解：根据题意作出图形设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．∵CO1=，∴OO1=，∴高PD=2OO1=2，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥P﹣ABC=××2=，∴r=1．则球O的表面积为4π．故选：A．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点P到面ABC的距离．10.已知函数,其中a是实数。设,为该函数图象上的两点,且，若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合,则a的取值范围为（

）A.

B.(－1,+∞)

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合，，则

.参考答案：12.已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是

．参考答案：（2，+∞）【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由于与向量的夹角大于90°，可得0，利用数量积运算和正三角形的性质即可得出．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴=．∵与向量的夹角大于90°，∴==＜0，解得λ＞2．∴实数λ的取值范围是λ＞2．故答案为（2，+∞）．【点评】本题考查了数量积运算和正三角形的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．13.在△ABC中，A、B、C所对的边为a、b、c，，则△ABC面积的最大值为

．参考答案：3∵∴由正弦定理可得∵∴由余弦定理可得.∴∴，当且仅当时取等号.∴面积的最大值为故答案为.

14.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则m+n的取值范围为．参考答案：[2，+∞）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）15.若函数在区间是偶函数，则________.参考答案：略16.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,则此几何体的体积为

▲

.参考答案：17.已知函数（Ⅰ）当时，求函数取得最大值和最小值时的值；（Ⅱ）设锐角的内角A、B、C的对应边分别是，且，若向量与向量平行，求的值。参考答案：解：（1）………..3分，……..4分

所以当，取得最大值；当，取得最小值；………..6分（2）因为向量与向量平行，所以，…………….8分由余弦定理，，又，经检验符合三角形要求………..12分

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ[0，]。（I）求C的参数方程；（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（I）中你得到的参数方程，确定D的坐标.参考答案：（I）

（II）（I）可得的参数方程为（II）设，由（I）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同，故的直角坐标系为19.已知函数（I）若

在其定义域是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设函数的最小值；（III）设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对x∈（0,+）恒成立，

…………2分

…………4分

（II）设当t=1时，ymIn=b+1；

…………6分当t=2时，ymIn=4+2b

…………8分当的最小值为

…………9分

（III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为#k#s5uC2在点N处的切线斜率为

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

……………11分设

………………①

#k#s5u这与①矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

…………14分

20.已知函数，.（Ⅰ）求函数在区间[1,2]上的最大值；（Ⅱ）设在(0,2)内恰有两个极值点，求实数m的取值范围.参考答案：（Ⅰ），恒成立所以在[1,2]单调递增，

…………2分，，，使当时，，单调递减；当时，，单调递增.

…………4分又，，在上的最大值为.…………6分（Ⅱ），，由题意知：在(0,2)有两个变号零点，即在有两个变号零点

..…………8分令，，令，且时，，单调递增；时，，单调递减，..…………10分又，

..…………12分21.（12分）已知函数为常数.（1）若当恒成立，求的取值范围；（2）求的单调区间.参考答案：解析：（1）……………2分令当的取值范围是.…6分（2）①当是减函数.是增函数.……