2023年教师招聘考试《学科专业知识·小学数学》复习全书【核心讲义＋历年真题详解】

第一部分核心讲义模块一学科专业基础第1章集合与简易逻辑1.1考点梳理1．掌握集合的基本概念及集合间的基本关系；2．重点掌握集合的运算；3．理解逻辑连接词和命题的基本知识；4．理解命题的条件与结论间的属性。1.2核心讲义一、集合（一）集合的基本概念1．集合的定义某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。2．集合中的元素的三个特性（1）元素的确定性：某一元素是否属于某个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是这个集合的元素，二者必居其一。如：平面直角坐标系第三象限内的点；（2）元素的互异性：同一个集合中的元素是互不相同的。如：由字母APPLE组成的集合{A，P，L，E}；（3）元素的无序性：任意改变集合中元素的排列次序，它们仍然表示同一个集合。如：{1，2，3}和{1，3，2}是表示同一个集合。3．集合的表示用拉丁字母表示集合：A={我校的全体学生}，B={1，3，5，7，9}。集合的表示方法：列举法、描述法与图示法。（1）列举法：把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内表示集合的方法。例如：{1，2，3}；（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。例如{x∈R|x-2>3}；（3）语言描述法：例如{小于5的自然数}；（4）Venn图，也叫文氏图，它既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系。如图1-1所示。图1-1 文氏图（5）常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N+或N*，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。4．集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：不含任何元素的集合记为φ。例如{x|=-1，x∈R}。（二）集合间的基本关系1．基本关系（1）全集：一般地，如果一个集合包含研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。（2）子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或B包含A）。（3）反之：集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A，记作AB或BA。（4）真子集：如果AB，且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作AÜB（或BÝA），读作“A真包含于B”（或B真包含A）。2．结论由上述集合间的基本关系，可以得到以下结论：（1）任何一个集合是它本身的子集即AA。（2）如果AB且BA，那么A=B。（3）对于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC。（4）有n个元素的集合，含有个子集，-1个真子集。（5）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（三）集合的运算集合的运算如表1-1所示。表1-1 集合的运算运算类型交集并集补集   定义  由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称作集合A、B的交集。记作AB（读作“A交B”），即AB={x|x∈A且x∈B}。 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称作集合A、B的并集。记作：AUB（读作“A并B”），即AUB={x|x∈A或x∈B}。设S是一个集合,A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，称作S中子集A的补集（或余集），记作SA，即SA={x|x∈S且xA}。  韦恩图示        性质      AA=A Aφ=φ AB=BA ABA ABB  AA=A Aφ=A AB=BUA ABA ABB  （UA）（UB）=U（AUB） （UA）（UB）=U（AB） A（UA）=U A（UA）=φ二、简易逻辑（一）逻辑联结词1．“或”“且”“非”（1）“或”“且”“非”这些词称作逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题。（2）构成复合命题的形式：p或q（记作pq）；p且q（记作pq）；非P（记作¬p）。（3）逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系，AB={x|x∈A，或x∈B}。逻辑联结词“且”可以与集合中的“交”相联系，AB={x|x∈A，且x∈B}。逻辑联结词“非”可以与集合中的“补”相联系，UA={x|x∈U，且xA}。2．含“或”“且”“非”复合命题的真假判断（1）“p或q”形式复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真；（2）“p且q”形式复合命题，当p与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反。（二）命题1．定义可以判断真假的语句称作命题。若一个命题是正确的，该命题称为真命题；若一个命题不正确，该命题称为假命题。由命题的概念可知，一个命题不是真命题就是假命题。2．命题的四种形式与相互关系（1）四种形式①原命题：若p则q；②逆命题：若q则p；③否命题：若¬p则¬q；④逆否命题：若¬q则¬p。（2）相互关系①原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假；②逆命题与否命题互为逆否命题，同真假。（三）命题的条件与结论间的属性1．具体内容（1）若pq，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即“前者为后者的充分，后者为前者的必要”；（2）若pq，则p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件；（3）若pq，且qp，那么称p是q的充分不必要条件；（4）若pq，且qp，那么称p是q的必要不充分条件；（5）若pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件。2．注意事项当从命题条件的正面不易证明时，可以从命题结论的反面考虑采用反证法，即从命题结论的反面出发（假设），引出（与公理、定理、已知…）矛盾，从而否定假设，证明原命题成立，这样的证明方法称作反证法。1.3真题及典型题详解一、单项选择题1．已知集合，，则A∩B等于（）。[2013年福建省真题]A．｛x｜﹣2<x<﹣1}B．{x｜﹣1<x<2}C．{x｜2<x<3}D．{ｘ|﹣2<x<3}【答案】C查看答案【解析】由题意可知，，，那么A∩B={x｜2<x<3}。2．“棱柱的一个侧面是矩形”是“棱柱为直棱柱”的（）。A．充要条件B．充分但不必要条件C．必要但不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C查看答案【解析】“棱柱为直棱柱”可以推出“棱柱的一个侧面是矩形”；但由“棱柱的一个侧面是矩形”不能推出“棱柱为直棱柱”。所以，“棱柱的一个侧面是矩形”是“棱柱为直棱柱”的必要但不充分条件。3．定义集合运算：A*B={z｜z＝xy，xA，yB}，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为( )。A．0B．2C．3D．6【答案】D查看答案【解析】由定义的集合运算所知，。4．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）。[2013年广东省真题]A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B查看答案【解析】由题意可知，命题甲可以推出命题乙，命题乙推出命题丙，命题丙推出命题丁，那么命题甲推出命题丁，但反之则不行，所以命题丁是命题甲的必要不充分条件。5．设集合M={直线}，P={圆}，则集合M∩P中的元素个数为（ ）。A．0B．1C．2D．0或1或2【答案】A查看答案【解析】因为不存在既是直线又是圆的图形，所以M∩P是空集。6．若命题甲：A∪BA为假命题，命题乙：A∩BA也为假命题，U为全集，则下列四个用韦恩图形反映集合A与B的关系中可能正确的是（）。A．B．C．D．【答案】D查看答案【解析】由命题甲可知A∪B=A，由命题乙可知A∩B=A。二、简答题1．已知集合，若AB=B，求实数m的值。解：由题意可知，，又AB=B，即，，，（1）若，即时，满足条件；（2）若，即时，，，故，即，，即，故。故由（1）（2）知：m的取值范围是。2．已知p：方程有两个不相等的负实根。q：方程无实根。若p或q为真，p且q为假时，求实数m的取值范围。解：因为p或q为真，p且q为假，则必然p与q中有一真一假。分两种情况：p为真，q为假；q为真，p为假。（1）若p为真，则q为假。①p为真，方程